Ορισμός της νιοστής ρίζας 🔢

Από την τετραγωνική και την κυβική ρίζα σε κάτι πιο γενικό 🔄

Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός $\beta$ που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει το $a$:

Με ανάλογο τρόπο, η κυβική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός $\beta$ που, όταν υψωθεί στον κύβο, δίνει το $a$:

Οι δύο ορισμοί έχουν ακριβώς την ίδια λογική δομή: αλλάζει μόνο ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται ο $\beta$ — από 2 σε 3. Αυτό οδηγεί σε μια φυσική ερώτηση: γιατί να σταματήσουμε στο 2 και στο 3; Τίποτα δεν εμποδίζει να ορίσουμε την ίδια ιδέα για εκθέτη 4, 5, ή γενικά για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό. Αυτή η γενίκευση είναι η νιοστή ρίζα.

Ο ορισμός της νιοστής ρίζας 📝

Ο ορισμός δεν λέει απλώς «πώς υπολογίζεται» η ρίζα· λέει τι σημαίνει το σύμβολο $\sqrt[\nu]{a}$. Το $\sqrt[\nu]{a}$ είναι, εξ ορισμού, εκείνος ο αριθμός που λύνει την εξίσωση $\beta^\nu = a$ μέσα στους μη αρνητικούς αριθμούς. Όταν λοιπόν χρειάζεται να υπολογίσουμε μια νιοστή ρίζα, ουσιαστικά ψάχνουμε ποιος αριθμός, υψωμένος στη δύναμη $\nu$, μας δίνει την υπόριζη ποσότητα.

Τα μέρη του συμβολισμού 🏷️

Στο σύμβολο $\sqrt[\nu]{a}$ κάθε στοιχείο έχει το δικό του όνομα:

Όταν $\nu = 2$ συνήθως παραλείπουμε τον δείκτη και γράφουμε απλά $\sqrt{a}$ αντί για $\sqrt[2]{a}$ — έτσι η τετραγωνική ρίζα είναι απλώς η νιοστή ρίζα με $\nu = 2$, και η κυβική ρίζα είναι η νιοστή ρίζα με $\nu = 3$.

Γιατί το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό ⚡

Αυτό είναι το σημείο όπου γίνονται τα περισσότερα λάθη. Σκέψου τον αριθμό $36$: τόσο το $6$ όσο και το $-6$, όταν υψωθούν στο τετράγωνο, δίνουν $36$, αφού $6^2 = 36$ και $(-6)^2 = 36$. Αν ο ορισμός επέτρεπε και τις δύο τιμές, το σύμβολο $\sqrt{36}$ θα ήταν διφορούμενο — θα μπορούσε να σημαίνει είτε $6$ είτε $-6$, και δεν θα ήταν σαφές ποιο από τα δύο εννοούμε κάθε φορά.

Για να αποφευχθεί αυτή η ασάφεια, ο ορισμός της νιοστής ρίζας επιλέγει να δίνει πάντα τον μη αρνητικό αριθμό $\beta$, ώστε το σύμβολο $\sqrt[\nu]{a}$ να αντιστοιχεί σε ακριβώς έναν αριθμό — να είναι δηλαδή μια συνάρτηση με μοναδικό αποτέλεσμα, όχι μια σχέση με δύο πιθανές τιμές.

Ιδιότητες που προκύπτουν απευθείας από τον ορισμό 📐

Από τον ορισμό, και για $a \geq 0$, προκύπτουν αμέσως οι εξής βασικές ιδιότητες:

Κάθε μία από αυτές τις ιδιότητες είναι απλώς ο ορισμός εφαρμοσμένος σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, και αξίζει να καταλάβουμε γιατί ισχύει η καθεμία:

• Η πρώτη λέει ότι η «πρώτη ρίζα» ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, αφού $\beta^1 = a$ σημαίνει απλώς $\beta = a$.
• Η δεύτερη λέει ότι η μόνη περίπτωση όπου η νιοστή ρίζα μηδενίζεται είναι όταν και η υπόριζη ποσότητα είναι μηδέν — λογικό, αφού $0^\nu = 0$ και κανένας άλλος μη αρνητικός αριθμός υψωμένος σε φυσικό εκθέτη δεν δίνει μηδέν.
• Η τρίτη λέει ότι η νιοστή ρίζα του 1 είναι πάντα 1, όποιο κι αν είναι το $\nu$, αφού $1^\nu = 1$ για κάθε φυσικό $\nu$.
• Η τέταρτη είναι η πιο χρήσιμη στην πράξη: αν η υπόριζη ποσότητα είναι ήδη μια δύναμη με εκθέτη $\nu$, τότε η νιοστή ρίζα «αναιρεί» ακριβώς αυτή τη δύναμη. Αυτή η ιδιότητα είναι το εργαλείο που χρησιμοποιούμε για να υπολογίζουμε και να απλοποιούμε ρίζες χωρίς δοκιμές.

Πώς υπολογίζουμε μια νιοστή ρίζα στην πράξη 🧮

Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι σκέψης για τον υπολογισμό μιας νιοστής ρίζας.

