Το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου 🔷

Για το τρίγωνο ξέρουμε κάτι που δεν αλλάζει ποτέ: όσο κι αν το τεντώσεις, όσο κι αν το στρίψεις, οι τρεις γωνίες του δίνουν πάντα άθροισμα $180°$. Τι γίνεται όμως με ένα τετράπλευρο, ένα πεντάγωνο, ένα σχήμα με δεκαπέντε πλευρές; Θα έπρεπε να μετρήσουμε τις γωνίες μία μία με το μοιρογνωμόνιο; Η απάντηση είναι όχι — και το κόλπο είναι να μη μετρήσουμε τίποτα καινούριο, αλλά να κρυφτούμε πίσω από αυτό που ήδη ξέρουμε για το τρίγωνο.

Το σχήμα και τα μέρη του 📐

Ένα Πολύγωνο είναι φτιαγμένο από ευθείες γραμμές που ενώνονται η μία μετά την άλλη και κλείνουν. Κάθε τέτοιο σχήμα έχει τρία πράγματα, και μάλιστα σε ίσο πλήθος:

• τις πλευρές του, τα ευθύγραμμα τμήματα,
• τις κορυφές του, τα σημεία όπου συναντιούνται δύο πλευρές,
• τις γωνίες του, μία σε κάθε κορυφή.

Ένα σχήμα με $5$ πλευρές έχει $5$ κορυφές και $5$ γωνίες. Ένα με $12$ πλευρές έχει $12$ κορυφές και $12$ γωνίες. Γι' αυτό, όταν λέμε «πολύγωνο με $ν$ πλευρές», ξέρουμε αυτόματα ότι ψάχνουμε το άθροισμα $ν$ γωνιών.

Τα πιο συνηθισμένα πολύγωνα έχουν και δικό τους όνομα:

Η διαγώνιος: το εργαλείο που σπάει το σχήμα ✂️

Για να αξιοποιήσουμε ό,τι ξέρουμε για το τρίγωνο, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να κόβουμε ένα πολύγωνο σε τρίγωνα. Αυτόν τον ρόλο παίζει η διαγώνιος.

Διαγώνιος λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο κορυφές οι οποίες δεν είναι γειτονικές. Η λέξη-κλειδί είναι το «μη διαδοχικές»: αν ενώσεις δύο γειτονικές κορυφές, δεν χαράζεις τίποτα καινούριο — απλώς ξαναγράφεις μια πλευρά που υπάρχει ήδη.

Σε ένα τετράπλευρο με κορυφές Α, Β, Γ, Δ, οι πλευρές είναι τα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ. Οι διαγώνιοι είναι τα δύο τμήματα που μένουν: το ΑΓ και το ΒΔ.

Ένα τελευταίο που εξηγεί γιατί το τρίγωνο μένει έξω από όλη αυτή τη συζήτηση: το τρίγωνο δεν έχει καμία διαγώνιο. Και οι τρεις κορυφές του είναι γειτονικές μεταξύ τους, οπότε δεν υπάρχει ζευγάρι να ενωθεί. Το τρίγωνο δεν κόβεται σε μικρότερα τρίγωνα — γι' αυτό ακριβώς είναι το δομικό υλικό από το οποίο φτιάχνονται όλα τα υπόλοιπα.

Το τετράπλευρο: μία γραμμή, δύο τρίγωνα 🔺🔺

Ας πάρουμε ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο και ας φέρουμε μία διαγώνιο, ας πούμε την ΑΓ. Το σχήμα χωρίζεται σε δύο τρίγωνα: το ΑΒΓ και το ΑΓΔ.

Τώρα έρχεται η κρίσιμη παρατήρηση. Οι γωνίες αυτών των δύο τριγώνων, όλες μαζί, φτιάχνουν ακριβώς τις τέσσερις γωνίες του τετραπλεύρου:

• Στις κορυφές Β και Δ, η γωνία του τριγώνου είναι η ίδια η γωνία του τετραπλεύρου.
• Στις κορυφές Α και Γ, η διαγώνιος έκοψε τη γωνία του τετραπλεύρου σε δύο κομμάτια — ένα σε κάθε τρίγωνο. Τα δύο κομμάτια όμως ξαναενώνονται και δίνουν τη γωνία που είχαμε.

Δεν χάθηκε τίποτα και δεν προστέθηκε τίποτα. Άρα το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου είναι το άθροισμα των γωνιών δύο τριγώνων:

$2 \times 180° = 360°$

Και αυτό ισχύει για κάθε τετράπλευρο — τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβο, τραπέζιο ή ένα εντελώς ακανόνιστο σχήμα. Καμία μέτρηση δεν χρειάστηκε.

