Το σύνολο των πραγματικών αριθμών 🔢

Τα βασικά σύνολα αριθμών

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στα Μαθηματικά δεν είναι όλοι ίδιου «είδους». Ανάλογα με το πώς προκύπτουν και τι μπορούν να εκφράσουν, τους οργανώνουμε σε σύνολα, το καθένα ευρύτερο από το προηγούμενο.

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί που μαθαίνει κανείς, αυτοί που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε πράγματα:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}

Όταν χρειάστηκε να εκφράσουμε χρέη, θερμοκρασίες κάτω από το μηδέν ή γενικότερα «έλλειψη» ποσότητας, οι φυσικοί δεν έφταναν. Έτσι προέκυψαν οι ακέραιοι αριθμοί, που προσθέτουν το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς:

\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \ldots\}

Ούτε οι ακέραιοι όμως αρκούν όταν χρειάζεται να εκφράσουμε ένα μέρος ενός όλου, όπως «τα δύο τρίτα μιας πίτσας». Γι' αυτό ορίζουμε τους ρητούς αριθμούς, δηλαδή κάθε αριθμό που γράφεται ως κλάσμα ακεραίου προς φυσικό:

\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{\alpha}{\beta} : \alpha \in \mathbb{Z}, \ \beta \in \mathbb{N}\right\}

Κάθε ακέραιος είναι και ρητός, αφού μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με παρονομαστή το 1 (π.χ. $5 = \dfrac{5}{1}$ ). Επίσης ρητός είναι κάθε δεκαδικός αριθμός που είτε τελειώνει (π.χ. $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ ) είτε επαναλαμβάνει ένα μοτίβο ψηφίων επ' άπειρον (π.χ. $0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}$ ).

Γιατί ονομάζονται «ρητοί»

Η λέξη «ρητός» σημαίνει «αυτός που μπορεί να εκφραστεί, να ειπωθεί με λόγο (αναλογία)». Ένας ρητός αριθμός εκφράζεται πάντα ως λόγος (αναλογία) δύο ακεραίων — αυτό είναι το $\dfrac{\alpha}{\beta}$ .

Οι άρρητοι αριθμοί

Υπάρχουν όμως αριθμοί που δεν μπορούν να γραφτούν με κανέναν τρόπο ως κλάσμα ακεραίων. Αυτούς τους ονομάζουμε άρρητους αριθμούς. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το $\sqrt{2}$ , το $\sqrt[3]{7}$ και ο αριθμός $\pi$ .

Το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός άρρητου αριθμού δεν τελειώνει ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ περιοδικά — αυτή είναι ακριβώς η ιδιότητα που τον ξεχωρίζει από έναν ρητό. Έναν ρητό μπορούμε πάντα να τον γράψουμε ως κλάσμα και άρα το δεκαδικό του ανάπτυγμα είτε σταματά είτε επαναλαμβάνεται· έναν άρρητο δεν μπορούμε ποτέ να τον «πιάσουμε» με πεπερασμένα ή περιοδικά ψηφία.

Συμβολίζουμε το σύνολο των άρρητων ως $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ , δηλαδή «όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, αφαιρώντας τους ρητούς». Αυτός ο συμβολισμός δείχνει κάτι σημαντικό: οι άρρητοι δεν ορίζονται από ένα δικό τους «θετικό» κριτήριο κατασκευής όπως οι ρητοί, αλλά ως αυτό που απομένει όταν αφαιρέσουμε τους ρητούς από το σύνολο όλων των αριθμών.

Ένα δεκαδικό με πολλά ψηφία δεν είναι απαραίτητα άρρητο

Ένας μαθητής βλέπει έναν αριθμό με πολλά δεκαδικά ψηφία, π.χ. $0{,}142857142857\ldots$ , και υποθέτει ότι είναι άρρητος. Αν όμως τα ψηφία επαναλαμβάνονται περιοδικά (όπως εδώ το «142857»), ο αριθμός είναι ρητός — εδώ μάλιστα είναι ίσος με $\dfrac{1}{7}$ . Το κριτήριο δεν είναι το πλήθος των ψηφίων, αλλά το αν υπάρχει περιοδικότητα.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Ενώνοντας τους ρητούς με τους άρρητους παίρνουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ : κάθε αριθμός που μπορούμε να φανταστούμε πάνω σε μια αριθμητική ευθεία είναι πραγματικός.

\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} - \mathbb{Q})

Όλα τα σύνολα που είδαμε συνδέονται μεταξύ τους με σχέση υποσυνόλου: κάθε φυσικός είναι ακέραιος, κάθε ακέραιος είναι ρητός, και κάθε ρητός είναι πραγματικός. Αυτό συνοψίζεται στην αλυσίδα εγκλεισμών:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Οι άρρητοι είναι το μοναδικό από τα σύνολα αυτά που δεν ανήκει στην αλυσίδα ως υποσύνολο των ρητών· αντίθετα, ρητοί και άρρητοι είναι δύο ξένα μεταξύ τους κομμάτια που μαζί συμπληρώνουν το $\mathbb{R}$ .

