Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο 🎓

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 📐

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο υπάρχει μια σταθερή σχέση ανάμεσα στις τρεις πλευρές του, που δεν ισχύει σε κανένα άλλο τρίγωνο. Αυτή η σχέση είναι τόσο χρήσιμη επειδή μας επιτρέπει να υπολογίζουμε το μήκος μιας πλευράς όταν ξέρουμε τις άλλες δύο, χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε τίποτα.

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία, ενώ οι δύο κάθετες πλευρές είναι αυτές που σχηματίζουν την ορθή γωνία μεταξύ τους.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Αν η υποτείνουσα έχει μήκος $c$ και οι κάθετες πλευρές μήκη $a$ και $b$ , τότε:

a^2 + b^2 = c^2

Δηλαδή το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Η χρησιμότητα του θεωρήματος είναι διπλή: αν ξέρουμε τις δύο κάθετες πλευρές, βρίσκουμε την υποτείνουσα· αν ξέρουμε την υποτείνουσα και τη μία κάθετη, βρίσκουμε την άλλη κάθετη λύνοντας ως προς αυτήν.

Παράδειγμα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $a = 3$ και $b = 4$ , η υποτείνουσα είναι:

c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Ισχύει μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Το Πυθαγόρειο θεώρημα εφαρμόζεται αποκλειστικά σε ορθογώνια τρίγωνα. Αν το τρίγωνο δεν έχει ορθή γωνία, η σχέση $a^2 + b^2 = c^2$ δεν ισχύει.

Τετραγωνική και Κυβική Ρίζα 🔢

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού απαντά στο ερώτημα: «ποιος αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει αυτό το αποτέλεσμα;». Επειδή το τετράγωνο ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητικό, ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς, και το αποτέλεσμά της είναι πάντα μη αρνητικό.

Ορισμός Τετραγωνικής Ρίζας

Για $a \geq 0$ , η τετραγωνική ρίζα $\sqrt{a}$ είναι ο μοναδικός μη αρνητικός αριθμός $x$ τέτοιος ώστε $x^2 = a$ :

\sqrt{a} = x \iff x \geq 0 \text{ και } x^2 = a

Η κυβική ρίζα λειτουργεί διαφορετικά: επειδή ο κύβος ενός αρνητικού αριθμού είναι αρνητικός, η κυβική ρίζα μπορεί να οριστεί για κάθε πραγματικό αριθμό, θετικό, αρνητικό ή μηδέν.

Ορισμός Κυβικής Ρίζας

\sqrt[3]{a} = x \iff x^3 = a

Η κυβική ρίζα ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό $a$ .

Ιδιότητες των ριζών

Οι ιδιότητες αυτές μας επιτρέπουν να απλοποιούμε παραστάσεις με ρίζες χωρίς να χρειάζεται να υπολογίζουμε αριθμητικά κάθε βήμα.

Για $a \geq 0$ και $b \geq 0$ :

Ιδιότητα	Τύπος
Ρίζα γινομένου	$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Ρίζα πηλίκου	$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \quad b \neq 0$
Τετράγωνο ρίζας	$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$
Ρίζα τετραγώνου	$\sqrt{a^2} = \vert a\vert$

Η τελευταία ιδιότητα εκπλήσσει συχνά: θα περίμενε κανείς $\sqrt{a^2} = a$ , αλλά αυτό αποτυγχάνει όταν $a$ είναι αρνητικός, αφού η ρίζα δεν μπορεί να δώσει αρνητικό αποτέλεσμα. Γι' αυτό χρειάζεται η απόλυτη τιμή: π.χ. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$ .

Πεδίο ορισμού ρίζας

Η παράσταση $\sqrt{A}$ έχει νόημα μόνο όταν $A \geq 0$ . Πριν δουλέψουμε με μια ρίζα που περιέχει άγνωστο, πρέπει πρώτα να βρούμε για ποιες τιμές του αγνώστου η παράσταση κάτω από τη ρίζα είναι μη αρνητική.

Π.χ. η $\sqrt{3x - 2}$ ορίζεται όταν $3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{2}{3}$ , ενώ η $\sqrt{20 - 5x}$ ορίζεται όταν $20 - 5x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$ .

