Πράξεις με Διανύσματα ➕

Διαδοχικά διανύσματα 🔗

Πολλές φορές χρειάζεται να συνδέσουμε δύο ή περισσότερα διανύσματα σε μια αλυσίδα, όπου το ένα «συνεχίζει» το άλλο. Αυτή η ιδέα ονομάζεται διαδοχικότητα.

Ορισμός: Διαδοχικά διανύσματα

Δύο διανύσματα λέγονται διαδοχικά, όταν το τέλος του ενός διανύσματος είναι η αρχή του άλλου.

Τα διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{B\Gamma}$ είναι διαδοχικά, γιατί το τέλος του $\vec{AB}$ (το σημείο $B$ ) συμπίπτει με την αρχή του $\vec{B\Gamma}$ . Η σειρά έχει σημασία στον ορισμό: το γράμμα «κλειδί» $B$ πρέπει να εμφανίζεται ως δεύτερο γράμμα στο πρώτο διάνυσμα και ως πρώτο γράμμα στο δεύτερο.

Η ιδέα της διαδοχικότητας είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο χτίζεται όλη η πρόσθεση διανυσμάτων, γιατί μας δίνει έναν φυσικό, γεωμετρικό τρόπο να «ενώνουμε» διανύσματα.

Άθροισμα διανυσμάτων ➕

Άθροισμα δύο διαδοχικών διανυσμάτων

Ορισμός: Άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων

Το άθροισμα δύο διαδοχικών διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του δεύτερου διανύσματος.

Το άθροισμα των διανυσμάτων $\vec{AB}$ και $\vec{B\Gamma}$ είναι το διάνυσμα $\vec{A\Gamma}$ :

\vec{AB} + \vec{B\Gamma} = \vec{A\Gamma}

Βασικός κανόνας! 🎯

Στο άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων, το κοινό γράμμα (εδώ το $B$ ) «ακυρώνεται» και εξαφανίζεται από το αποτέλεσμα. Μένει μόνο η αρχή του πρώτου και το τέλος του δεύτερου. Αυτός ο κανόνας ισχύει μόνο όταν τα διανύσματα είναι πραγματικά διαδοχικά — αν δεν είναι, πρέπει πρώτα να τα κάνουμε διαδοχικά ή να χρησιμοποιήσουμε άλλη μέθοδο.

Άθροισμα περισσότερων από δύο διαδοχικών διανυσμάτων

Ο ίδιος κανόνας γενικεύεται όταν έχουμε μια ολόκληρη αλυσίδα διαδοχικών διανυσμάτων: το άθροισμά τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του τελευταίου διανύσματος, ανεξάρτητα από το πόσα ενδιάμεσα διανύσματα υπάρχουν.

\vec{AB} + \vec{B\Gamma} + \vec{\Gamma\Delta} = \vec{A\Delta}

Η διαίσθηση είναι απλή: κάθε ενδιάμεσο σημείο εμφανίζεται δύο φορές (μια ως τέλος και μια ως αρχή διαδοχικού διανύσματος) και οι δύο εμφανίσεις ακυρώνονται μεταξύ τους, αφήνοντας μόνο το πρώτο και το τελευταίο σημείο.

Κλειστό πολύγωνο = Μηδενικό διάνυσμα! 🔄

Αν τα διαδοχικά διανύσματα σχηματίζουν κλειστό πολύγωνο (δηλαδή η αλυσίδα επιστρέφει στο αρχικό σημείο), τότε το άθροισμά τους είναι το μηδενικό διάνυσμα, γιατί η αρχή και το τέλος συμπίπτουν:

\vec{AB} + \vec{B\Gamma} + \vec{\Gamma A} = \vec{0}

Αυτό δεν εξαρτάται από το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου — ισχύει για τρίγωνο, τετράπλευρο ή οποιοδήποτε κλειστό σχήμα.

Άθροισμα μη διαδοχικών διανυσμάτων 🔀

Στην πράξη, τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε σπάνια δίνονται ήδη διαδοχικά. Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ που δεν είναι διαδοχικά, υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι.

