Εγγεγραμμένα Τετράπλευρα σε Κύκλο 📐
Τι σημαίνει «εγγεγραμμένο τετράπλευρο»
Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο όταν όλες του οι κορυφές —και οι τέσσερις— βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του τετραπλεύρου, γιατί «περικλείει» το σχήμα περνώντας ακριβώς από τις γωνίες του.
Ενώ από κάθε τρίγωνο περνά πάντα ένας κύκλος (ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου υπάρχει πάντα), αυτό δεν ισχύει για κάθε τετράπλευρο. Ένα τυχαίο τετράπλευρο —για παράδειγμα ένα «στραβό» τραπέζιο ή ένα τυχαίο κυρτό τετράπλευρο— συνήθως δεν έχει τις τέσσερις κορυφές του πάνω στον ίδιο κύκλο. Χρειάζεται μια συγκεκριμένη συνθήκη στις γωνίες του, την οποία θα δούμε παρακάτω.
Η ύπαρξη ενός κοινού κύκλου για τις τέσσερις κορυφές δεν είναι τυχαία: συνδέεται στενά με τις εγγεγραμμένες γωνίες και τα τόξα που αυτές «βλέπουν». Ακριβώς εκεί βρίσκεται η αιτία του βασικού θεωρήματος της ενότητας.
Το θεώρημα των απέναντι γωνιών
Σε κάθε τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους ισούται με .
Αν το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο σχέσεις:
Αξίζει να προσέξεις ποιες γωνίες συνδέονται: όχι δύο διαδοχικές, αλλά οι δύο ζευγαρωτές απέναντι γωνίες — αυτές που δεν έχουν κοινή πλευρά.
Γιατί ισχύει: η απόδειξη
Το θεώρημα δεν είναι τυχαίο· είναι άμεση συνέπεια της βασικής σχέσης ανάμεσα σε μια εγγεγραμμένη γωνία και το τόξο στο οποίο αυτή βαίνει. Θυμήσου ότι το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει.
Στο τετράπλευρο , η γωνία είναι εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο (το τόξο που «βλέπει» η κορυφή , δηλαδή αυτό που δεν περιέχει το ). Άρα:
Με τον ίδιο συλλογισμό, η απέναντι γωνία βαίνει στο τόξο :
Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις:
Το κρίσιμο σημείο της απόδειξης είναι ότι τα δύο αυτά τόξα, και , μαζί καλύπτουν ολόκληρο τον κύκλο χωρίς να επικαλύπτονται — το ένα είναι το τόξο «από το στο περνώντας από το » και το άλλο «από το στο περνώντας από το ». Άρα το άθροισμά τους είναι :
Η όλη απόδειξη στηρίζεται σε μία ιδέα: κάθε ζευγάρι απέναντι γωνιών «μοιράζεται» ολόκληρο τον κύκλο σε δύο τόξα που αθροίζουν σε . Επειδή κάθε γωνία είναι το μισό του δικού της τόξου, το άθροισμα δύο απέναντι γωνιών γίνεται αυτόματα το μισό του , δηλαδή .
Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, χρησιμοποιώντας τα τόξα και , αποδεικνύεται ότι:
Αν γνωρίζεις τη μία γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου, βρίσκεις αμέσως την απέναντί της αφαιρώντας την από — δεν χρειάζεται να ξέρεις τίποτα άλλο για το σχήμα. Αυτό κάνει το θεώρημα ένα από τα πιο άμεσα εργαλεία στην επίλυση προβλημάτων με κύκλους.
Υπολογισμός γωνιών από τα τόξα
Πολλές φορές μια άσκηση δεν δίνει απευθείας τις γωνίες του τετραπλεύρου, αλλά τα τόξα στα οποία χωρίζεται ο κύκλος από τις κορυφές του. Σε αυτή την περίπτωση δουλεύεις σε δύο στάδια:
- Αν λείπει κάποιο τόξο, το βρίσκεις αφαιρώντας τα υπόλοιπα από (αφού όλα τα τόξα μαζί συμπληρώνουν έναν ολόκληρο κύκλο).