Εξισώσεις Πρώτου Βαθμού ⚖️

Μια εξίσωση πρώτου βαθμού (ή γραμμική εξίσωση) είναι μια ισότητα στην οποία ο άγνωστος εμφανίζεται μόνο στην πρώτη του δύναμη. Ονομάζεται έτσι επειδή, αν παραστήσουμε γραφικά τη σχέση $y = ax + b$ , προκύπτει ευθεία γραμμή.

Γενική μορφή

ax + b = 0, \quad a \neq 0

έχει πάντα μία μοναδική λύση:

x = -\frac{b}{a}

Η απαίτηση $a \neq 0$ δεν είναι τυπική λεπτομέρεια: αν $a = 0$ , ο άγνωστος εξαφανίζεται εντελώς και η «εξίσωση» παύει να είναι πρώτου βαθμού.

Μέθοδος επίλυσης

Απαλείφουμε τυχόν παρενθέσεις (αναπτύσσουμε τις πράξεις).
Μεταφέρουμε τους όρους με $x$ στο ένα μέλος και τους σταθερούς όρους στο άλλο, αλλάζοντας πρόσημο σε ό,τι μεταφέρουμε.
Απλοποιούμε και λύνουμε ως προς $x$ .

Η λογική πίσω από το βήμα 2 είναι ότι προσθέτουμε ή αφαιρούμε τον ίδιο όρο και στα δύο μέλη — κάτι που διατηρεί την ισότητα, απλώς παρουσιάζεται σαν «μεταφορά με αλλαγή προσήμου» για συντομία.

Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση $3(x - 4) = 2x - 5$ .

Αναπτύσσουμε: $3x - 12 = 2x - 5$

Μεταφέρουμε: $3x - 2x = -5 + 12$

Άρα: $x = 7$ ✅

Εξισώσεις με κλάσματα

Όταν η εξίσωση περιέχει κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ των παρονομαστών, ώστε να απαλειφθούν οι παρονομαστές και να μείνει μια απλή εξίσωση χωρίς κλάσματα.

Παράδειγμα: $\dfrac{a-1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{3} + \dfrac{1}{6}$

Το ΕΚΠ των 3, 2, 6 είναι 6. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο επί 6:

$2(a-1) + 3 = 2a + 1$

$2a - 2 + 3 = 2a + 1$

$2a + 1 = 2a + 1$

Αυτή η ισότητα ισχύει για κάθε τιμή του $a$ — είναι ταυτότητα, δηλαδή αόριστη εξίσωση.

Ειδικές περιπτώσεις

Όταν λύνουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού, μπορεί τελικά ο άγνωστος να εξαφανιστεί εντελώς. Τότε το αποτέλεσμα εξαρτάται από το τι μένει:

Αδύνατη και αόριστη εξίσωση

Αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x = c$ με $c \neq 0$ : η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση) 🚫, γιατί κανένας αριθμός επί 0 δεν δίνει μη μηδενικό αποτέλεσμα.
Αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x = 0$ : η εξίσωση είναι αόριστη (κάθε πραγματικός αριθμός είναι λύση) ♾️, γιατί η ισότητα ισχύει ανεξάρτητα από το $x$ .

Π.χ. η $(\lambda - 3)x = 7$ είναι αδύνατη όταν $\lambda = 3$ , γιατί τότε γίνεται $0 \cdot x = 7$ .

Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού 📊

Μια ανίσωση μοιάζει με εξίσωση, αλλά αντί για ισότητα συγκρίνει δύο παραστάσεις με $<$ , $>$ , $\leq$ ή $\geq$ . Οι πράξεις που επιτρέπονται είναι σχεδόν οι ίδιες με τις εξισώσεις, με μία σημαντική εξαίρεση.

Ιδιότητες ανισοτήτων

Μπορούμε να προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη χωρίς να αλλάξει η φορά της ανισότητας.
Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με θετικό αριθμό χωρίς αλλαγή στη φορά.
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό, η φορά της ανισότητας αντιστρέφεται 🔄.

Ο λόγος που η φορά αντιστρέφεται με αρνητικό αριθμό γίνεται φανερός με ένα απλό παράδειγμα: το $2 < 5$ ισχύει, αλλά αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με $-1$ χωρίς αναστροφή θα παίρναμε $-2 < -5$ , που είναι ψευδές· η σωστή σχέση είναι $-2 > -5$ .

