Γεωμετρία ΙΙ: Κύκλος, Συντεταγμένες και Μετασχηματισμοί ⭕📐

Όλη αυτή η ενότητα στηρίζεται σε μία ιδέα: στη γεωμετρία δεν μαντεύουμε — μετράμε και υπολογίζουμε. Ένα σχήμα δεν το περιγράφουμε λέγοντας «είναι στρογγυλό» ή «είναι λίγο πιο δεξιά», αλλά με αριθμούς που δεν αφήνουν περιθώριο παρεξήγησης: μια ακτίνα, ένα μήκος, ένα ζεύγος συντεταγμένων.

Τα θέματα μοιάζουν στην αρχή ξεχωριστά, αλλά συνδέονται μεταξύ τους. Ο κύκλος μάς δίνει τον πρώτο σταθερό αριθμό της γεωμετρίας, τον $\pi$. Οι συντεταγμένες μάς δίνουν μια «διεύθυνση» για κάθε σημείο του επιπέδου. Και μόλις κάθε σημείο έχει διεύθυνση, μπορούμε να μετακινήσουμε ολόκληρα σχήματα με απλές πράξεις σε αριθμούς — αυτό ακριβώς κάνουν η μεταφορά και η ανάκλαση. 🎯

Ο κύκλος και τα στοιχεία του ⭕

Κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο.

Αυτός ο ορισμός δεν μιλά καθόλου για «στρογγυλό σχήμα» — μιλά για μια συνθήκη απόστασης. Και αυτό είναι το κλειδί: ο κύκλος δεν σχεδιάζεται με το μάτι, γεννιέται από έναν κανόνα. Αν κρατήσεις σταθερό ένα σημείο και σημειώσεις όλα τα σημεία που απέχουν από αυτό ακριβώς 5 cm, θα προκύψει αναγκαστικά κύκλος. Ο διαβήτης κάνει ακριβώς αυτό: η μύτη του μένει καρφωμένη στο κέντρο και το άνοιγμά του κρατάει την απόσταση σταθερή.

Γιατί η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας

Η σχέση δεν είναι κάτι που απομνημονεύουμε — βγαίνει από τον ορισμό. Η διάμετρος περνά από το κέντρο, άρα το κέντρο τη χωρίζει σε δύο κομμάτια. Το καθένα ξεκινά από το κέντρο και φτάνει στην περιφέρεια, δηλαδή το καθένα είναι μια ακτίνα. Μια διάμετρος είναι λοιπόν δύο ακτίνες στη σειρά:

$\Delta = 2 \cdot R \qquad \text{και αντίστροφα} \qquad R = \frac{\Delta}{2}$

Αν η ακτίνα είναι $7$ cm, η διάμετρος είναι $14$ cm. Αν η διάμετρος είναι $40$ mm, η ακτίνα είναι $20$ mm.

Ο αριθμός π και το μήκος του κύκλου 🥧

Το μήκος κύκλου (συμβολίζεται $\Gamma$) είναι η περίμετρός του: η απόσταση που θα διανύσεις αν περπατήσεις μία φορά γύρω-γύρω πάνω στη γραμμή του.

Σε κάθε πολύγωνο την περίμετρο τη βρίσκουμε προσθέτοντας πλευρές. Στον κύκλο όμως δεν υπάρχουν πλευρές να προσθέσουμε — η γραμμή του είναι καμπύλη. Χρειάζεται λοιπόν άλλος δρόμος.

Η ανακάλυψη που κρύβεται σε κάθε κύκλο

Αν μετρήσουμε σε πολλούς διαφορετικούς κύκλους το μήκος τους και τη διάμετρό τους και διαιρέσουμε το ένα με το άλλο, συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό: βγαίνει πάντα ο ίδιος αριθμός.

Αυτός ο σταθερός λόγος είναι ο αριθμός π:

$\pi = \frac{\Gamma}{\Delta} \approx 3{,}14$

Το νόημά του σε απλά λόγια: η γραμμή κάθε κύκλου είναι λίγο περισσότερο από τρεις φορές η διάμετρός του. Μικρός κύκλος ή τεράστιος, νόμισμα ή ρόδα λούνα παρκ — η αναλογία δεν αλλάζει ποτέ.