Πρώτος τρόπος — απευθείας από τον ορισμό: αναρωτιόμαστε «ποιος μη αρνητικός αριθμός, υψωμένος στη δύναμη $\nu$, δίνει την υπόριζη ποσότητα;»

Δεύτερος τρόπος — μέσω της ιδιότητας $\sqrt[\nu]{a^\nu} = a$: γράφουμε την υπόριζη ποσότητα ως δύναμη με εκθέτη ακριβώς ίσο με τον δείκτη της ρίζας, και η ρίζα «διαγράφεται» με τη δύναμη.

Παράδειγμα — Υπολογισμός ριζών

Να υπολογιστούν οι ρίζες: $\sqrt{36}$, $\sqrt[4]{81}$, $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}}$, $\sqrt{\dfrac{25}{49}}$.

Με τον πρώτο τρόπο (απευθείας από τον ορισμό):

• $\sqrt{36} = 6$, γιατί $6^2 = 36$
• $\sqrt[4]{81} = 3$, γιατί $3^4 = 81$
• $\sqrt[3]{8} = 2$, γιατί $2^3 = 8$
• $\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}} = \dfrac{1}{2}$, γιατί $\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}$
• $\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{5}{7}$, γιατί $\left(\dfrac{5}{7}\right)^2 = \dfrac{25}{49}$

Με τον δεύτερο τρόπο (γράφοντας την υπόριζη ποσότητα ως δύναμη με εκθέτη ίσο με τον δείκτη):

• $\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6$
• $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$
• $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$
• $\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}} = \sqrt[5]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^5} = \dfrac{1}{2}$
• $\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \sqrt{\left(\dfrac{5}{7}\right)^2} = \dfrac{5}{7}$

Ο δεύτερος τρόπος είναι πιο συστηματικός: αντί να «μαντεύουμε» τη ρίζα, την κατασκευάζουμε γράφοντας την υπόριζη ποσότητα στη σωστή μορφή δύναμης.

Απλοποίηση παραστάσεων με τη βοήθεια του εκθέτη 🔍

Η ιδιότητα $\sqrt[\nu]{a^\nu} = a$ γίνεται ιδιαίτερα χρήσιμη όταν η υπόριζη ποσότητα έχει ήδη εκθέτη, αλλά αυτός ο εκθέτης δεν είναι ίσος με τον δείκτη της ρίζας. Η τεχνική είναι να γράψουμε τον εκθέτη ως γινόμενο του δείκτη της ρίζας επί κάποιον ακέραιο, ώστε να εμφανιστεί η μορφή $x^\nu$ μέσα στη ρίζα.

Παράδειγμα — Απλοποίηση με αριθμούς

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις $\sqrt[4]{3^8}$, $\sqrt[3]{5^{30}}$, $\sqrt{2^{14}}$.

(α) Ο δείκτης της ρίζας είναι 4, άρα ψάχνουμε να γράψουμε το $8$ ως πολλαπλάσιο του 4: $8 = 2 \times 4$. Έτσι:

(β) Ο δείκτης είναι 3, και $30 = 10 \times 3$, οπότε $5^{30} = (5^{10})^3$:

(γ) Ο δείκτης είναι 2, και $14 = 7 \times 2$, οπότε $2^{14} = (2^7)^2$:

Παράδειγμα — Απλοποίηση με μεταβλητές

Η ίδια τεχνική εφαρμόζεται και όταν η υπόριζη ποσότητα περιέχει μεταβλητές — αρκεί να προσέξουμε τους περιορισμούς που εξασφαλίζουν ότι μιλάμε για μη αρνητικούς αριθμούς.

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις $\sqrt[6]{x^{30}}$ για $x \geq 0$, $\sqrt[5]{32x^{10}}$ για $x \in \mathbb{R}$, $\sqrt[4]{\dfrac{16}{a^{12}}}$ για $a > 0$.

(α) Για $x \geq 0$, αφού $30 = 5 \times 6$:

(β) Γράφουμε το $32$ ως $2^5$ και το $x^{10}$ ως $(x^2)^5$, ώστε όλη η παράσταση να γίνει μια δύναμη με εκθέτη 5, όσο και ο δείκτης της ρίζας:

(γ) Για $a > 0$, γράφουμε το $16$ ως $2^4$ και το $a^{12}$ ως $(a^3)^4$:

Η νιοστή ρίζα ως αριθμός, όχι μόνο ως αποτέλεσμα πράξης 🗣️

Ένα σημείο που συχνά μπερδεύει είναι ότι όχι κάθε ρίζα «βγαίνει» σε έναν ακέραιο ή σε ένα απλό κλάσμα. Ο αριθμός $\sqrt[4]{20}$, για παράδειγμα, δεν αντιστοιχεί σε κάποιον «βολικό» αριθμό που μπορούμε εύκολα να γράψουμε αλλιώς. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι δεν ξέρουμε τι είναι — ο ορισμός μάς δίνει ακριβώς την ταυτότητά του, ακόμα κι όταν δεν μπορούμε να τον υπολογίσουμε σε «κλειστή» μορφή:

Ο αριθμός $\sqrt[4]{20}$ είναι, εξ ορισμού, εκείνος ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην τέταρτη δύναμη, ισούται με $20$. Δηλαδή, αν θέσουμε $x = \sqrt[4]{20}$, τότε ισχύει $x^4 = 20$.