Όταν ζητείται η κοινή λύση δύο ή περισσότερων ανισώσεων, λύνουμε κάθε ανίσωση χωριστά και παίρνουμε την τομή ( $\cap$ ) των συνόλων λύσεων — δηλαδή τις τιμές που ικανοποιούν ταυτόχρονα όλες τις ανισώσεις.

Παράδειγμα: Να βρεθεί η κοινή λύση των ανισώσεων $3x - 4 \geq x - 2$ και $2x + 3 < 13$ .

Πρώτη ανίσωση: $3x - 4 \geq x - 2 \Rightarrow 3x - x \geq -2 + 4 \Rightarrow 2x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$

Δεύτερη ανίσωση: $2x + 3 < 13 \Rightarrow 2x < 10 \Rightarrow x < 5$

Κοινή λύση: $1 \leq x < 5$

Μην ξεχνάς την αναστροφή

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να διαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε με αρνητικό αριθμό χωρίς να αναστρέψουμε τη φορά της ανισότητας. Ελέγχεις πάντα: πολλαπλασιάζεις/διαιρείς με αρνητικό; Τότε αλλάζει η φορά.

Εξισώσεις Δευτέρου Βαθμού ✏️

Σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού ο άγνωστος εμφανίζεται και υψωμένος στο τετράγωνο. Σε αντίθεση με την πρώτου βαθμού, μπορεί να έχει καμία, μία ή δύο λύσεις — και το πλήθος τους καθορίζεται από μια ποσότητα που ονομάζουμε διακρίνουσα.

Γενική μορφή και τύπος λύσεων

ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0

Η διακρίνουσα είναι:

\Delta = b^2 - 4ac

Οι λύσεις δίνονται από τον τύπο:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Ο τύπος αυτός δουλεύει επειδή, μετά από κατάλληλη επεξεργασία της εξίσωσης (συμπλήρωση τετραγώνου), η δευτεροβάθμια εξίσωση μετατρέπεται σε μορφή όπου η ρίζα της $\Delta$ εμφανίζεται φυσικά. Επειδή η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς, το πρόσημο της $\Delta$ καθορίζει πόσες λύσεις υπάρχουν:

Διακρίνουσα	Λύσεις
$\Delta > 0$	Δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες
$\Delta = 0$	Μία διπλή πραγματική ρίζα: $x = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	Καμία πραγματική ρίζα 🚫

Ελλιπής δευτεροβάθμια εξίσωση

Όταν λείπει ο σταθερός όρος ( $c = 0$ ), δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της διακρίνουσας· είναι πιο γρήγορο να παραγοντοποιήσουμε βγάζοντας κοινό παράγοντα $x$ :

ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ή } x = -\frac{b}{a}

Αυτό λειτουργεί επειδή ένα γινόμενο είναι μηδέν μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του είναι μηδέν.

Παράδειγμα: $3x^2 - 15x = 0 \Rightarrow 3x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ ή $x = 5$

Αλγεβρικές Ταυτότητες 🧮

Οι αλγεβρικές ταυτότητες είναι έτοιμα «καλούπια» που μας γλιτώνουν από επαναλαμβανόμενες πράξεις. Αντί να πολλαπλασιάζουμε κάθε φορά όρο με όρο, αναγνωρίζουμε τη μορφή και εφαρμόζουμε κατευθείαν το αποτέλεσμα.

Βασικές αλγεβρικές ταυτότητες

Τετράγωνο αθροίσματος: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Τετράγωνο διαφοράς: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Διαφορά τετραγώνων: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Άθροισμα κύβων: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Διαφορά κύβων: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Μην ξεχνάς τον μεσαίο όρο!

Το πιο συχνό λάθος στην Άλγεβρα: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Ο μεσαίος όρος $2ab$ προκύπτει από το «διπλό γινόμενο» των δύο όρων και δεν πρέπει ποτέ να παραλείπεται.

