Ο τριγωνομετρικός κύκλος 🎯

Τι είναι ο τριγωνομετρικός κύκλος

Για να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας οποιουδήποτε μεγέθους —όχι μόνο γωνιών ορθογωνίου τριγώνου μέχρι $90°$— χρειαζόμαστε ένα σταθερό «εργαλείο» πάνω στο οποίο θα «διαβάζουμε» αυτούς τους αριθμούς. Αυτό το εργαλείο είναι ο τριγωνομετρικός κύκλος.

Επειδή το κέντρο και η ακτίνα του είναι πάντα τα ίδια, η εξίσωσή του είναι σταθερή:

Κάθε σημείο $M(x, y)$ που ικανοποιεί αυτή την εξίσωση βρίσκεται πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο, σε απόσταση $1$ από την αρχή των αξόνων.

Μια γωνία $\omega$ σε κανονική θέση έχει κορυφή το $O$ και αρχική πλευρά τον θετικό ημιάξονα $Ox$. Η τελική της πλευρά, καθώς η γωνία μεγαλώνει, «σαρώνει» τον κύκλο γύρω από το $O$ και τον τέμνει σε ένα μοναδικό σημείο. Αυτό ακριβώς το σημείο τομής είναι το κλειδί για να ορίσουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη για κάθε γωνία, ακόμα και για γωνίες μεγαλύτερες από $90°$ ή αρνητικές.

Τα τεταρτημόρια

Οι δύο άξονες $xx'$ και $yy'$ χωρίζουν το επίπεδο —άρα και τον τριγωνομετρικό κύκλο— σε τέσσερα ίσα τόξα, τα τεταρτημόρια. Τα αριθμούμε με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού (τη λεγόμενη θετική φορά), ξεκινώντας από τον θετικό ημιάξονα $Ox$:

Το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά μιας γωνίας καθορίζει, όπως θα δούμε, το πρόσημο όλων των τριγωνομετρικών της αριθμών.

Ημίτονο και συνημίτονο ως συντεταγμένες

Έστω γωνία $\omega$ σε κανονική θέση, της οποίας η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $M(x, y)$. Επειδή το $M$ βρίσκεται πάνω στον κύκλο, ισχύει $OM = \rho = 1$.

Αν φέρουμε την κάθετη από το $M$ στον άξονα $x'x$, σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα $OM = 1$. Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει:

Αυτό είναι το πιο σημαντικό συμπέρασμα της ενότητας: το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας δεν είναι τίποτα άλλο από τις συντεταγμένες του σημείου τομής της τελικής πλευράς με τον τριγωνομετρικό κύκλο.

• Το ημίτονο είναι η τεταγμένη (το $y$) του σημείου $M$.
• Το συνημίτονο είναι η τετμημένη (το $x$) του σημείου $M$.

Επειδή το σημείο $M$ κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας $1$, οι συντεταγμένες του δεν μπορούν ποτέ να ξεπεράσουν το $1$ σε απόλυτη τιμή. Αυτό δίνει αμέσως το εύρος τιμών των δύο αυτών τριγωνομετρικών αριθμών:

Η εφαπτομένη ως μήκος πάνω σε εφαπτόμενη ευθεία

Η εφαπτομένη δεν διαβάζεται πάνω σε κάποιον από τους δύο βασικούς άξονες, αλλά πάνω σε μια τρίτη, βοηθητική ευθεία: την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $K(1, 0)$, δηλαδή μια κατακόρυφη ευθεία παράλληλη στον $y'y$.

Προεκτείνουμε την τελική πλευρά της γωνίας $\omega$ μέχρι να τμήσει αυτή τη βοηθητική ευθεία σε ένα σημείο $A$. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OKA$ (ορθή γωνία στο $K$), η κάθετη πλευρά $OK$ έχει μήκος $1$ (είναι ακτίνα), οπότε:

Δηλαδή η εφαπτομένη ισούται με το (προσημασμένο) μήκος του τμήματος $KA$ πάνω στη βοηθητική ευθεία.

Καθώς η τελική πλευρά της γωνίας πλησιάζει τον άξονα $y'y$ (δηλαδή τις $90°$ ή τις $270°$), γίνεται σχεδόν παράλληλη με τη βοηθητική ευθεία και το σημείο τομής $A$ απομακρύνεται απεριόριστα. Γι' αυτό η εφαπτομένη, σε αντίθεση με το ημίτονο και το συνημίτονο, δεν έχει άνω ή κάτω φράγμα.

Η συνεφαπτομένη σφ$\omega$ ορίζεται ως ο αντίστροφος της εφαπτομένης, όταν αυτή υπάρχει και δεν είναι μηδέν:

Επειδή η σφ$\omega$ είναι αντίστροφος της εφ$\omega$, έχει πάντα το ίδιο πρόσημο με αυτήν — τα δύο κλάσματα, το ένα αντίστροφο του άλλου, δεν αλλάζουν πρόσημο μεταξύ τους.

Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών ανά τεταρτημόριο

Αφού το ημ$\omega$ και το συν$\omega$ είναι απλώς οι συντεταγμένες $y$ και $x$ του σημείου $M$, το πρόσημό τους καθορίζεται αποκλειστικά από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το $M$ — δηλαδή από τα πρόσημα του $x$ και του $y$ εκεί.