- Κάθε γωνία του τετραπλεύρου ισούται με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει — δηλαδή του τόξου που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή της γωνίας, χωρίς να την περιέχει.
Μόλις υπολογίσεις έτσι δύο απέναντι γωνίες, μπορείς να ελέγξεις ή να βρεις τις άλλες δύο χρησιμοποιώντας απευθείας το θεώρημα (παραπληρωματικές ανά ζεύγος), χωρίς να χρειάζεται να ξαναδουλέψεις με τόξα.
Ένα πολύ συνηθισμένο λάθος είναι να θεωρηθεί ότι η γωνία μιας κορυφής σχετίζεται με το τόξο δίπλα σε αυτή την κορυφή. Στην πραγματικότητα ισχύει το αντίθετο: η γωνία μιας κορυφής βαίνει στο τόξο που βρίσκεται απέναντί της, δηλαδή στο τόξο που ενώνει τις άλλες τρεις κορυφές χωρίς να περνά από αυτή.
Λυμένα παραδείγματα
Παράδειγμα 1 — Εύρεση γωνίας από αλγεβρική σχέση
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, με και . Να βρεθεί η γωνία .
Λύση. Οι γωνίες και είναι απέναντι γωνίες του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου, άρα είναι παραπληρωματικές:
Άρα και .
Παράδειγμα 2 — Εύρεση όλων των γωνιών από τα τόξα
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, με , και . Να βρεθούν οι τέσσερις γωνίες του τετραπλεύρου.
Λύση. Πρώτα βρίσκουμε το τέταρτο τόξο, αφού τα τέσσερα τόξα μαζί καλύπτουν ολόκληρο τον κύκλο:
Η γωνία βαίνει στο τόξο , οπότε:
Ομοίως, η γωνία βαίνει στο τόξο , άρα:
Πλέον, αντί να υπολογίσουμε τις άλλες δύο γωνίες ξανά από τόξα, χρησιμοποιούμε απευθείας το θεώρημα των απέναντι γωνιών:
Παρατήρησε ότι μόλις υπολογίστηκαν οι δύο πρώτες γωνίες από τα τόξα, οι άλλες δύο βρέθηκαν αμέσως με μια αφαίρεση από — χωρίς να χρειαστεί άλλος υπολογισμός με τόξα. Αυτός είναι σχεδόν πάντα ο πιο γρήγορος τρόπος εργασίας: υπολόγισε από τόξα μόνο ό,τι είναι απολύτως απαραίτητο, και συμπλήρωσε τα υπόλοιπα με το θεώρημα.
Παράδειγμα 3 — Ισοδύναμες εκφράσεις γωνιών
Σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο ισχύει και . Να βρεθεί η τιμή του και οι δύο γωνίες.
Λύση. Οι γωνίες και είναι απέναντι γωνίες, άρα παραπληρωματικές:
Άρα και . Πράγματι, , όπως αναμενόταν.
Το αντίστροφο: πότε ένα τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο
Το θεώρημα λειτουργεί και αντίστροφα: αν σε ένα κυρτό τετράπλευρο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές (αθροίζουν σε ), τότε το τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο — δηλαδή υπάρχει κύκλος που περνά και από τις τέσσερις κορυφές του.
Αυτό σημαίνει ότι η ιδιότητα «απέναντι γωνίες παραπληρωματικές» δεν είναι απλώς μια συνέπεια του να είναι το τετράπλευρο εγγεγραμμένο· είναι ακριβώς η συνθήκη που το καθορίζει. Γι' αυτό, για παράδειγμα, κάθε ορθογώνιο εγγράφεται πάντα σε κύκλο: οι γωνίες του είναι όλες , οπότε κάθε ζευγάρι απέναντι γωνιών αθροίζει σε .
Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να θεωρηθεί ότι κάθε παραλληλόγραμμο εγγράφεται σε κύκλο. Σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, όχι απαραίτητα παραπληρωματικές. Μόνο όταν οι γωνίες είναι επιπλέον η καθεμία —δηλαδή όταν το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο— ισχύει ταυτόχρονα η ισότητα και η παραπληρωματικότητα, και το τετράπλευρο εγγράφεται σε κύκλο.