Παράδειγμα: Ανάπτυγμα του $(2x - 3y)^2$ :

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Μια χρήσιμη συνέπεια

Συνδυάζοντας το τετράγωνο αθροίσματος με το γινόμενο $ab$ , προκύπτει μια σχέση που επιτρέπει να βρούμε το $a^2 + b^2$ χωρίς να ξέρουμε ξεχωριστά τα $a$ και $b$ :

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab

Παράδειγμα: Αν $a + b = -\dfrac{1}{3}$ και $ab = -\dfrac{7}{3}$ , τότε:

$a^2 + b^2 = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 - 2\left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{1}{9} + \dfrac{14}{3} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{42}{9} = \dfrac{43}{9}$ ✅

Παραγοντοποίηση 🔧

Η παραγοντοποίηση είναι η αντίστροφη διαδικασία του αναπτύγματος: ξεκινάμε από ένα άθροισμα όρων και το μετατρέπουμε σε γινόμενο. Είναι χρήσιμη γιατί ένα γινόμενο μηδενίζεται εύκολα (αρκεί ένας παράγοντας να είναι μηδέν) και γιατί επιτρέπει απλοποιήσεις σε κλάσματα.

Βασικές τεχνικές

1. Κοινός παράγοντας: Όταν όλοι οι όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα, τον βγάζουμε έξω από παρένθεση.

ab + ac = a(b + c)

Π.χ. $2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1) = 2x(x-1)(x+1)$ — εδώ, αφού βγάλαμε τον κοινό παράγοντα $2x$ , αναγνωρίσαμε τη διαφορά τετραγώνων $x^2 - 1$ και τη σπάσαμε περαιτέρω.

2. Χρήση ταυτοτήτων: Αναγνωρίζουμε μέσα στην παράσταση τη μορφή μιας γνωστής ταυτότητας.

Π.χ. $y^2 - x^2 - 10y + 25 = (y^2 - 10y + 25) - x^2 = (y - 5)^2 - x^2 = (y - 5 - x)(y - 5 + x)$

3. Ομαδοποίηση: Χωρίζουμε την παράσταση σε ομάδες όρων που έχουν η καθεμιά τον δικό της κοινό παράγοντα, και μετά βγάζουμε έναν νέο κοινό παράγοντα από τις ομάδες.

Απλοποίηση Κλασματικών Παραστάσεων 📝

Ένα αλγεβρικό κλάσμα απλοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως ένα αριθμητικό κλάσμα: βρίσκουμε τους κοινούς παράγοντες αριθμητή και παρονομαστή και τους απαλείφουμε.

Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή.
Απαλείφουμε τους κοινούς παράγοντες.

Παράδειγμα: Απλοποίηση $\dfrac{x^2 + 2x}{x^2 + 3x + 2}$ :

Αριθμητής: $x^2 + 2x = x(x + 2)$

Παρονομαστής: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

Άρα: $\dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x}{x+1}, \quad x \neq -2$

Προσοχή στο πεδίο ορισμού!

Πριν απλοποιήσουμε, βρίσκουμε τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή και τις αποκλείουμε — εδώ το $x \neq -2$ (και το $x \neq -1$ από το $x+1$ , αν και μετά την απλοποίηση εμφανίζεται μόνο ο περιορισμός $x \neq -2$ στην αρχική μορφή). Μετά την απλοποίηση, οι αποκλεισμένες τιμές παραμένουν αποκλεισμένες, ακόμα κι αν ο απλοποιημένος τύπος δεν το δείχνει πια.

Κλασματικές Εξισώσεις 🧩

Μια κλασματική εξίσωση περιέχει τον άγνωστο μέσα σε τουλάχιστον έναν παρονομαστή. Η δυσκολία εδώ είναι ότι κάποιες τιμές του αγνώστου θα μηδένιζαν έναν παρονομαστή — και η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται — άρα αυτές οι τιμές πρέπει να αποκλείονται εκ των προτέρων.

Μέθοδος επίλυσης

Βρίσκουμε τις απαγορευτικές τιμές (τιμές που μηδενίζουν κάποιον παρονομαστή).
Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ των παρονομαστών, ώστε να απαλειφθούν τα κλάσματα.
Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.
Ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε συμπίπτουν με κάποια απαγορευτική τιμή — αν ναι, απορρίπτονται.