1ο τεταρτημόριο ($0° < \omega < 90°$)

Το σημείο $M(x, y)$ έχει $x > 0$ και $y > 0$:

2ο τεταρτημόριο ($90° < \omega < 180°$)

Το σημείο $M(x, y)$ έχει $x < 0$ και $y > 0$:

3ο τεταρτημόριο ($180° < \omega < 270°$)

Το σημείο $M(x, y)$ έχει $x < 0$ και $y < 0$:

4ο τεταρτημόριο ($270° < \omega < 360°$)

Το σημείο $M(x, y)$ έχει $x > 0$ και $y < 0$:

Επειδή η εφ$\omega$ είναι το πηλίκο $\frac{y}{x}$ (θα το δούμε αναλυτικά παρακάτω), το πρόσημό της προκύπτει από τον κανόνα των προσήμων στη διαίρεση: ίδια πρόσημα στο $x$ και στο $y$ δίνουν θετική εφαπτομένη, διαφορετικά πρόσημα δίνουν αρνητική.

Παράδειγμα. Να βρεθεί το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας με μέτρο $117°$.

Λύση. Επειδή $90° < 117° < 180°$, η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο. Άρα:

Η εφαπτομένη ως πηλίκο συντεταγμένων

Υπάρχει και ένας δεύτερος, πιο πρακτικός τρόπος να υπολογίσουμε την εφαπτομένη, χωρίς να χρειάζεται να καταφύγουμε στη βοηθητική εφαπτόμενη ευθεία. Αφού $\text{ημ}\omega = y$ και $\text{συν}\omega = x$, το πηλίκο τους δίνει:

Αυτή η σχέση είναι εξαιρετικά χρήσιμη: όποτε γνωρίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας, μπορούμε να βρούμε αμέσως την εφαπτομένη της με μια απλή διαίρεση, χωρίς να χρειάζεται νέα γεωμετρική κατασκευή. Αντίστοιχα:

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των ειδικών γωνιών $0°, 90°, 180°, 270°, 360°$

Όταν η τελική πλευρά μιας γωνίας πέφτει ακριβώς πάνω σε έναν άξονα, το σημείο τομής με τον τριγωνομετρικό κύκλο είναι ένα από τα τέσσερα «ακραία» σημεία του κύκλου: $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ ή $(0,-1)$. Διαβάζοντας απευθείας τις συντεταγμένες τους παίρνουμε τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου σε αυτές τις γωνίες:

Έλεγχος αν ένα σημείο ανήκει στον τριγωνομετρικό κύκλο

Ένα σημείο $A(x_A, y_A)$ ανήκει στον τριγωνομετρικό κύκλο ακριβώς όταν η απόστασή του από το κέντρο $O$ ισούται με $1$, δηλαδή όταν επαληθεύει την εξίσωση $x^2 + y^2 = 1$. Αν ένα σημείο ανήκει στον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε ορίζει μια γωνία σε κανονική θέση: το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της γωνίας αυτής υπολογίζονται απευθείας από τις συντεταγμένες του σημείου.

Παράδειγμα. Δίνεται το σημείο $A$ με συντεταγμένες $\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$.
(α) Να αποδειχθεί ότι το σημείο $A$ ανήκει στον τριγωνομετρικό κύκλο.
(β) Αν η τελική πλευρά μιας γωνίας $\omega$ σε κανονική θέση τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $A$, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημ$\omega$, συν$\omega$, εφ$\omega$ και σφ$\omega$.

Λύση.

(α) Αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση $OA$ ισούται με $1$:

Άρα το σημείο $A$ ανήκει πράγματι στον τριγωνομετρικό κύκλο.

(β) Το ημ$\omega$ και το συν$\omega$ είναι η τεταγμένη και η τετμημένη του $A$ αντίστοιχα:

Η εφ$\omega$ βρίσκεται ως πηλίκο των δύο:

και η σφ$\omega$ είναι ο αντίστροφός της:

Παρατήρησε ότι το σημείο $A$ έχει $x < 0$ και $y > 0$, άρα βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο — και πράγματι το ημ$\omega$ βγήκε θετικό, ενώ το συν$\omega$ και το εφ$\omega$ βγήκαν αρνητικά, όπως προβλέπει ο πίνακας προσήμων.

Παράδειγμα. Η τελική πλευρά μιας γωνίας $\theta$ σε κανονική θέση τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $A(a, \beta)$, με το $A$ να ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο. Να γραφούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημ$\theta$, συν$\theta$ και εφ$\theta$ και να αναφερθεί το πρόσημό τους.

Λύση. Το ημ$\theta$ και το συν$\theta$ είναι η τεταγμένη και η τετμημένη του $A$:

Αφού το $A$ ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο, ισχύει $a < 0$ και $\beta > 0$, άρα:

Η εφ$\theta$ προκύπτει ως πηλίκο:

αφού αριθμητής θετικός και παρονομαστής αρνητικός δίνουν αρνητικό πηλίκο — αποτέλεσμα που συμφωνεί με τον πίνακα προσήμων του 2ου τεταρτημορίου.