Όλες οι διαγώνιοι από μία κορυφή 🎯

Το ίδιο κόλπο δουλεύει σε οποιοδήποτε πολύγωνο, με έναν κανόνα: διαλέγουμε μία μόνο κορυφή και φέρνουμε από εκεί όλες τις διαγωνίους.

Γιατί μία μόνο κορυφή; Γιατί έτσι οι γραμμές δεν τέμνονται μεταξύ τους μέσα στο σχήμα. Το πολύγωνο χωρίζεται σε τρίγωνα που μοιάζουν με φέτες βεντάλιας, χωρίς επικαλύψεις και χωρίς κομμάτια που περισσεύουν.

Ας δούμε τι βγαίνει:

Κοίτα τη στήλη «Τρίγωνα» δίπλα στη στήλη «Πλευρές». Κάθε φορά που προσθέτουμε μία πλευρά, κερδίζουμε ένα ακόμα τρίγωνο — και τα τρίγωνα είναι σταθερά δύο λιγότερα από τις πλευρές.

Γιατί πάντα δύο λιγότερα 💡

Αυτό το «δύο λιγότερα» δεν είναι σύμπτωση ούτε κάτι που απλώς παρατηρήσαμε στον πίνακα. Βγαίνει από τη γεωμετρία του σχήματος.

Στάσου στην κορυφή που διάλεξες και κοίτα τις άλλες. Σε ένα πολύγωνο με $ν$ πλευρές υπάρχουν $ν$ κορυφές συνολικά:

• Προς τον εαυτό της δεν τραβάς γραμμή.
• Προς τις δύο γειτονικές της δεν τραβάς διαγώνιο — αυτές ενώνονται ήδη με πλευρές.

Μένουν λοιπόν $ν - 3$ κορυφές στις οποίες μπορείς να φέρεις διαγώνιο. Και $ν - 3$ γραμμές μέσα σε ένα σχήμα το κόβουν σε $ν - 2$ κομμάτια, όπως μία κοπή σε μια κορδέλα δίνει δύο κομμάτια, δύο κοπές δίνουν τρία και ούτω καθεξής: τα κομμάτια είναι πάντα ένα παραπάνω από τις κοπές.

Στο πεντάγωνο: $5 - 3 = 2$ διαγώνιοι, που δίνουν $5 - 2 = 3$ τρίγωνα. Στο οκτάγωνο: $5$ διαγώνιοι, $6$ τρίγωνα. Ταιριάζει με τον πίνακα.

Ο γενικός τύπος 📝

Αφού τα τρίγωνα είναι $ν - 2$ και κάθε τρίγωνο συνεισφέρει $180°$, το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου με $ν$ πλευρές είναι:

$(ν - 2) \cdot 180°$

Ένα παράδειγμα με σχήμα που δεν έχει καν βολικό όνομα, ένα πολύγωνο $12$ πλευρών:

$(12 - 2) \cdot 180° = 10 \cdot 180° = 1800°$

Και ένα με $20$ πλευρές:

$(20 - 2) \cdot 180° = 18 \cdot 180° = 3240°$

Πρόσεξε ότι ο τύπος δουλεύει και για το ίδιο το τρίγωνο: $(3 - 2) \cdot 180° = 180°$. Δεν είναι εξαίρεση, είναι η πρώτη περίπτωση του ίδιου κανόνα.

Το κανονικό πολύγωνο: από το άθροισμα στη μία γωνία 🔶

Ο τύπος δίνει το άθροισμα όλων των γωνιών, όχι τη μία γωνία. Για ένα ακανόνιστο σχήμα δεν μπορούμε να πούμε πόσο είναι η καθεμιά — μπορεί μία να είναι μικρή και μια άλλη αμβλεία γωνία.

Υπάρχει όμως μια περίπτωση όπου μπορούμε. Ένα Κανονικό πολύγωνο έχει όλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους. Τότε αρκεί μια διαίρεση:

$\text{μία γωνία} = \frac{(ν - 2) \cdot 180°}{ν}$

Στο κανονικό εξάγωνο:

$\frac{720°}{6} = 120°$

Στο κανονικό πεντάγωνο:

$\frac{540°}{5} = 108°$

Και στο τετράγωνο, που είναι το κανονικό τετράπλευρο, $360° \div 4 = 90°$ — οι τέσσερις ορθές γωνίες που ήδη ξέραμε. Κάθε φορά που ο τύπος επιβεβαιώνει κάτι που ξέρουμε από αλλού, έχουμε έναν ακόμα λόγο να τον εμπιστευόμαστε.