Μπορούμε να φανταστούμε τη σχέση αυτή σαν μια σειρά από κουτιά, το ένα μέσα στο άλλο: το μεγαλύτερο κουτί είναι το $\mathbb{R}$ , χωρισμένο σε δύο κομμάτια — τους ρητούς και τους άρρητους. Μέσα στο κομμάτι των ρητών υπάρχει ένα μικρότερο κουτί, οι ακέραιοι, και μέσα σε αυτό ένα ακόμα μικρότερο, οι φυσικοί.

Πόσοι είναι οι άρρητοι σε σχέση με τους ρητούς;

Παρότι ανάμεσα σε δύο ρητούς αριθμούς υπάρχουν πάντα άπειροι άλλοι ρητοί, οι άρρητοι είναι —με μια αυστηρή έννοια που μελετάται σε προχωρημένα μαθηματικά— «περισσότεροι» από τους ρητούς. Πάνω στην αριθμητική ευθεία, οι άρρητοι είναι η πλειονότητα των σημείων.

Ταξινόμηση αριθμών στα σύνολα

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει σε ποιο σύνολο ανήκει κάθε τύπος αριθμού και δίνει παραδείγματα:

Σύνολο	Συμβολισμός	Τι περιέχει	Παραδείγματα
Φυσικοί	$\mathbb{N}$	Θετικοί ακέραιοι	$1,\ 12,\ 2014$
Ακέραιοι	$\mathbb{Z}$	Θετικοί, αρνητικοί, μηδέν	$0,\ -1,\ -12,\ -2014$
Ρητοί	$\mathbb{Q}$	Κλάσματα ακεραίων	$2,\ 5\dfrac{2}{3},\ \dfrac{2014}{2015}$
Άρρητοι	$\mathbb{R} - \mathbb{Q}$	Μη περιοδικά δεκαδικά	$\sqrt{2},\ \dfrac{\sqrt{5}}{3},\ \sqrt[3]{7}$
Πραγματικοί	$\mathbb{R}$	Όλοι οι παραπάνω μαζί	Κάθε σημείο της ευθείας

Λυμένο παράδειγμα. Σε ποιο μικρότερο σύνολο ανήκει ο αριθμός $-12$ ;

Ο αριθμός $-12$ είναι αρνητικός, οπότε δεν ανήκει στους φυσικούς $\mathbb{N}$ (αυτοί είναι μόνο θετικοί). Είναι όμως ακέραιος, αφού οι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ περιλαμβάνουν και τους αρνητικούς. Άρα το μικρότερο σύνολο στο οποίο ανήκει είναι το $\mathbb{Z}$ (και μέσω αυτού ανήκει φυσικά και στο $\mathbb{Q}$ και στο $\mathbb{R}$ ).

Λυμένο παράδειγμα. Ο αριθμός $\dfrac{2014}{2015}$ είναι ρητός ή άρρητος;

Είναι γραμμένος ήδη ως κλάσμα δύο ακεραίων ( $2014$ και $2015$ ), άρα ικανοποιεί ακριβώς τον ορισμό του ρητού αριθμού: ανήκει στο $\mathbb{Q}$ .

Η αριθμητική ευθεία

Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται πάνω σε μια αριθμητική ευθεία: μια ευθεία που εκτείνεται από $-\infty$ έως $+\infty$ , με το $0$ σταθερό στο κέντρο της, τους θετικούς αριθμούς προς τη μία κατεύθυνση και τους αρνητικούς προς την άλλη.

Η αντιστοιχία ανάμεσα σε πραγματικούς αριθμούς και σημεία της ευθείας είναι αμφιμονοσήμαντη: κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα σημείο της ευθείας, και κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε ακριβώς έναν πραγματικό αριθμό. Καμία εξαίρεση δεν υπάρχει προς καμία κατεύθυνση.

Δεν υπάρχουν «κενά» στην ευθεία

Αν χρησιμοποιούσαμε μόνο τους ρητούς αριθμούς, η ευθεία θα είχε αόρατα «κενά» σε κάθε σημείο που αντιστοιχεί σε άρρητο αριθμό (π.χ. στο σημείο $\sqrt{2}$ ). Μόνο όταν προσθέσουμε και τους άρρητους στους ρητούς, δηλαδή όταν φτάσουμε στο $\mathbb{R}$ , η ευθεία καλύπτεται πλήρως, χωρίς κανένα κενό. Αυτή η πληρότητα είναι ακριβώς ο λόγος που το $\mathbb{R}$ είναι το βασικό σύνολο αναφοράς στα Μαθηματικά.

Η ιδιότητα αυτή είναι που δίνει στην ίδια την ονομασία «πραγματικοί» το νόημά της: κάθε σημείο που μπορούμε πραγματικά να σχεδιάσουμε ή να φανταστούμε πάνω στην ευθεία αντιστοιχεί σε έναν αριθμό του $\mathbb{R}$ , και το αντίστροφο.