Το πείραμα τύχης και τα δυνατά αποτελέσματα 🎲

Υπάρχουν ερωτήσεις που έχουν μία σίγουρη απάντηση: «πόσο κάνει $7 \cdot 8$;» ή «πόσες πλευρές έχει ένα τετράγωνο;». Και υπάρχουν ερωτήσεις που δεν έχουν: «τι θα φέρει το ζάρι;», «θα βρέξει αύριο;», «ποιο χρώμα βόλου θα τραβήξω;».

Η δεύτερη κατηγορία δεν είναι έξω από τα Μαθηματικά. Είναι το θέμα ενός ολόκληρου κεφαλαίου τους. Το πρώτο βήμα όμως δεν είναι να υπολογίσουμε κάτι — είναι να περιγράψουμε σωστά τι ακριβώς έχουμε μπροστά μας. 🔍

Πότε μια διαδικασία λέγεται πείραμα τύχης 🎯

Πείραμα τύχης ονομάζεται μια διαδικασία που εκτελείται κάτω από ορισμένες συνθήκες, χωρίς να γνωρίζουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμά της.

Μέσα σε αυτόν τον ορισμό κρύβονται δύο απαιτήσεις ταυτόχρονα, και χρειάζονται και οι δύο:

1. Οι συνθήκες είναι καθορισμένες και επαναλαμβανόμενες. Ρίχνουμε το ίδιο νόμισμα, με τον ίδιο τρόπο, όσες φορές θέλουμε. Δεν είναι κάτι που συμβαίνει μία και μοναδική φορά στην ιστορία.
2. Το αποτέλεσμα δεν προβλέπεται. Όσο καλά κι αν ξέρουμε τις συνθήκες, δεν μπορούμε να πούμε από πριν τι θα βγει.

Αν λείπει η πρώτη, δεν έχουμε πείραμα αλλά ένα μεμονωμένο γεγονός. Αν λείπει η δεύτερη, δεν έχουμε τύχη αλλά μια απλή διαδικασία με σίγουρη απάντηση.

Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων 📋

Εδώ βρίσκεται η μεγάλη έκπληξη: αν και δεν ξέρουμε ποιο αποτέλεσμα θα βγει, ξέρουμε πάντα ποια αποτελέσματα μπορούν να βγουν.

Αυτή η λίστα λέγεται σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων και τη γράφουμε μέσα σε άγκιστρα, χωρίζοντας τα αποτελέσματα με κόμμα. Είναι το πρώτο πράγμα που καταγράφουμε σε κάθε πείραμα τύχης, γιατί όλα τα υπόλοιπα στηρίζονται πάνω του.

Ρίψη νομίσματος 🪙
$\{\text{Κορώνα},\ \text{Γράμματα}\}$
Πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων: $2$.

Ρίψη ζαριού 🎲
$\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$
Πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων: $6$.

Τροχός με $5$ ίσα τμήματα αριθμημένα $1$ ως $5$ 🎡
$\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$
Πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων: $5$.

Επιλογή βόλου από σακούλι με κόκκινους, κίτρινους, μπλε και πράσινους 🔮
$\{\text{κόκκινος},\ \text{κίτρινος},\ \text{μπλε},\ \text{πράσινος}\}$
Πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων: $4$ χρώματα.

Πρόσεξε ότι τα αποτελέσματα δεν είναι πάντα αριθμοί. Μπορεί να είναι χρώματα, λέξεις, ονόματα — οτιδήποτε μπορεί να βγει από το πείραμα.

Ενδεχόμενα: όταν μας ενδιαφέρουν πολλά αποτελέσματα μαζί 🧩

Σπάνια μας ενδιαφέρει ένα μόνο αποτέλεσμα. Πιο συχνά ρωτάμε κάτι σαν «θα φέρω ζυγό;» ή «θα τραβήξω σκούρο χρώμα;». Τέτοιες ερωτήσεις μαζεύουν περισσότερα από ένα δυνατά αποτελέσματα κάτω από μία περιγραφή.

Ένα δυνατό ενδεχόμενο είναι ακριβώς αυτό: ένα ή περισσότερα αποτελέσματα που μπορεί να συμβούν σε ένα πείραμα τύχης.

Στη ρίψη ενός ζαριού, με σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$:

• Το ενδεχόμενο «φέρνω $3$» περιέχει ένα αποτέλεσμα: το $3$.
• Το ενδεχόμενο «φέρνω ζυγό» περιέχει τρία: τα $2, 4, 6$.
• Το ενδεχόμενο «φέρνω αριθμό μεγαλύτερο του $4$» περιέχει δύο: τα $5, 6$.

Τα αποτελέσματα που ανήκουν σε ένα ενδεχόμενο τα λέμε ευνοϊκά για αυτό. Η λέξη δεν σημαίνει «καλά» — σημαίνει απλώς «αυτά που κάνουν το ενδεχόμενο να συμβεί». Το ενδεχόμενο «χάνω το παιχνίδι» έχει κι αυτό τα δικά του ευνοϊκά αποτελέσματα.

Η γλώσσα της αβεβαιότητας 🗣️

Πριν φτάσουμε σε αριθμούς, μπορούμε ήδη να συγκρίνουμε ενδεχόμενα. Με το ζάρι:

• «Φέρνω αριθμό μικρότερο του $7$» → βέβαιο, όλα τα αποτελέσματα το ευνοούν.
• «Φέρνω ζυγό» → πιο πιθανό από το «φέρνω $3$», γιατί το ευνοούν τρία αποτελέσματα αντί για ένα.
• «Φέρνω $3$» → λιγότερο πιθανό από το «φέρνω ζυγό», για τον ίδιο ακριβώς λόγο.
• «Φέρνω $9$» → αδύνατο, κανένα αποτέλεσμα δεν το ευνοεί.

Η σύγκριση γίνεται πάντα με τον ίδιο κανόνα: όσο περισσότερα αποτελέσματα ευνοούν ένα ενδεχόμενο, τόσο πιο πιθανό είναι. Αυτή η απλή παρατήρηση είναι ο σπόρος από τον οποίο θα φυτρώσει ο τρόπος να μετράμε την πιθανότητα με αριθμό.