Διερεύνηση της εξίσωσης $x^\nu = a$ 🔍

Τι σημαίνει «διερεύνηση» μιας εξίσωσης 🧭

Μια εξίσωση της μορφής

ζητά να βρεθούν όλες οι τιμές του άγνωστου $x$ που, όταν υψωθούν στη δύναμη $\nu$, δίνουν τον αριθμό $a$. Η δυσκολία είναι ότι η απάντηση δεν είναι πάντα η ίδια — αλλάζει ανάλογα με το ποιος είναι ο εκθέτης $\nu$ και ποιος είναι ο αριθμός $a$. Το να «διερευνήσουμε» την εξίσωση σημαίνει να εξετάσουμε συστηματικά όλες τις δυνατές περιπτώσεις, ώστε να ξέρουμε εκ των προτέρων πόσες λύσεις θα έχει και ποιες είναι, χωρίς να χρειάζεται να δοκιμάζουμε τυχαία αριθμούς.

Οι δύο παράγοντες που καθορίζουν τη λύση είναι:

• Αν ο εκθέτης $\nu$ είναι περιττός ή άρτιος.
• Αν ο αριθμός $a$ είναι θετικός, μηδέν ή αρνητικός.

Η βαθύτερη αιτία που η συμπεριφορά αλλάζει τόσο έντονα ανάμεσα σε περιττό και άρτιο εκθέτη βρίσκεται στο πρόσημο που παίρνει μια δύναμη.

Το πρόσημο της δύναμης $x^\nu$ ➕➖

Πριν λύσουμε οποιαδήποτε εξίσωση $x^\nu = a$, αξίζει να καταλάβουμε πώς συμπεριφέρεται το πρόσημο του $x^\nu$ καθώς αλλάζει το πρόσημο του $x$:

Η διαφορά είναι καθοριστική: όταν ο εκθέτης είναι περιττός, ο αρνητικός αριθμός διατηρεί το πρόσημό του υψωμένος στη δύναμη $\nu$ (γιατί ο αρνητικός παράγοντας πολλαπλασιάζεται μαζί του έναν περιττό αριθμό φορών, οπότε το τελικό πρόσημο παραμένει αρνητικό). Όταν όμως ο εκθέτης είναι άρτιος, οι αρνητικοί παράγοντες «ζευγαρώνουν» και εξουδετερώνονται σε πρόσημο, οπότε το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό.

Αυτή η παρατήρηση εξηγεί εκ των προτέρων γιατί οι δύο περιπτώσεις ($\nu$ περιττός, $\nu$ άρτιος) πρέπει να μελετηθούν ξεχωριστά.

Περίπτωση 1: ο εκθέτης $\nu$ είναι περιττός 1️⃣

Όταν ο εκθέτης $\nu$ είναι περιττός, η συνάρτηση $x^\nu$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$: καθώς το $x$ μεγαλώνει, μεγαλώνει και το $x^\nu$, χωρίς ποτέ να «κολλάει» ή να «γυρίζει πίσω». Μια τέτοια συνάρτηση περνάει από κάθε πραγματική τιμή ακριβώς μία φορά, γι' αυτό η εξίσωση $x^\nu = a$ έχει πάντα ακριβώς μία πραγματική λύση, όποιο κι αν είναι το πρόσημο του $a$:

Ο λόγος που χρειάζεται το «τέχνασμα» $x = -\sqrt[\nu]{-a}$ όταν $a < 0$ είναι ότι η νιοστή ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται άμεσα ως πραγματικός αριθμός στο πλαίσιο αυτό· γι' αυτό μετατρέπουμε πρώτα το πρόβλημα σε ρίζα ενός θετικού αριθμού (του $-a$) και μετά αλλάζουμε πρόσημο στο αποτέλεσμα.

Λυμένο παράδειγμα

Να λυθούν οι εξισώσεις $x^3 = 8$ και $x^3 = -27$.

Ο εκθέτης $3$ είναι περιττός.

• Στην πρώτη, $8 > 0$, οπότε $x = \sqrt[3]{8} = 2$.
• Στη δεύτερη, $-27 < 0$, οπότε $x = -\sqrt[3]{27} = -3$. Επαλήθευση: $(-3)^3 = -27$, όπως αναμενόταν.

