Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης 🌟

Η γωνία χορδής-εφαπτομένης

Σε έναν κύκλο, μια χορδή έχει δύο άκρα πάνω στον κύκλο. Αν φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου σε ένα από τα δύο αυτά άκρα, σχηματίζεται μια γωνία ανάμεσα στη χορδή και την εφαπτομένη, με κορυφή ακριβώς το σημείο επαφής. Αυτή η γωνία λέγεται γωνία χορδής-εφαπτομένης.

Κάθε χορδή χωρίζει τον κύκλο σε δύο τόξα. Η γωνία χορδής-εφαπτομένης «κοιτάζει» προς το ένα από αυτά τα δύο τόξα — αυτό που βρίσκεται ανάμεσα στις δύο πλευρές της γωνίας. Το θεώρημα που συνδέει αυτή τη γωνία με τις εγγεγραμμένες γωνίες είναι το εξής:

Δηλαδή, αν η εφαπτομένη σε ένα σημείο $B$ σχηματίζει με τη χορδή $B\Gamma$ γωνία $\hat{\varphi}$, και $\hat{\omega}$ είναι μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ που βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές της $\hat{\varphi}$, τότε:

Με άλλα λόγια, η γωνία χορδής-εφαπτομένης «συμπεριφέρεται» ακριβώς όπως μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο: έχει το ίδιο μέτρο. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο, γιατί επιτρέπει να μεταφέρουμε ό,τι ξέρουμε για εγγεγραμμένες γωνίες σε καταστάσεις όπου εμφανίζεται εφαπτομένη.

Γιατί ισχύει αυτό

Η διαίσθηση πίσω από το θεώρημα είναι ότι η εφαπτομένη μπορεί να φανταστεί σαν μια «οριακή χορδή»: αν πάρουμε μια χορδή που ξεκινά από το $B$ και το άλλο άκρο της πλησιάζει όλο και περισσότερο το $B$, η χορδή αυτή τείνει να ταυτιστεί με την εφαπτομένη στο $B$. Καθ' όλη τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, η γωνία που σχηματίζει η κινούμενη χορδή με τη σταθερή χορδή $B\Gamma$ παραμένει ίση με μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο (αφού και οι δύο χορδές ορίζουν μια εγγεγραμμένη γωνία στο κοινό τους σημείο). Στο όριο, η γωνία χορδής-εφαπτομένης «κληρονομεί» αυτή την ιδιότητα.

Εφαρμογή: υπολογισμός γωνιών με το θεώρημα

Το θεώρημα χρησιμοποιείται συνήθως για να υπολογίσουμε μια άγνωστη γωνία, γνωρίζοντας είτε τη γωνία χορδής-εφαπτομένης είτε την αντίστοιχη εγγεγραμμένη.

Παράδειγμα 1. Μια εφαπτομένη σε σημείο $A$ ενός κύκλου σχηματίζει με τη χορδή $A\Gamma$ γωνία $x$. Αν η εγγεγραμμένη γωνία $A\hat{B}\Gamma$, που βαίνει στο ίδιο τόξο $A\Gamma$ ανάμεσα στις πλευρές της γωνίας $x$, ισούται με $45°$, να βρεθεί η γωνία $x$.

Λύση: Η γωνία $x$ είναι γωνία χορδής-εφαπτομένης στο άκρο $A$ της χορδής $A\Gamma$, και η $A\hat{B}\Gamma$ είναι εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο. Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης:

Συχνά, το θεώρημα δεν χρησιμοποιείται μόνο του, αλλά μαζί με άλλες ιδιότητες γωνιών σε κύκλο ή τριγώνου, όπως το άθροισμα γωνιών τριγώνου ή η γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο.

