Τραπέζια 🔶📐

Ανάμεσα στα τετράπλευρα υπάρχει ένα σχήμα που το συναντάμε παντού: στις στέγες των σπιτιών, στις τσάντες, στα σήματα της τροχαίας, ακόμα και στα καλάθια. Είναι το τραπέζιο. Εδώ θα δούμε τι ακριβώς το κάνει τραπέζιο, πώς ξεχωρίζει από τα άλλα τετράπλευρα, ποια είδη του υπάρχουν και πώς βρίσκουμε την περίμετρό του. 🎯

Τι είναι το τραπέζιο 🔶

Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει μόνο ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών.

Η μικρή λέξη «μόνο» είναι η πιο σημαντική λέξη στον ορισμό. Δεν φτάνει να βρούμε δύο πλευρές παράλληλες· πρέπει οι άλλες δύο να μην είναι. Αν το σχήμα είχε και τα δύο ζεύγη παράλληλα, δεν θα ήταν τραπέζιο — θα ήταν παραλληλόγραμμο.

Πώς το ελέγχουμε στην πράξη; Παίρνουμε τις δύο απέναντι πλευρές και φανταζόμαστε ότι τις προεκτείνουμε. Αν όσο κι αν προεκταθούν δεν συναντιούνται ποτέ, τότε είναι παράλληλες. Κάνουμε το ίδιο και για το δεύτερο ζεύγος απέναντι πλευρών. Στο τραπέζιο, το ένα ζεύγος περνάει το τεστ και το άλλο όχι: οι δύο πλάγιες πλευρές, αν τις προεκτείναμε αρκετά, θα έσμιγαν κάπου.

Βάσεις και πόδια

Οι δύο πλευρές του τραπεζίου δεν έχουν όλες τον ίδιο ρόλο, γι' αυτό έχουν και ξεχωριστά ονόματα:

Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ, όπου η ΑΒ είναι παράλληλη με τη ΔΓ, οι βάσεις είναι η $ΑΒ$ και η $ΔΓ$, ενώ τα πόδια είναι η $ΒΓ$ και η $ΑΔ$.

Τι ξεχωρίζει το τραπέζιο από το παραλληλόγραμμο ⚖️

Το τραπέζιο και το παραλληλόγραμμο μοιάζουν: και τα δύο είναι τετράπλευρα και και τα δύο έχουν παράλληλες πλευρές. Η διαφορά τους βρίσκεται σε πόσα ζεύγη παράλληλων πλευρών έχουν.

Αυτή η μία διαφορά παρασύρει πολλά μαζί της. Επειδή το παραλληλόγραμμο έχει και τα δύο ζεύγη παράλληλα, οι απέναντι πλευρές του βγαίνουν ίσες και οι απέναντι γωνίες του ίσες. Στο τραπέζιο τίποτα από αυτά δεν ισχύει γενικά: οι δύο βάσεις έχουν διαφορετικό μήκος, τα δύο πόδια μπορεί να είναι εντελώς άνισα, και οι γωνίες του μπορεί να είναι τέσσερις διαφορετικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ μπορεί να έχει γωνίες $Α = 135°$, $Β = 127°$, $Γ = 53°$ και $Δ = 45°$ — καμία δεν ισούται με άλλη.

Ένα όμως μένει σταθερό: το τραπέζιο είναι τετράπλευρο, άρα οι τέσσερις γωνίες του προσθέτουν πάντα $360°$. Στο παραπάνω παράδειγμα:

$135° + 127° + 53° + 45° = 360°$

Τα είδη των τραπεζίων 🏷️

Τα περισσότερα τραπέζια δεν έχουν τίποτα το ιδιαίτερο: οι πλευρές τους είναι όλες διαφορετικές και οι γωνίες τους τυχαίες. Δύο όμως είδη έχουν κάτι ξεχωριστό και γι' αυτό τους δώσαμε όνομα.

Ορθογώνιο τραπέζιο 📐

Ορθογώνιο τραπέζιο είναι το τραπέζιο που έχει δύο ορθές γωνίες, δηλαδή δύο γωνίες των $90°$.

Γιατί όμως πάντα δύο και όχι μία; Επειδή οι δύο βάσεις είναι παράλληλες. Αν ένα πόδι σχηματίζει γωνία $90°$ με τη μία βάση, τότε είναι κάθετο σε αυτήν — και αφού η άλλη βάση είναι παράλληλη με την πρώτη, το ίδιο πόδι θα είναι κάθετο και σε εκείνη. Έτσι, η μία ορθή γωνία «γεννάει» αναγκαστικά και τη δεύτερη, στην άλλη άκρη του ίδιου ποδιού.