α' τρόπος: Μέθοδος διαδοχικών διανυσμάτων 📍

Μετατρέπουμε το πρόβλημα σε ένα πρόβλημα διαδοχικών διανυσμάτων: σχεδιάζουμε τα διανύσματα $\vec{AB} = \vec{\alpha}$ και $\vec{B\Gamma} = \vec{\beta}$ , έτσι ώστε να είναι διαδοχικά (η αρχή του $\vec{\beta}$ τοποθετείται στο τέλος του $\vec{\alpha}$ ). Τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα που ήδη ξέρουμε:

\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \vec{AB} + \vec{B\Gamma} = \vec{A\Gamma}

β' τρόπος: Μέθοδος παραλληλογράμμου 📐

Αντί να τοποθετήσουμε τα διανύσματα διαδοχικά, μπορούμε να τα σχεδιάσουμε με κοινή αρχή και να χρησιμοποιήσουμε τη γεωμετρία ενός παραλληλογράμμου:

Σχεδιάζουμε τα διανύσματα $\vec{AB} = \vec{\alpha}$ και $\vec{A\Gamma} = \vec{\beta}$ , ώστε να έχουν κοινή αρχή το σημείο $A$ .
Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ , που έχει πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα $AB$ και $A\Gamma$ .
Το διάνυσμα με αρχή την κοινή αρχή των δύο διανυσμάτων και τέλος την απέναντι κορυφή του παραλληλογράμμου (τη διαγώνιο) είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων.

\vec{A\Delta} = \vec{\alpha} + \vec{\beta}

Γιατί δουλεύουν και οι δύο μέθοδοι

Οι δύο μέθοδοι δεν είναι ανεξάρτητες — είναι η ίδια ιδέα από διαφορετική οπτική. Στο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ , η πλευρά $B\Delta$ είναι ίση και παράλληλη με την $A\Gamma$ , άρα $\vec{B\Delta} = \vec{A\Gamma} = \vec{\beta}$ . Οπότε $\vec{AB} + \vec{B\Delta} = \vec{A\Delta}$ , δηλαδή $\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \vec{A\Delta}$ — ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με τη μέθοδο των διαδοχικών διανυσμάτων.

Διαφορά δύο διανυσμάτων ➖

Ορισμός: Διαφορά διανυσμάτων

Η διαφορά του διανύσματος $\vec{\beta}$ από το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ συμβολίζεται με $\vec{\alpha} - \vec{\beta}$ και ορίζεται ως το άθροισμα του $\vec{\alpha}$ με το αντίθετο διάνυσμα του $\vec{\beta}$ . Δηλαδή:

\vec{\alpha} - \vec{\beta} = \vec{\alpha} + (-\vec{\beta})

Η αφαίρεση διανυσμάτων δεν είναι, λοιπόν, μια νέα ανεξάρτητη πράξη — είναι η ήδη γνωστή πρόσθεση, εφαρμοσμένη στο αντίθετο διάνυσμα του $\vec{\beta}$ . Αυτό σημαίνει ότι για να αφαιρέσουμε διανύσματα, δεν χρειαζόμαστε νέα εργαλεία — απλώς εφαρμόζουμε ό,τι ξέρουμε ήδη για την πρόσθεση.

Μέθοδος διαδοχικών διανυσμάτων για τη διαφορά

Για να αφαιρέσουμε το διάνυσμα $\vec{\beta}$ από το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ , σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\vec{B\Gamma} = -\vec{\beta}$ , ώστε τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $-\vec{\beta}$ να είναι διαδοχικά. Τότε:

\vec{A\Gamma} = \vec{\alpha} + (-\vec{\beta}) = \vec{\alpha} - \vec{\beta}

Προσοχή στη σειρά

Η αφαίρεση διανυσμάτων, όπως και η αφαίρεση αριθμών, δεν είναι αντιμεταθετική: γενικά $\vec{\alpha} - \vec{\beta} \neq \vec{\beta} - \vec{\alpha}$ . Τα δύο αποτελέσματα είναι αντίθετα διανύσματα μεταξύ τους.

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ✖️

Ορισμός: Γινόμενο αριθμού επί διάνυσμα

Αν $\lambda$ είναι ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός $(\lambda \neq 0)$ και $\vec{\alpha}$ ένα μη μηδενικό διάνυσμα $(\vec{\alpha} \neq \vec{0})$ , τότε ορίζουμε ως γινόμενο του $\lambda$ επί το $\vec{\alpha}$ , και το συμβολίζουμε $\lambda \cdot \vec{\alpha}$ , το διάνυσμα το οποίο:

είναι ομόρροπο του $\vec{\alpha}$ , αν $\lambda > 0$ , και έχει μέτρο $|\lambda| \cdot |\vec{\alpha}|$ ,
είναι αντίρροπο του $\vec{\alpha}$ , αν $\lambda < 0$ , και έχει μέτρο $|\lambda| \cdot |\vec{\alpha}|$ .

