Σχετική θέση δύο κύκλων 🔵

Υπενθύμιση: κύκλος, χορδή, διάμετρος, εφαπτομένη

Κύκλος $(K, R)$ είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση $R$ από ένα σταθερό σημείο $K$. Το $K$ λέγεται κέντρο του κύκλου και το $R$ ακτίνα του.

Μέσα σε έναν κύκλο ζουν μερικά βασικά ευθύγραμμα σχήματα, τα οποία θα χρειαστούν παρακάτω:

• Χορδή: χορδή είναι κάθε ευθύγραμμο τμήμα με τα δύο άκρα του πάνω στον κύκλο.
• Διάμετρος: διάμετρος είναι η χορδή που περνά από το κέντρο. Το κέντρο είναι το μέσο κάθε διαμέτρου, και το μήκος της είναι διπλάσιο της ακτίνας:

• Εφαπτομένη: εφαπτομένη ενός κύκλου είναι μια ευθεία που έχει μαζί του ένα και μόνο ένα κοινό σημείο. Στο σημείο αυτό, η εφαπτομένη είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα.

Αυτές οι έννοιες είναι το εργαλειοκιβώτιο που θα χρησιμοποιήσουμε για να περιγράψουμε πώς μπορεί να "συμπεριφέρεται" ένα σημείο, μια ευθεία, ή -το κύριο θέμα εδώ- ένας δεύτερος κύκλος, απέναντι σε έναν κύκλο.

Η θέση ενός σημείου ως προς κύκλο

Ένα σημείο του επιπέδου, σε σχέση με έναν κύκλο $(K, \rho)$, βρίσκεται πάντα σε μία από τρεις δυνατές θέσεις. Το κριτήριο είναι απλό: συγκρίνουμε την απόσταση του σημείου από το κέντρο $K$ με την ακτίνα $\rho$.

• Αν $KA < \rho$, το σημείο $A$ βρίσκεται μέσα στον κύκλο.
• Αν $KB = \rho$, το σημείο $B$ ανήκει στον κύκλο (βρίσκεται πάνω του).
• Αν $K\Gamma > \rho$, το σημείο $\Gamma$ βρίσκεται εκτός του κύκλου.

Η ιδέα πίσω από αυτό είναι διαισθητική: ο κύκλος «χωρίζει» το επίπεδο σε δύο περιοχές (το εσωτερικό και το εξωτερικό του) και ο ίδιος αποτελεί το σύνορο ανάμεσά τους. Η απόσταση από το κέντρο είναι ακριβώς το μέτρο που λέει σε ποια από τις τρεις ζώνες βρισκόμαστε.

Η θέση μιας ευθείας ως προς κύκλο

Το ίδιο ερώτημα μπορεί να τεθεί για μια ολόκληρη ευθεία $(\varepsilon)$ αντί για ένα σημείο. Εδώ το κριτήριο δεν είναι η απόσταση ενός σημείου από το κέντρο, αλλά η απόσταση $d$ της ίδιας της ευθείας από το κέντρο $K$ του κύκλου $(K, \rho)$ — δηλαδή το μήκος του κάθετου τμήματος από το $K$ προς την $(\varepsilon)$.

Παρατήρησε ότι όσο η ευθεία «απομακρύνεται» από το κέντρο, το πλήθος των κοινών σημείων με τον κύκλο μειώνεται: από δύο (τέμνουσα), σε ένα (εφαπτομένη), σε μηδέν (ξένη). Αυτή η λογική -η απόσταση καθορίζει το πλήθος των κοινών σημείων- είναι ακριβώς η ίδια λογική που θα χρησιμοποιήσουμε παρακάτω για δύο κύκλους.

Απόστημα χορδής

Μια χρήσιμη έννοια που σχετίζεται με τα παραπάνω είναι το απόστημα μιας χορδής: το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από το κέντρο του κύκλου προς τη χορδή. Αν $K\Gamma$ είναι το απόστημα της χορδής $AB$, τότε $K\Gamma \perp AB$. Το απόστημα μιας χορδής είναι πάντα μικρότερο από την ακτίνα, αφού η χορδή βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα στον κύκλο (εκτός από τα άκρα της).

Η διάκεντρος δύο κύκλων

Για να συγκρίνουμε δύο κύκλους μεταξύ τους χρειαζόμαστε ένα μέγεθος που να περιγράφει πόσο «μακριά» βρίσκεται ο ένας από τον άλλο. Αυτό το μέγεθος είναι η διάκεντρος.

Η διάκεντρος παίζει για δύο κύκλους τον ρόλο που έπαιζε η απόσταση $d$ για μια ευθεία: είναι ο αριθμός που θα συγκρίνουμε με τις ακτίνες για να αποφασίσουμε πώς σχετίζονται οι δύο κύκλοι μεταξύ τους.

Σχετική θέση δύο κύκλων

Η βασική ιδέα είναι να συγκρίνουμε το μήκος της διακέντρου $\delta$ με το άθροισμα $R + \rho$ και με τη διαφορά $R - \rho$ των δύο ακτίνων. Για να έχει νόημα η σύγκριση με τη διαφορά (ώστε να μην βγαίνει αρνητικός αριθμός), συμφωνούμε να ονομάζουμε $R$ την μεγαλύτερη ή ίση από τις δύο ακτίνες, δηλαδή θεωρούμε πάντα $R \geq \rho$.

