Υπολογισμός πιθανότητας 📐

Το «πιο πιθανό» και το «λιγότερο πιθανό» μας πάνε μέχρι ένα σημείο. Αν όμως δύο ενδεχόμενα μοιάζουν, οι λέξεις δεν αρκούν: χρειαζόμαστε έναν αριθμό που να λέει πόσο πιθανό είναι το καθένα, ώστε να τα συγκρίνουμε με ακρίβεια.

Αυτός ο αριθμός λέγεται πιθανότητα και προκύπτει από ένα απλό μέτρημα. 🔢

Ο τύπος και γιατί δουλεύει 🧮

Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου $A$ είναι το κλάσμα:

$P(A) = \frac{\text{πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων}}{\text{πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων}}$

Στον παρονομαστή μπαίνουν όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να συμβούν. Στον αριθμητή μπαίνουν μόνο εκείνα που κάνουν το $A$ να συμβεί.

Γιατί ένα κλάσμα και όχι κάτι άλλο; Επειδή ένα κλάσμα απαντά ακριβώς στη σωστή ερώτηση: τι μερίδα του συνόλου είναι το ενδεχόμενό μας. Αν δύο αποτελέσματα από τα δέκα με ευνοούν, τότε δύο δέκατα των ευκαιριών είναι δικά μου. Μεγαλώνει ο αριθμητής, μεγαλώνει η πιθανότητα. Μεγαλώνει ο παρονομαστής χωρίς να μεγαλώσει ο αριθμητής, μικραίνει η πιθανότητα — έχω τους ίδιους φίλους μέσα σε μεγαλύτερο πλήθος.

Πώς εφαρμόζεται βήμα βήμα 👣

Κάθε άσκηση πιθανότητας λύνεται με τα ίδια τρία βήματα, με όποια αριθμητικά δεδομένα κι αν έχει:

1. Μέτρησε τα δυνατά αποτελέσματα — αυτός είναι ο παρονομαστής και δεν αλλάζει μέσα στην ίδια άσκηση.
2. Μέτρησε τα ευνοϊκά για το συγκεκριμένο ενδεχόμενο — αυτός είναι ο αριθμητής και αλλάζει σε κάθε ερώτημα.
3. Γράψε το κλάσμα και απλοποίησέ το.

Ας το δούμε με δέκα κάρτες αριθμημένες $1$ ως $10$, ανακατεμένες και τοποθετημένες ανάποδα. Τραβάμε μία στην τύχη, οπότε τα δυνατά αποτελέσματα είναι $10$ σε κάθε ερώτημα:

Πρόσεξε τη σειρά «Διψήφιος αριθμός»: το μοναδικό ευνοϊκό αποτέλεσμα είναι το $10$, γιατί όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί από το $1$ ως το $9$ έχουν ένα μόνο ψηφίο.

Τρεις μορφές για τον ίδιο αριθμό 🔄

Η ίδια πιθανότητα γράφεται με τρεις τρόπους, και όλοι είναι εξίσου σωστοί:

$\frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

Από κλάσμα σε ποσοστό ο δρόμος είναι σύντομος: φτιάχνεις ισοδύναμο κλάσμα με παρονομαστή $100$, και ο αριθμητής είναι το ποσοστό:

$\frac{2}{10} = \frac{20}{100} = 20\% \qquad\qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25\%$

Η μορφή του ποσοστού είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για σύγκριση. Το $\frac{3}{8}$ και το $\frac{2}{5}$ δύσκολα συγκρίνονται με μια ματιά, αλλά το $37{,}5\%$ και το $40\%$ ξεχωρίζουν αμέσως.

Η κλίμακα από το 0 μέχρι το 1 📊

Ο αριθμητής μετρά ένα μέρος των αποτελεσμάτων και ο παρονομαστής το όλο. Το μέρος δεν μπορεί να είναι λιγότερο από τίποτα ούτε περισσότερο από το όλο, άρα:

$0 \le P(A) \le 1$

Και τα δύο άκρα έχουν όνομα:

• $P(A) = 0$ → αδύνατο ενδεχόμενο. Κανένα αποτέλεσμα δεν το ευνοεί, όπως το να τραβήξεις πολλαπλάσιο του $11$ από τις κάρτες $1$ ως $10$.
• $P(A) = 1$ → βέβαιο ενδεχόμενο. Όλα τα αποτελέσματα το ευνοούν, όπως το να τραβήξεις αριθμό μικρότερο του $11$ από τις ίδιες κάρτες: $\frac{10}{10} = 1$.
• Ό,τι βρίσκεται ανάμεσα είναι ενδεχόμενο, και όσο πιο κοντά στο $1$, τόσο πιο πιθανό.

Όταν το ενδεχόμενο είναι «το ένα ή το άλλο» ➕

Συχνά η ερώτηση ζητά δύο ή περισσότερες κατηγορίες μαζί: «κίτρινο ή μπλε», «άρτιος ή πολλαπλάσιο του $5$». Τότε στον αριθμητή μπαίνουν τα ευνοϊκά αποτελέσματα όλων των κατηγοριών μαζί:

$P(A \text{ ή } B) = \frac{\text{πλήθος } A + \text{πλήθος } B}{\text{πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων}}$

Σε ένα σακούλι με $10$ βόλους — $2$ κόκκινοι, $4$ κίτρινοι, $2$ μπλε, $2$ πράσινοι — τα δυνατά αποτελέσματα είναι $10$:

$P(\text{κόκκινος}) = \frac{2}{10} = \frac{20}{100} = 20\%$

$P(\text{κίτρινος ή μπλε}) = \frac{4 + 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{60}{100} = 60\%$

Ο παρονομαστής έμεινε $10$ και στα δύο ερωτήματα. Είναι το πιο συνηθισμένο λάθος: όταν ρωτάμε για κίτρινο ή μπλε, μπαίνει ο πειρασμός να γράψουμε $\frac{6}{6}$, σαν να υπήρχαν μόνο έξι βόλοι. Οι υπόλοιποι τέσσερις όμως είναι ακόμη μέσα στο σακούλι και μπορούν κάλλιστα να τραβηχτούν.