Αν λοιπόν σε ένα τραπέζιο έχουμε γωνίες $90°$, $90°$ και $120°$, η τέταρτη βγαίνει αμέσως:

$360° - 90° - 90° - 120° = 60°$

Ισοσκελές τραπέζιο ⚖️

Ισοσκελές τραπέζιο είναι το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες, δηλαδή τα δύο του «πόδια» έχουν το ίδιο μήκος.

Το όνομα κρύβει τη σημασία του: «ισο-σκελές» σημαίνει «με ίσα σκέλη», με ίσα πόδια. Το ίδιο ακριβώς λέμε και για το ισοσκελές τρίγωνο, που έχει δύο πλευρές ίσες.

Το ισοσκελές τραπέζιο είναι συμμετρικό: αν το διπλώσουμε στη μέση, κάθετα στις βάσεις, τα δύο μισά του πέφτουν ακριβώς το ένα πάνω στο άλλο. Από αυτή τη συμμετρία προκύπτει και μια χρήσιμη ιδιότητα: οι δύο γωνίες που ακουμπούν στην ίδια βάση είναι ίσες μεταξύ τους.

Πώς αναγνωρίζουμε τι είδους τραπέζιο έχουμε 🔍

Όταν μας δίνουν ένα τραπέζιο, ακολουθούμε τρία βήματα με τη σειρά:

1. Βρίσκουμε τις βάσεις — ποιο ζεύγος απέναντι πλευρών είναι παράλληλο. Οι άλλες δύο είναι τα πόδια.
2. Κοιτάμε τις γωνίες: υπάρχουν δύο γωνίες $90°$ ή μια πλευρά κάθετη στις βάσεις; Τότε είναι ορθογώνιο τραπέζιο.
3. Κοιτάμε τα πόδια: έχουν το ίδιο μήκος (ή έχουν πάνω τους τα ίδια σημαδάκια); Τότε είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Αν δεν ισχύει τίποτα από τα δύο, έχουμε ένα απλό, γενικό τραπέζιο — και αυτό είναι μια χαρά απάντηση.

Ας το δούμε σε τρία παραδείγματα:

Η περίμετρος του τραπεζίου 📏

Η περίμετρος ενός σχήματος είναι το μήκος της «περιφραγμένης γραμμής» γύρω του — όσο δρόμο θα κάναμε αν περπατούσαμε σε όλη του την άκρη. Για το τραπέζιο, αυτό σημαίνει ότι προσθέτουμε και τις τέσσερις πλευρές του:

$Π = \text{βάση}_1 + \text{βάση}_2 + \text{πόδι}_1 + \text{πόδι}_2$

Δεν υπάρχει ειδικός, πιο σύντομος τύπος — και δεν χρειάζεται. Το μόνο που πρέπει να προσέχουμε είναι να μην ξεχάσουμε καμία πλευρά και όλα τα μήκη να είναι στην ίδια μονάδα μέτρησης.

Παράδειγμα: Τραπέζιο με βάσεις $8$ cm και $14$ cm και πόδια $5$ cm και $7$ cm.

$Π = 8 + 14 + 5 + 7 = 34 \text{ cm}$

Το κόλπο στο ισοσκελές τραπέζιο

Στο ισοσκελές τραπέζιο τα δύο πόδια είναι ίσα. Αυτό μας επιτρέπει να βρούμε την περίμετρο ακόμα κι αν μας δώσουν μόνο τρεις πλευρές: τις δύο βάσεις και το ένα πόδι. Το δεύτερο πόδι το ξέρουμε ήδη, γιατί είναι ίσο με το πρώτο!

$Π = \text{βάση}_1 + \text{βάση}_2 + 2 \times \text{πόδι}$

Παράδειγμα: Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με $ΑΒ = 6$ cm, $ΔΓ = 10$ cm και $ΒΓ = 4$ cm.

Αφού είναι ισοσκελές, το δεύτερο πόδι είναι $ΑΔ = ΒΓ = 4$ cm. Άρα:

$Π = 6 + 10 + 2 \times 4 = 6 + 10 + 8 = 24 \text{ cm}$

Το ίδιο βγαίνει και αν τις προσθέσουμε μία μία: $6 + 4 + 10 + 4 = 24$ cm. ✅