Υπάρχουν ακριβώς πέντε δυνατές σχετικές θέσεις. Ας τις δούμε μία-μία, ξεκινώντας από τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση των κέντρων και προχωρώντας προς τη μικρότερη.

Ξένοι εξωτερικά

Όταν οι δύο κύκλοι είναι πολύ μακριά ο ένας από τον άλλο, ώστε να μην έχουν κανένα κοινό σημείο και ο ένας να βρίσκεται εντελώς έξω από τον άλλο, τότε η διάκεντρος είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτίνων:

Δεν υπάρχει κανένα κοινό σημείο, γιατί ακόμα κι αν "τεντώσουμε" τους δύο κύκλους ο ένας προς τον άλλο κατά μήκος της διακέντρου, το άθροισμα των ακτίνων τους δεν φτάνει για να καλύψει την απόσταση $\delta$ των κέντρων.

Εφάπτονται εξωτερικά

Καθώς οι κύκλοι πλησιάζουν, φτάνει μια στιγμή που «μόλις» ακουμπούν. Αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν η διάκεντρος ισούται με το άθροισμα των ακτίνων:

Οι κύκλοι έχουν τότε ένα μοναδικό κοινό σημείο, το σημείο επαφής, το οποίο βρίσκεται ακριβώς πάνω στη διάκεντρο, ανάμεσα στα δύο κέντρα.

Τέμνονται

Αν οι κύκλοι πλησιάσουν ακόμα περισσότερο, περνούν ο ένας μέσα στην περιοχή του άλλου και τέμνονται σε δύο σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν η διάκεντρος βρίσκεται ανάμεσα στη διαφορά και στο άθροισμα των ακτίνων:

Οι κύκλοι έχουν δύο κοινά σημεία, τα σημεία τομής. Αυτή είναι η "πλατύτερη" περίπτωση, με ένα εύρος τιμών αντί για μία μοναδική τιμή του $\delta$ — για αυτό και συχνά είναι η πιο συνηθισμένη σχετική θέση σε ασκήσεις.

Εφάπτονται εσωτερικά

Αν συνεχίσουμε να πλησιάζουμε τα κέντρα, οι δύο τομές "κλείνουν" ξανά σε ένα μοναδικό σημείο. Αυτό συμβαίνει όταν η διάκεντρος ισούται με τη διαφορά των ακτίνων:

Και εδώ υπάρχει ένα μοναδικό κοινό σημείο, αλλά τώρα ο μικρός κύκλος βρίσκεται σχεδόν ολόκληρος μέσα στον μεγάλο — ακουμπούν "από μέσα".

Ξένοι εσωτερικά

Τέλος, αν η διάκεντρος γίνει μικρότερη από τη διαφορά των ακτίνων, ο μικρός κύκλος βρίσκεται ολόκληρος μέσα στον μεγάλο, χωρίς κανένα κοινό σημείο:

Οι δύο κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, ακριβώς όπως στους ξένους εξωτερικά κύκλους, αλλά εδώ ο ένας κύκλος "κρύβεται" εντελώς μέσα στον άλλο αντί να βρίσκεται δίπλα του.

Συνοπτικός πίνακας

Αξίζει να προσέξεις ένα μοτίβο: το πλήθος των κοινών σημείων είναι 0, 1, 2, 1, 0 καθώς η διάκεντρος μειώνεται από πολύ μεγάλη σε πολύ μικρή. Οι δύο ακραίες τιμές ($\delta = R+\rho$ και $\delta = R-\rho$) είναι πάντα οι "οριακές" περιπτώσεις με ακριβώς ένα κοινό σημείο, ενώ ανάμεσά τους οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία.

Πώς λύνουμε μια άσκηση σχετικής θέσης

Το μεθοδολογικό βήμα-βήμα είναι πάντα το ίδιο:

1. Προσδιορίζουμε ποια ακτίνα είναι η μεγαλύτερη, ώστε να ισχύει $R \geq \rho$.
2. Υπολογίζουμε το άθροισμα $R + \rho$ και τη διαφορά $R - \rho$.
3. Συγκρίνουμε τη διάκεντρο $\delta$ με αυτές τις δύο τιμές.
4. Καταλήγουμε στη σχετική θέση, σύμφωνα με τον συνοπτικό πίνακα.

Λυμένο παράδειγμα

Να βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων $(K, 4\text{ cm})$ και $(\Lambda, 6\text{ cm})$ όταν:

(α) $K\Lambda = 10\text{ cm}$

(β) $K\Lambda = 7\text{ cm}$

Λύση:

Πρώτα εντοπίζουμε τη μεγαλύτερη ακτίνα: αφού $6 > 4$, θέτουμε $R = 6\text{ cm}$ και $\rho = 4\text{ cm}$, ώστε να ισχύει $R \geq \rho$.

Υπολογίζουμε τις δύο οριακές τιμές:

(α) Εδώ $\delta = K\Lambda = 10\text{ cm}$. Επειδή $\delta = R + \rho$ (και τα δύο ισούνται με $10$), οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

(β) Εδώ $\delta = K\Lambda = 7\text{ cm}$. Επειδή $2 < 7 < 10$, δηλαδή $R - \rho < \delta < R + \rho$, οι κύκλοι τέμνονται.