Περίπτωση 2: ο εκθέτης $\nu$ είναι άρτιος 2️⃣

Όταν ο εκθέτης $\nu$ είναι άρτιος, η κατάσταση είναι διαφορετική επειδή, όπως είδαμε, το $x^\nu$ δεν μπορεί ποτέ να πάρει αρνητική τιμή. Επιπλέον, δύο αντίθετοι αριθμοί $x$ και $-x$ δίνουν την ίδια δύναμη $x^\nu$, αφού τα αρνητικά πρόσημα εξουδετερώνονται. Αυτό σημαίνει ότι, όποτε υπάρχει λύση διάφορη του μηδενός, θα υπάρχει και η αντίθετή της.

Ένα λάθος που κάνουν συχνά οι μαθητές είναι να ξεχνούν τη δεύτερη λύση όταν ο εκθέτης είναι άρτιος και ο $a$ θετικός, γράφοντας μόνο $x = \sqrt[\nu]{a}$ αντί για $x = \pm\sqrt[\nu]{a}$.

Λυμένο παράδειγμα

Να λυθούν οι εξισώσεις $x^4 = 81$ και $x^4 = -81$.

Ο εκθέτης $4$ είναι άρτιος.

• Στην πρώτη, $81 > 0$, οπότε υπάρχουν δύο λύσεις: $x_1 = \sqrt[4]{81} = 3$ και $x_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$. Επαλήθευση: $3^4 = 81$ και $(-3)^4 = 81$.
• Στη δεύτερη, $-81 < 0$, οπότε η εξίσωση δεν έχει καμία πραγματική λύση.

Πώς εργαζόμαστε μπροστά σε μια τέτοια εξίσωση 🛠️

Η διερεύνηση μετατρέπεται σε μια απλή, σταθερή διαδικασία τριών βημάτων:

1. Εξέτασε τον εκθέτη $\nu$: είναι περιττός ή άρτιος;
2. Εξέτασε το πρόσημο του $a$: θετικός, μηδέν ή αρνητικός;
3. Εφάρμοσε τον αντίστοιχο κανόνα από τις δύο περιπτώσεις παραπάνω, για να βρεις πόσες λύσεις υπάρχουν και ποιες είναι.

Αυτή η διαδικασία δουλεύει είτε η λύση βγαίνει ακριβής (π.χ. $\sqrt[3]{8} = 2$) είτε χρειάζεται προσέγγιση με αριθμομηχανή, όταν ο αριθμός κάτω από τη ρίζα δεν είναι τέλεια νιοστή δύναμη.

Λυμένο παράδειγμα με προσεγγιστικές λύσεις

Να λυθούν, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, οι εξισώσεις $x^2 = \dfrac{2}{5}$, $x^3 = 20$ και $x^7 = -100$.

• $x^2 = \dfrac{2}{5}$: ο εκθέτης $2$ είναι άρτιος και $\dfrac{2}{5} > 0$, άρα $x = \pm\sqrt{\dfrac{2}{5}} \simeq \pm 0{,}63$.
• $x^3 = 20$: ο εκθέτης $3$ είναι περιττός και $20 > 0$, άρα $x = \sqrt[3]{20} \simeq 2{,}71$.
• $x^7 = -100$: ο εκθέτης $7$ είναι περιττός και $-100 < 0$, άρα $x = -\sqrt[7]{100} \simeq -1{,}93$.

Λεκτικά προβλήματα που οδηγούν σε εξίσωση $x^\nu = a$ 📝

Πολλά προβλήματα δεν δίνουν την εξίσωση έτοιμη, αλλά την περιγράφουν με λόγια. Η δουλειά μας είναι πρώτα να μεταφράσουμε την περιγραφή σε εξίσωση, και μετά να τη λύσουμε με τη διερεύνηση που είδαμε.

Λυμένο παράδειγμα

Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός ο οποίος, αν μειωθεί κατά $\dfrac{1}{2}$ και υψωθεί στην $3^\eta$ δύναμη, ισούται με $125$.

Μετάφραση σε εξίσωση. Συμβολίζουμε με $x$ τον ζητούμενο αριθμό. Η φράση «μειωθεί κατά $\dfrac{1}{2}$» σημαίνει $x - \dfrac{1}{2}$, και «υψωθεί στην $3^\eta$ δύναμη ισούται με $125$» σημαίνει ότι αυτή η παράσταση, υψωμένη στην τρίτη, δίνει $125$:

Λύση. Αν θεωρήσουμε $y = x - \dfrac{1}{2}$, η εξίσωση γίνεται $y^3 = 125$. Ο εκθέτης $3$ είναι περιττός και $125 > 0$, οπότε υπάρχει μία μόνο λύση:

Άρα $x - \dfrac{1}{2} = 5$, οπότε:

Ο ζητούμενος αριθμός είναι $\dfrac{11}{2}$.