Αν $\lambda = 0$ ή $\vec{\alpha} = \vec{0}$ , τότε $\lambda \cdot \vec{\alpha} = \vec{0}$ .

Με λόγια: το πρόσημο του $\lambda$ καθορίζει τη φορά του νέου διανύσματος (ίδια ή αντίθετη με το $\vec{\alpha}$ ), ενώ η απόλυτη τιμή του $\lambda$ καθορίζει πόσο μεγαλώνει ή μικραίνει το μέτρο του.

Για παράδειγμα:

Το $2\vec{\alpha}$ είναι ομόρροπο του $\vec{\alpha}$ , με διπλάσιο μέτρο.
Το $-3\vec{\alpha}$ είναι αντίρροπο του $\vec{\alpha}$ , με τριπλάσιο μέτρο.
Το $\frac{1}{2}\vec{\alpha}$ είναι ομόρροπο του $\vec{\alpha}$ , με το μισό μέτρο.

Παρατηρήσεις 💡

Αν $\vec{\beta} = \lambda \cdot \vec{\alpha}$ με $\lambda \neq 0$ , τότε τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι παράλληλα. Αυτό είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία της γεωμετρίας: αν καταφέρουμε να δείξουμε ότι ένα διάνυσμα είναι πολλαπλάσιο ενός άλλου, αποδεικνύουμε αυτόματα ότι τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματα είναι παράλληλα.
Το αντίστροφο δεν ισχύει αυτόματα το ίδιο εύκολα: δύο παράλληλα διανύσματα με το ίδιο μέτρο μπορεί να είναι ομόρροπα ( $\lambda = 1$ ) ή αντίρροπα ( $\lambda = -1$ ).

Ιδιότητες πράξεων διανυσμάτων 📋

Οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με αριθμό δεν συμπεριφέρονται τυχαία — υπακούν σε ιδιότητες πολύ κοντινές σε αυτές που ήδη ξέρουμε από τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό είναι που κάνει τις πράξεις με διανύσματα εύκολες στον χειρισμό: μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε σχεδόν όπως τις αριθμητικές πράξεις.

Ιδιότητες πρόσθεσης

Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων

Ιδιότητα	Τύπος
Αντιμεταθετική	$\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \vec{\beta} + \vec{\alpha}$
Προσεταιριστική	$(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) + \vec{\gamma} = \vec{\alpha} + (\vec{\beta} + \vec{\gamma})$
Ουδέτερο στοιχείο	$\vec{\alpha} + \vec{0} = \vec{\alpha}$
Αντίθετο στοιχείο	$\vec{\alpha} + (-\vec{\alpha}) = \vec{0}$

Η αντιμεταθετική ιδιότητα σημαίνει ότι η σειρά με την οποία προσθέτουμε δύο διανύσματα δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα (αν και τα «διαδοχικά» διανύσματα που σχεδιάζουμε για να τα προσθέσουμε μπορεί να είναι διαφορετικά). Η προσεταιριστική μας επιτρέπει να προσθέτουμε τρία ή περισσότερα διανύσματα χωρίς να μας νοιάζει ποια ζευγάρια ομαδοποιούμε πρώτα.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πραγματικού αριθμού επί διάνυσμα

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα

Ιδιότητα	Τύπος
Επιμεριστική ως προς αριθμούς	$(\lambda + \mu)\vec{\alpha} = \lambda\vec{\alpha} + \mu\vec{\alpha}$
Επιμεριστική ως προς διανύσματα	$\lambda(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = \lambda\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta}$
Προσεταιριστική	$\lambda(\mu\vec{\alpha}) = (\lambda\mu)\vec{\alpha}$

Υπάρχουν δύο διαφορετικές επιμεριστικές ιδιότητες και είναι σημαντικό να μην τις μπερδεύουμε: η μία επιμερίζει ένα άθροισμα αριθμών πάνω σε ένα διάνυσμα, ενώ η άλλη επιμερίζει έναν αριθμό πάνω σε ένα άθροισμα διανυσμάτων.