Παράδειγμα: $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{4}{x^2-1} = 0$

Απαγορευτικές τιμές: $x \neq 1$ και $x \neq -1$

Παρατηρούμε ότι $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ . Πολλαπλασιάζουμε όλη την εξίσωση επί $(x+1)(x-1)$ :

$(x-1) + 2(x+1) - 4 = 0$

$x - 1 + 2x + 2 - 4 = 0$

$3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$

Όμως $x = 1$ είναι απαγορευτική τιμή! Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη 🚫 — δεν έχει καμία αποδεκτή λύση.

Ο έλεγχος είναι υποχρεωτικός

Το να λύσουμε σωστά την εξίσωση που προκύπτει δεν αρκεί. Αν παραλείψουμε το τελευταίο βήμα —τον έλεγχο με τις απαγορευτικές τιμές— κινδυνεύουμε να δεχτούμε ως λύση μια τιμή που στην πραγματικότητα μηδενίζει έναν παρονομαστή.

Συστήματα Εξισώσεων 🔗

Ένα σύστημα εξισώσεων δύο εξισώσεων πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους ζητά τιμές του $x$ και του $y$ που ικανοποιούν ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις.

Σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Μέθοδος αντικατάστασης

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο.
Αντικαθιστούμε την έκφρασή του στην άλλη εξίσωση — έτσι προκύπτει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο.
Λύνουμε και βρίσκουμε και τους δύο αγνώστους.

Παράδειγμα:

\begin{cases} y = x + 3 \\ x + 2y = 6 \end{cases}

Αντικαθιστούμε $y = x + 3$ στη δεύτερη εξίσωση:

$x + 2(x + 3) = 6 \Rightarrow x + 2x + 6 = 6 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$

Άρα $y = 0 + 3 = 3$ . Λύση: $(x, y) = (0, 3)$ ✅

Γραφική ερμηνεία

Κάθε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους αντιστοιχεί σε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. Επειδή η λύση του συστήματος πρέπει να ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα, αντιστοιχεί ακριβώς στο σημείο τομής των δύο ευθειών — το μοναδικό σημείο που ανήκει και στις δύο.

Η Ευθεία στο Καρτεσιανό Επίπεδο 📈

Κάθε ευθεία (εκτός από τις κατακόρυφες) μπορεί να περιγραφεί με μια εξίσωση που συνδέει το $x$ με το $y$ .

Εξίσωση ευθείας

y = \lambda x + \beta

όπου:

$\lambda$ = κλίση (ή συντελεστής διεύθυνσης) της ευθείας — δείχνει πόσο ανεβαίνει ή κατεβαίνει η ευθεία καθώς το $x$ αυξάνεται
$\beta$ = η τεταγμένη στην οποία η ευθεία τέμνει τον άξονα $y$

Η κλίση είναι θετική όταν η ευθεία ανεβαίνει από αριστερά προς τα δεξιά, αρνητική όταν κατεβαίνει, και μηδέν όταν η ευθεία είναι οριζόντια.

Ειδικές περιπτώσεις ευθειών

Μορφή	Περιγραφή
$y = \lambda x$	Ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$
$y = \beta$	Οριζόντια ευθεία (κλίση $\lambda = 0$ )
$x = k$	Κατακόρυφη ευθεία (δεν έχει πεπερασμένη κλίση)

Εύρεση εξίσωσης ευθείας από δύο σημεία

Αν η ευθεία περνά από τα σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ , υπολογίζουμε πρώτα την κλίση ως λόγο της μεταβολής στο $y$ προς τη μεταβολή στο $x$ :

\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε $y - y_1 = \lambda(x - x_1)$ για να γράψουμε την πλήρη εξίσωση.

Παράδειγμα: Εξίσωση ευθείας που περνά από τα $(0, 1)$ και $(2, 4)$ :

$\lambda = \dfrac{4 - 1}{2 - 0} = \dfrac{3}{2}$

$y - 1 = \dfrac{3}{2}(x - 0) \Rightarrow y = \dfrac{3}{2}x + 1$

Εύρεση σταθεράς από σημείο

Αν ξέρουμε την κλίση της ευθείας και ένα σημείο από το οποίο περνά, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση για να βρούμε το $\beta$ .

Αν ξέρουμε ότι η ευθεία $y = -2x + \beta$ περνά από το $A(-2, 6)$ :

$6 = -2 \cdot (-2) + \beta \Rightarrow 6 = 4 + \beta \Rightarrow \beta = 2$

Βασική Τριγωνομετρία Ορθογωνίου Τριγώνου 📏

Στα ορθογώνια τρίγωνα, οι λόγοι των πλευρών ως προς μια οξεία γωνία είναι πάντα οι ίδιοι, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλο είναι το τρίγωνο — εξαρτώνται μόνο από τη γωνία. Αυτοί οι σταθεροί λόγοι ονομάζονται τριγωνομετρικοί αριθμοί.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, για μια οξεία γωνία $\theta$ :

\text{ημ}\theta = \frac{\text{Απέναντι κάθετη}}{\text{Υποτείνουσα}}

\text{συν}\theta = \frac{\text{Προσκείμενη κάθετη}}{\text{Υποτείνουσα}}

\text{εφ}\theta = \frac{\text{Απέναντι κάθετη}}{\text{Προσκείμενη κάθετη}} = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta}

Η εφαπτομένη ορίζεται ως λόγος των δύο κάθετων πλευρών, γι' αυτό ισούται και με το πηλίκο ημιτόνου προς συνημίτονο — και τα δύο εκφράζουν την ίδια αναλογία, απλώς η υποτείνουσα απλοποιείται.

Θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα

Θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα

\text{ημ}^2\theta + \text{συν}^2\theta = 1

Αυτή η σχέση προκύπτει άμεσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα εφαρμοσμένο στο ορθογώνιο τρίγωνο, και ισχύει πάντα. Μας επιτρέπει να βρίσκουμε τον έναν τριγωνομετρικό αριθμό όταν γνωρίζουμε τον άλλο.

Παράδειγμα: Αν $\text{ημ}\theta = \dfrac{3}{5}$ , να βρεθούν τα $\text{συν}\theta$ και $\text{εφ}\theta$ .

Από τη θεμελιώδη ταυτότητα:

$\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$

Επειδή η $\theta$ είναι οξεία (άρα το συνημίτονό της είναι θετικό): $\text{συν}\theta = \dfrac{4}{5}$

$\text{εφ}\theta = \dfrac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γνωστών γωνιών

Οι γωνίες $30°$ , $45°$ και $60°$ εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να απομνημονεύσουμε τους τριγωνομετρικούς τους αριθμούς:

Γωνία	$\text{ημ}$	$\text{συν}$	$\text{εφ}$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Μην μπερδεύεις ημίτονο και συνημίτονο

Στις γωνίες $30°$ και $60°$ οι τιμές ημιτόνου και συνημιτόνου αντιστρέφονται: το $\text{ημ}30° = \dfrac{1}{2}$ ισούται με το $\text{συν}60°$ , και το $\text{συν}30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ισούται με το $\text{ημ}60°$ . Μπέρδεμα ανάμεσα στις δύο γωνίες είναι πολύ συνηθισμένο λάθος.

Εμβαδόν και Περίμετρος Κύκλου ⭕

Ο κύκλος είναι το σύνολο των σημείων που απέχουν την ίδια απόσταση (την ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο (το κέντρο). Η περίμετρος και το εμβαδόν του συνδέονται με την ακτίνα μέσω της σταθεράς $\pi$ (περίπου $3,14$ ).

Τύποι κύκλου

Για κύκλο με ακτίνα $r$ (ή διάμετρο $d = 2r$ ):

Περίμετρος (μήκος κυκλικού περιγράμματος):

C = 2\pi r = \pi d

Εμβαδόν:

E = \pi r^2

Παράδειγμα: Κύκλος με διάμετρο $d = 10$ m, άρα $r = 5$ m:

Περίμετρος: $C = \pi \cdot 10 = 10\pi \approx 31{,}42$ m

Εμβαδόν: $E = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54$ m $^2$

Μην μπερδεύεις ακτίνα και διάμετρο

Ο τύπος της περιμέτρου χρησιμοποιεί την ακτίνα πολλαπλασιασμένη επί 2, ενώ ο τύπος του εμβαδού χρησιμοποιεί την ακτίνα στο τετράγωνο. Αν στην εκφώνηση δίνεται η διάμετρος, πρέπει πρώτα να τη διαιρέσουμε διά 2 για να βρούμε την ακτίνα πριν εφαρμόσουμε τους τύπους.