Οι δύο τύποι

Από τη σχέση $\pi = \Gamma : \Delta$ προκύπτει αμέσως ο τύπος του μήκους. Και επειδή $\Delta = 2R$, έχουμε δύο ισοδύναμες μορφές:

$\Gamma = \pi \cdot \Delta = 2 \cdot \pi \cdot R$

Δεν είναι δύο διαφορετικοί κανόνες, είναι ο ίδιος κανόνας γραμμένος με δύο τρόπους. Διαλέγουμε αυτόν που ταιριάζει στα δεδομένα:

• Μας δίνουν τη διάμετρο $\Delta = 12$ cm → $\Gamma = 3{,}14 \cdot 12 = 37{,}68$ cm
• Μας δίνουν την ακτίνα $R = 10$ cm → $\Gamma = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8$ cm

Ημικύκλιο: μήκος ή περίμετρος;

Το ημικύκλιο είναι το μισό ενός κύκλου, και εδώ κρύβεται μια διάκριση που μπερδεύει πολλούς:

• Το μήκος του τόξου είναι μόνο η καμπύλη γραμμή: $\dfrac{\pi \cdot \Delta}{2}$
• Η περίμετρος του σχήματος είναι η καμπύλη συν την ίσια γραμμή που το κλείνει, δηλαδή τη διάμετρο: $\dfrac{\pi \cdot \Delta}{2} + \Delta$

Για ημικύκλιο με $\Delta = 10$ m: το τόξο είναι $\frac{3{,}14 \cdot 10}{2} = 15{,}7$ m, ενώ η περίμετρος του σχήματος είναι $15{,}7 + 10 = 25{,}7$ m. Η λογική είναι απλή: αν κόψεις έναν κυκλικό δίσκο στη μέση, το κομμάτι που παίρνεις έχει και μια ίσια πλευρά — και αυτή μετράει στο «γύρω-γύρω».

Συντεταγμένες: η διεύθυνση κάθε σημείου 📍

Πώς περιγράφεις σε κάποιον πού βρίσκεται ακριβώς ένα σημείο πάνω σε ένα φύλλο χαρτί; Λέξεις όπως «λίγο πιο πάνω» ή «στη μέση δεξιά» δεν αρκούν. Η λύση είναι να απλώσουμε πάνω στο επίπεδο ένα πλέγμα με δύο άξονες.

• Ο άξονας x είναι ο οριζόντιος
• Ο άξονας y είναι ο κατακόρυφος
• Τέμνονται στην αρχή των αξόνων, το σημείο $(0, 0)$

Κάθε σημείο παίρνει τότε ένα ζεύγος συντεταγμένων $(x, y)$: πρώτα πόσο μετακινούμαστε οριζόντια, μετά πόσο κατακόρυφα. Το $A(3, 5)$ βρίσκεται 3 μονάδες δεξιά και 5 μονάδες πάνω από την αρχή.

Αποστάσεις χωρίς χάρακα

Όταν δύο σημεία μοιράζονται μια συντεταγμένη, η απόσταση βρίσκεται με μια απλή αφαίρεση:

• Ίδιο $y$ (στην ίδια οριζόντια γραμμή) → απόσταση = διαφορά των $x$
• Ίδιο $x$ (στην ίδια κατακόρυφη γραμμή) → απόσταση = διαφορά των $y$

Για ορθογώνιο με κορυφές $A(1, 5)$, $B(6, 5)$, $\Gamma(6, 1)$, $\Delta(1, 1)$: το μήκος είναι $6 - 1 = 5$ μονάδες και το πλάτος $5 - 1 = 4$ μονάδες. Αφαιρούμε πάντα τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο, ώστε η απόσταση να βγαίνει θετική — μια απόσταση δεν γίνεται ποτέ αρνητική.

Μεταφορά: το σχήμα που γλιστράει ➡️

Μόλις κάθε σημείο αποκτήσει συντεταγμένες, η μετακίνηση ενός σχήματος γίνεται πράξη με αριθμούς. Ο πρώτος μετασχηματισμός που συναντάμε είναι η μεταφορά.

Δύο λέξεις κρατούν όλο τον ορισμό: ίδια κατεύθυνση και ίδια απόσταση για κάθε σημείο. Αν έστω ένα σημείο κινηθεί διαφορετικά από τα υπόλοιπα, το σχήμα θα παραμορφωθεί — και τότε δεν έχουμε μεταφορά.

Τα πρόσημα βγαίνουν από τους ίδιους τους άξονες: οι τιμές του $x$ μεγαλώνουν προς τα δεξιά και του $y$ προς τα πάνω, άρα «δεξιά» και «πάνω» σημαίνουν πρόσθεση, «αριστερά» και «κάτω» σημαίνουν αφαίρεση.