Μη μπερδεύεις τις δύο επιμεριστικές

Στην πρώτη επιμεριστική ιδιότητα, το άθροισμα $\lambda + \mu$ είναι άθροισμα αριθμών και το $\vec{\alpha}$ είναι ένα μόνο διάνυσμα. Στη δεύτερη, το $\vec{\alpha} + \vec{\beta}$ είναι άθροισμα διανυσμάτων και το $\lambda$ είναι ένας μόνο αριθμός. Παρόλο που μοιάζουν, εφαρμόζονται σε διαφορετικές καταστάσεις.

Έκφραση διανυσμάτων μέσω άλλων διανυσμάτων 🧭

Ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία στη γεωμετρία διανυσμάτων είναι η ικανότητα να εκφράζουμε ένα άγνωστο διάνυσμα συναρτήσει δύο ή περισσότερων γνωστών διανυσμάτων, περνώντας από ενδιάμεσα σημεία που γνωρίζουμε. Η τεχνική αυτή στηρίζεται ακριβώς στον κανόνα των διαδοχικών διανυσμάτων: «σπάμε» τη διαδρομή από το ένα σημείο στο άλλο, περνώντας από σημεία με γνωστά διανύσματα.

Παράδειγμα. Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Delta$ και $E$ τα μέσα των πλευρών $AB$ και $B\Gamma$ αντίστοιχα, έστω $\vec{AB} = \vec{\alpha}$ και $\vec{A\Gamma} = \vec{\beta}$ . Θα εκφράσουμε τα διανύσματα $\vec{\Gamma B}$ , $\vec{AE}$ και $\vec{\Delta E}$ συναρτήσει των $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ .

Το διάνυσμα $\vec{\Gamma B}$ : Περνάμε από το σημείο $A$ , που γνωρίζουμε τα διανύσματα προς αυτό:

\vec{\Gamma B} = \vec{\Gamma A} + \vec{AB} = -\vec{A\Gamma} + \vec{AB} = -\vec{\beta} + \vec{\alpha} = \vec{\alpha} - \vec{\beta}

Το διάνυσμα $\vec{AE}$ : Αφού το $E$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ , το διάνυσμα $\vec{\Gamma E}$ είναι το μισό του $\vec{\Gamma B}$ , δηλαδή $\vec{\Gamma E} = \frac{1}{2}\vec{\Gamma B}$ . Περνάμε από το $\Gamma$ :

\vec{AE} = \vec{A\Gamma} + \vec{\Gamma E} = \vec{A\Gamma} + \frac{1}{2}\vec{\Gamma B} = \vec{\beta} + \frac{1}{2}(\vec{\alpha} - \vec{\beta}) = \frac{1}{2}\vec{\alpha} + \frac{1}{2}\vec{\beta} = \frac{1}{2}(\vec{\alpha} + \vec{\beta})

Το διάνυσμα $\vec{\Delta E}$ : Αφού το $\Delta$ είναι το μέσο του $AB$ και το $E$ το μέσο του $B\Gamma$ , περνάμε από το $B$ :

\vec{\Delta E} = \vec{\Delta B} + \vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{B\Gamma} = \frac{1}{2}\vec{\alpha} - \frac{1}{2}(\vec{\alpha} - \vec{\beta}) = \frac{1}{2}\vec{\beta}

Μια πρώτη γεύση από ένα σημαντικό αποτέλεσμα

Επειδή $\vec{\Delta E} = \frac{1}{2}\vec{\beta} = \frac{1}{2}\vec{B\Gamma}$ , τα διανύσματα $\vec{\Delta E}$ και $\vec{B\Gamma}$ είναι παράλληλα (αφού το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου), αλλά δεν έχουν το ίδιο μέτρο. Άρα το τετράπλευρο $A\Delta E\Gamma$ είναι τραπέζιο — μια ιδιότητα που θα ξανασυναντήσουμε σε πολλά προβλήματα γεωμετρίας με διανύσματα.

Η τεχνική σε μια πρόταση

Όποτε ζητείται η έκφραση ενός διανύσματος $\vec{XY}$ συναρτήσει άλλων γνωστών διανυσμάτων, ψάξε ένα ενδιάμεσο σημείο $Z$ τέτοιο ώστε τα $\vec{XZ}$ και $\vec{ZY}$ να είναι γνωστά (ή εύκολα υπολογίσιμα), και γράψε $\vec{XY} = \vec{XZ} + \vec{ZY}$ .