Παράδειγμα 2. Σε κύκλο με κέντρο $K$, η εγγεγραμμένη γωνία $\hat{A}$ ενός τριγώνου $AB\Gamma$ βαίνει σε ημικύκλιο, η γωνία $\hat{B}$ ισούται με $4x$ και η τρίτη γωνία του τριγώνου (στην κορυφή $\Gamma$) ισούται με $x$. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $\Gamma$ σχηματίζει με τη χορδή $B\Gamma$ γωνία $z$. Να βρεθούν τα $x$, $y$ (το μέτρο της γωνίας $\hat{A}$) και $z$.

Λύση: Αφού η γωνία $\hat{A}$ βαίνει σε ημικύκλιο, ισχύει $y = 90°$.

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$, το άθροισμα των γωνιών είναι $180°$:

Για τη γωνία $z$ υπάρχουν δύο δρόμοι:

Α' τρόπος (με το θεώρημα χορδής-εφαπτομένης): Η γωνία $z$, ανάμεσα στην εφαπτομένη στο $\Gamma$ και τη χορδή $B\Gamma$, ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία $\hat{B}$ που βαίνει στο ίδιο τόξο $B\Gamma$:

Β' τρόπος (με την καθετότητα ακτίνας-εφαπτομένης): Η ακτίνα $K\Gamma$ είναι κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής $\Gamma$, άρα η γωνία ανάμεσα στην ακτίνα $K\Gamma$ και τη χορδή $B\Gamma$ είναι συμπληρωματική της $z$. Αυτή η γωνία ισούται με $x$ (καθώς το τρίγωνο $KB\Gamma$ είναι ισοσκελές, αφού $KB = K\Gamma$ ως ακτίνες, οπότε οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες). Επομένως:

Και οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, κάτι που επιβεβαιώνει τη λύση.

Η καθετότητα ακτίνας και εφαπτομένης

Μια θεμελιώδης ιδιότητα που συνοδεύει συχνά το θεώρημα χορδής-εφαπτομένης είναι ότι η ακτίνα ενός κύκλου στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Αυτή η ιδιότητα δίνει έναν δεύτερο, εναλλακτικό τρόπο υπολογισμού γωνιών χορδής-εφαπτομένης, όπως φάνηκε στο δεύτερο παράδειγμα: αν γνωρίζουμε τη γωνία ανάμεσα στην ακτίνα και τη χορδή σε ένα σημείο επαφής, η γωνία χορδής-εφαπτομένης στο ίδιο σημείο είναι η συμπληρωματική της (οι δύο γωνίες έχουν άθροισμα $90°$), αφού μαζί συνθέτουν την ορθή γωνία ανάμεσα σε ακτίνα και εφαπτομένη.

Ίσα εφαπτόμενα τμήματα από εξωτερικό σημείο

Το θεώρημα χορδής-εφαπτομένης έχει μια σημαντική συνέπεια όταν από ένα σημείο εκτός κύκλου φέρουμε δύο εφαπτόμενα τμήματα προς τον κύκλο.

Πρόταση. Από σημείο $E$ εκτός κύκλου $(K, R)$ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $EA$ και $EB$ προς τον κύκλο (όπου $A$, $B$ τα σημεία επαφής). Τότε $EA = EB$.

Απόδειξη: Θεωρούμε τυχαίο σημείο $\Gamma$ του κύκλου και τις χορδές $\Gamma A$ και $\Gamma B$. Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης, εφαρμοσμένο στο σημείο επαφής $A$:

και εφαρμοσμένο στο σημείο επαφής $B$:

Επομένως:

Στο τρίγωνο $EAB$, οι δύο αυτές γωνίες είναι οι προσκείμενες στη βάση $AB$ και είναι ίσες, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Οι πλευρές απέναντι από ίσες γωνίες σε ισοσκελές τρίγωνο είναι ίσες, άρα $EA = EB$. $\blacksquare$

Σύνοψη των θεωρημάτων γωνιών κύκλου

Το θεώρημα χορδής-εφαπτομένης ολοκληρώνει μια οικογένεια σχέσεων ανάμεσα σε γωνίες που σχετίζονται με έναν κύκλο. Ο παρακάτω πίνακας συγκεντρώνει τις βασικές σχέσεις: