Γωνία σε κανονική θέση 📐

Τι είναι μια τριγωνομετρική γωνία

Μέχρι τώρα μια γωνία περιγραφόταν σαν το "άνοιγμα" ανάμεσα σε δύο ημιευθείες, με μέγεθος πάντα ανάμεσα σε $0°$ και $360°$ . Στην Τριγωνομετρία η ιδέα της γωνίας γίνεται πιο δυναμική: μια γωνία δεν είναι απλώς ένα σχήμα, είναι μια κίνηση.

Φαντάσου μία ημιευθεία που περιστρέφεται γύρω από την κορυφή της, ξεκινώντας από μία θέση και καταλήγοντας σε μία άλλη. Αυτή η περιστροφή παράγει μια τριγωνομετρική γωνία. Οι δύο θέσεις της ημιευθείας έχουν ξεχωριστά ονόματα, γιατί δεν παίζουν τον ίδιο ρόλο:

Η θέση από την οποία ξεκινά η περιστροφή λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας.
Η θέση στην οποία καταλήγει η περιστροφή λέγεται τελική πλευρά της γωνίας.

Η διαφορά με τη γωνία που ήξερες ως τώρα είναι θεμελιώδης: εκεί μετρούσες μόνο πόσο "ανοιχτή" είναι η γωνία. Εδώ μετράς μια διαδικασία περιστροφής, και μια διαδικασία έχει και κατεύθυνση, και μπορεί να γίνει πάνω από μία πλήρη στροφή. Αυτό είναι που κάνει την τριγωνομετρική γωνία πολύ πιο ισχυρό εργαλείο: μπορεί να περιγράψει καταστάσεις όπου κάτι περιστρέφεται συνεχώς, όπως ένας τροχός ή ένας δείκτης ρολογιού.

Φορά της γωνίας

Αφού η τριγωνομετρική γωνία είναι μια περιστροφή, χρειάζεται να ξέρουμε προς ποια κατεύθυνση έγινε η περιστροφή. Αυτή η κατεύθυνση λέγεται φορά της γωνίας και παίρνει πρόσημο:

Φορά	Κατεύθυνση περιστροφής	Πρόσημο
Θετική φορά	Αριστερόστροφη	$+$
Αρνητική φορά	Δεξιόστροφη	$-$

Η σύμβαση αυτή δεν είναι τυχαία: χρειαζόμαστε έναν σταθερό κανόνα ώστε όλοι να συμφωνούν ποια περιστροφή είναι "θετική", ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλη ή μικρή είναι η γωνία.

Προσανατολισμένη γωνία

Μια γωνία στην οποία έχει καθοριστεί η φορά της λέγεται προσανατολισμένη. Αυτό σημαίνει ότι δεν μας ενδιαφέρει μόνο πόσο "μεγάλη" είναι μια γωνία, αλλά και προς ποια κατεύθυνση διαγράφτηκε η περιστροφή που την παρήγαγε.

Αλγεβρική τιμή τριγωνομετρικής γωνίας

Επειδή η φορά κουβαλάει πληροφορία εξίσου σημαντική με το μέγεθος, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να τις γράφουμε και τις δύο μαζί σε έναν μόνο αριθμό. Αυτός ο αριθμός λέγεται αλγεβρική τιμή.

Ορισμός

Αλγεβρική τιμή μιας τριγωνομετρικής γωνίας είναι ο αριθμός που προκύπτει όταν μετρήσουμε το μέγεθος της γωνίας με μια μονάδα μέτρησης (π.χ. μοίρα) και βάλουμε μπροστά της πρόσημο $+$ ή $-$ , ανάλογα με το αν η φορά της γωνίας είναι θετική ή αρνητική αντίστοιχα.

Έτσι, μια γωνία $\alpha$ που έχει διαγραφεί με αριστερόστροφη φορά και μέγεθος $65°$ έχει αλγεβρική τιμή $+65°$ . Μια γωνία $\beta$ με το ίδιο μέγεθος αλλά δεξιόστροφη φορά έχει αλγεβρική τιμή $-65°$ . Οι δύο γωνίες "ανοίγουν" το ίδιο, αλλά η αλγεβρική τους τιμή είναι διαφορετική, γιατί κωδικοποιεί και την κατεύθυνση.

Μην μπερδεύεις μέγεθος και αλγεβρική τιμή

Το μέγεθος μιας γωνίας είναι πάντα θετικό (ή μηδέν) — είναι απόσταση. Η αλγεβρική τιμή όμως μπορεί να είναι θετική ή αρνητική, γιατί κουβαλάει και τη φορά. Δύο γωνίες με το ίδιο μέγεθος μπορεί να έχουν αντίθετες αλγεβρικές τιμές.

Γωνία σε κανονική θέση

Για να μπορούμε να μελετάμε τις τριγωνομετρικές γωνίες με τα εργαλεία της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας, τις τοποθετούμε πάνω σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, με έναν συγκεκριμένο τρόπο.

Ορισμός

Μια τριγωνομετρική γωνία είναι σε κανονική θέση, όταν η κορυφή της βρίσκεται στην αρχή των αξόνων του ορθοκανονικού συστήματος και η αρχική της πλευρά συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων.

Δηλαδή, για να είναι μια γωνία σε κανονική θέση πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα δύο συνθήκες:

Η κορυφή της να βρίσκεται στο σημείο $O(0,0)$ .
Η αρχική πλευρά της να βρίσκεται πάνω στον θετικό ημιάξονα $Ox$ .

Ο λόγος που απαιτούμε αυτές τις δύο συγκεκριμένες συνθήκες είναι ότι έτσι όλες οι γωνίες "ξεκινούν" από το ίδιο σημείο αναφοράς. Αν δύο γωνίες είναι και οι δύο σε κανονική θέση, η μόνη τους διαφορά είναι το πόσο και προς ποια φορά έχει περιστραφεί η ημιευθεία — δεν υπάρχει καμία αμφισημία λόγω διαφορετικής θέσης ή προσανατολισμού. Αυτό κάνει εφικτή τη σύγκριση και τον υπολογισμό γωνιών μεταξύ τους.

Το μέγεθος δεν περιορίζεται από την κανονική θέση

Μια γωνία σε κανονική θέση μπορεί να έχει οποιαδήποτε αλγεβρική τιμή — θετική, αρνητική, ακόμα και μεγαλύτερη από $360°$ ή μικρότερη από $-360°$ . Η κανονική θέση αφορά πού βρίσκεται η γωνία στο επίπεδο (κορυφή και αρχική πλευρά), όχι πόσο μεγάλη είναι. Μια ημιευθεία μπορεί κάλλιστα να κάνει περισσότερες από μία πλήρεις στροφές πριν φτάσει στην τελική της θέση.

Γωνίες με ίδια τελική πλευρά

Επειδή μια πλήρης περιστροφή γύρω από την κορυφή είναι $360°$ , αν μια ημιευθεία περιστραφεί κατά $360°$ επιπλέον (ή κατά οποιοδήποτε ακέραιο πολλαπλάσιο των $360°$ ), επιστρέφει ακριβώς στην ίδια τελική θέση. Αυτό οδηγεί σε ένα σημαντικό συμπέρασμα: πολλές διαφορετικές γωνίες μπορούν να "καταλήγουν" στο ίδιο σημείο.

Δύο ή περισσότερες γωνίες σε κανονική θέση έχουν την ίδια τελική πλευρά, αν η μία διαφέρει από την άλλη κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο των $360°$ . Με άλλα λόγια, αν η γωνία $\alpha$ έχει μια συγκεκριμένη τελική πλευρά, τότε κάθε γωνία της μορφής

\alpha + \kappa \cdot 360°, \quad \kappa \in \mathbb{Z}

έχει ακριβώς την ίδια τελική πλευρά με αυτήν, όποιο ακέραιο κι αν διαλέξουμε για το $\kappa$ (θετικό, αρνητικό ή μηδέν).

Για παράδειγμα:

Η γωνία $120°$ έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία $-240°$ , αφού $-240° = -360° + 120°$ .
Η γωνία $315°$ έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία $675°$ , αφού $675° = 360° + 315°$ .

Πρακτικά, για να ελέγξουμε αν δύο γωνίες έχουν ίδια τελική πλευρά, αρκεί να αφαιρέσουμε τη μία από την άλλη και να δούμε αν το αποτέλεσμα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του $360°$ .

Λυμένο παράδειγμα 1 — Εύρεση γωνιών με ίδια τελική πλευρά

Εκφώνηση: Δύο θετικές γωνίες $x, y < 720°$ βρίσκονται σε κανονική θέση και έχουν την ίδια τελική πλευρά. Αν το μέτρο της μίας είναι τριπλάσιο από το μέτρο της άλλης, να υπολογιστούν τα μέτρα των γωνιών $x$ και $y$ .

Λύση:

Θεωρούμε ότι η γωνία $x$ είναι μεγαλύτερη σε μέτρο από τη γωνία $y$ , και ότι το μέτρο της $x$ είναι τριπλάσιο του μέτρου της $y$ :

x = 3y \quad (1)

Αφού οι γωνίες $x, y$ είναι θετικές, μικρότερες από $720°$ , και έχουν την ίδια τελική πλευρά, η διαφορά τους πρέπει να είναι ακριβώς ένα πολλαπλάσιο του $360°$ — και επειδή είναι και οι δύο κάτω από $720°$ , η μόνη δυνατή διαφορά είναι ακριβώς $360°$ :

x = 360° + y \quad (2)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2) στην (1):

3y = 360° + y \Rightarrow 2y = 360° \Rightarrow y = 180°, \quad x = 3 \cdot 180° = 540°

Άρα οι δύο γωνίες είναι $y = 180°$ και $x = 540°$ .

Λυμένο παράδειγμα 2 — Έλεγχος αν δύο γωνίες έχουν ίδια τελική πλευρά

Εκφώνηση: Να εξεταστεί αν οι γωνίες $a = 1200°$ και $b = 120°$ έχουν την ίδια τελική πλευρά.

Λύση:

Βρίσκουμε τη διαφορά των δύο γωνιών:

a - b = 1200° - 120° = 1080°

Ελέγχουμε αν το $1080°$ είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του $360°$ :

1080° = 3 \cdot 360°

Το πηλίκο $3$ είναι ακέραιος αριθμός, άρα οι γωνίες $a$ και $b$ έχουν την ίδια τελική πλευρά — η $a$ προκύπτει από την $b$ με $3$ επιπλέον πλήρεις στροφές.

Συχνό λάθος

Μην ελέγχεις μόνο αν δύο γωνίες "μοιάζουν" — π.χ. αν έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν νοερά με το $360°$ χωρίς να κάνεις πραγματικά τη διαίρεση. Ο μόνος αξιόπιστος έλεγχος είναι να αφαιρέσεις τις δύο γωνίες και να δεις αν το πηλίκο της διαφοράς με το $360°$ είναι ακέραιος αριθμός. Αν προκύψει δεκαδικός, οι γωνίες δεν έχουν ίδια τελική πλευρά.