Παράδειγμα: μεταφέρουμε το τρίγωνο με κορυφές $A(4, 7)$, $B(6, 5)$, $\Gamma(2, 5)$ κατά $4$ μονάδες κάτω. Αφαιρούμε $4$ από κάθε $y$ και αφήνουμε τα $x$ άθικτα:

$A'(4,\ 3) \qquad B'(6,\ 1) \qquad \Gamma'(2,\ 1)$

Στην πράξη δεν χρειάζεται να «σύρουμε» ολόκληρο το σχήμα: αρκεί να μεταφέρουμε τις κορυφές και μετά να τις ενώσουμε.

Πώς αναγνωρίζουμε ποια μεταφορά έγινε

Για να βρούμε τη μεταφορά που συνδέει δύο σχήματα, συγκρίνουμε αντίστοιχες κορυφές και υπολογίζουμε τη διαφορά στο $x$ και στο $y$. Αν από $K(8, 5)$ φτάσαμε στο $K'(5, 8)$, τότε $x$: $5 - 8 = -3$ και $y$: $8 - 5 = +3$ — δηλαδή 3 μονάδες αριστερά και 3 πάνω. Έπειτα ελέγχουμε ότι η ίδια ακριβώς αλλαγή ισχύει και για τις υπόλοιπες κορυφές. Αν δεν ισχύει, δεν πρόκειται για μεταφορά.

Συμμετρία και ανάκλαση: το σχήμα στον καθρέφτη 🪞

Ο δεύτερος μετασχηματισμός είναι η ανάκλαση, που δημιουργεί το καθρεφτικό είδωλο ενός σχήματος. Ο «καθρέφτης» είναι μια ευθεία: ο άξονας συμμετρίας.

Ο κανόνας είναι ένας και μόνο: κάθε σημείο και το συμμετρικό σημείο του απέχουν ίση απόσταση από τον άξονα, αλλά βρίσκονται στις αντίθετες πλευρές του. Αν μια κορυφή είναι 4 μονάδες πάνω από τον οριζόντιο άξονα, η συμμετρική της είναι 4 μονάδες κάτω.

Σε συντεταγμένες, αυτό γράφεται πολύ καθαρά:

Υπάρχει εύκολος τρόπος να θυμάσαι ποιο πρόσημο αλλάζει: αλλάζει η συντεταγμένη που «περνάει απέναντι» από τον καθρέφτη. Ο οριζόντιος άξονας χωρίζει το πάνω από το κάτω, άρα πειράζει το $y$. Ο κατακόρυφος χωρίζει το δεξιά από το αριστερά, άρα πειράζει το $x$.

Παράδειγμα με άξονα τον οριζόντιο: το τρίγωνο $A(5, 4)$, $B(9, 1)$, $\Gamma(2, 2)$ δίνει $A'(5, -4)$, $B'(9, -1)$, $\Gamma'(2, -2)$.

Πότε μια ευθεία ΔΕΝ είναι άξονας συμμετρίας

Δεν αρκεί μια ευθεία να χωρίζει ένα σχήμα σε δύο ίσα κομμάτια για να είναι άξονας συμμετρίας. Πρέπει το ένα κομμάτι να είναι καθρέφτισμα του άλλου.

Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου το δείχνει καθαρά: το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα, αλλά αν διπλώσεις το χαρτί πάνω σε αυτήν, τα δύο τρίγωνα δεν ταιριάζουν — «ξεχειλίζουν» έξω από το σχήμα, γιατί το ένα είναι μακρύ και στενό στην αντίθετη κατεύθυνση από το άλλο. Ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο έχει μόνο δύο άξονες συμμετρίας: την οριζόντια και την κατακόρυφη ευθεία που περνούν από τα μέσα των απέναντι πλευρών του. Στο τετράγωνο και στον ρόμβο, όπου όλες οι πλευρές είναι ίσες, οι διαγώνιοι γίνονται πράγματι άξονες συμμετρίας.

Μεταφορά ή ανάκλαση;

Οι δύο μετασχηματισμοί μοιάζουν σε ένα πράγμα και διαφέρουν σε ένα άλλο — και η διαφορά είναι αυτή που ρωτιέται πιο συχνά:

Και στους δύο μετασχηματισμούς το αρχικό σχήμα και η εικόνα του είναι ίσα. Αυτό που τους ξεχωρίζει είναι ο προσανατολισμός: στη μεταφορά μοιάζουν σαν δύο πατημασιές του ίδιου ποδιού στη σειρά, στην ανάκλαση σαν το αριστερό και το δεξί πόδι.

Τα βασικά της ενότητας με μια ματιά 📋