Πρώτοι και σύνθετοι: μετράμε διαιρέτες 🔍🧮

Κάθε φυσικός αριθμός έχει τους δικούς του διαιρέτες — τους αριθμούς που τον διαιρούν ακριβώς, χωρίς να αφήνουν υπόλοιπο. Κάποιοι αριθμοί έχουν πολλούς, κάποιοι ελάχιστους. Αν καθίσεις και μετρήσεις πόσους διαιρέτες έχει ο καθένας, θα δεις ότι οι αριθμοί χωρίζονται από μόνοι τους σε ομάδες, με έναν τρόπο εκπληκτικά καθαρό. 🎯

Μετρώντας διαιρέτες: τι βλέπουμε 🔢

Ας πάρουμε τους πρώτους αριθμούς μετά το $1$ και ας γράψουμε όλους τους διαιρέτες του καθενός:

Παρατήρησε κάτι σημαντικό: κάθε αριθμός έχει σίγουρα τουλάχιστον δύο διαιρέτες, το $1$ και τον εαυτό του. Αυτοί είναι δεδομένοι, δεν χρειάζεται να τους ψάξεις. Το ενδιαφέρον ερώτημα είναι αν υπάρχει και κάτι άλλο πέρα από αυτούς τους δύο.

Έτσι προκύπτει φυσικά ο χωρισμός:

• Στο $2$, στο $3$, στο $5$, στο $7$ δεν υπάρχει τίποτε άλλο. Το πλήθος σταματά στο $2$.
• Στο $4$, στο $6$, στο $8$, στο $9$, στο $12$ υπάρχουν κι άλλοι διαιρέτες στη μέση. Το πλήθος ξεπερνά το $2$.

Οι δύο ορισμοί ✍️

Αυτό που μόλις παρατηρήσαμε είναι ακριβώς ο ορισμός των δύο κατηγοριών:

Πρόσεξε τη λέξη ακριβώς. Δεν λέμε «διαιρείται με το $1$ και τον εαυτό του» σκέτο, γιατί αυτό ισχύει για όλους τους αριθμούς — και για το $12$! Λέμε ότι ο πρώτος αριθμός διαιρείται μόνο με αυτά τα δύο και με τίποτε άλλο.

Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος να το σκεφτείς, που βοηθά πολύ: ο σύνθετος αριθμός σπάει σε γινόμενο μικρότερων αριθμών, ενώ ο πρώτος δεν σπάει με κανέναν τρόπο.

$12 = 3 \cdot 4 \qquad 15 = 3 \cdot 5 \qquad \text{αλλά το } 13 \text{ δεν γράφεται έτσι}$

Η ειδική περίπτωση του 1 ⚡

Ο αριθμός $1$ είναι η εξαίρεση που μπερδεύει τους περισσότερους. Οι διαιρέτες του είναι... μόνο ο εαυτός του. Το $1$ διαιρείται με το $1$ — και τέλος. Ένας διαιρέτης, όχι δύο.

Άρα:

• Δεν είναι πρώτος, γιατί ο πρώτος χρειάζεται ακριβώς δύο διαιρέτες, και το $1$ έχει έναν.
• Δεν είναι σύνθετος, γιατί ο σύνθετος χρειάζεται περισσότερους από δύο, και το $1$ έχει λιγότερους.

Το $1$ λοιπόν δεν ανήκει σε καμία από τις δύο οικογένειες. Στέκεται μόνο του, σε δική του κατηγορία.

Το 2 και η μοναδική του θέση 2️⃣

Το $2$ είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός και συγχρόνως ο μοναδικός άρτιος πρώτος. Ο λόγος είναι απλός όταν τον δεις:

Κάθε άρτιος αριθμός, εξ ορισμού, διαιρείται με το $2$. Πάρε λοιπόν έναν άρτιο αριθμό μεγαλύτερο από το $2$, π.χ. το $18$. Οι διαιρέτες του περιλαμβάνουν σίγουρα το $1$, το $18$ και το $2$ — τρεις τουλάχιστον. Πάνω από δύο, άρα σύνθετος. Το ίδιο συμβαίνει με το $4$, το $6$, το $100$, με κάθε άρτιο εκτός από το ίδιο το $2$.

Γιατί γλιτώνει το $2$; Επειδή για αυτό το $2$ είναι ο εαυτός του. Δεν προστίθεται ως τρίτος διαιρέτης, γιατί μετράει ήδη ως ο δεύτερος.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη 🥣

Πώς βρίσκουμε όλους τους πρώτους μέχρι έναν αριθμό, χωρίς να ελέγχουμε έναν προς έναν; Ο Ερατοσθένης σκέφτηκε κάτι πανέξυπνο: αντί να ψάχνουμε τους πρώτους, πετάμε τους σύνθετους.

Η ιδέα στηρίζεται σε μια απλή παρατήρηση. Κάθε πολλαπλάσιο του $3$ — δηλαδή το $6$, το $9$, το $12$ — έχει σίγουρα το $3$ ως διαιρέτη, άρα είναι σύνθετο. Το ίδιο ισχύει για τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού. Αν λοιπόν σβήσουμε όλα τα πολλαπλάσια, ό,τι επιβιώσει είναι αναγκαστικά πρώτο.

Τα βήματα, για τους αριθμούς μέχρι το 100

1. Γράφουμε όλους τους αριθμούς από το $2$ ως το $100$. Το $1$ το αφήνουμε έξω, αφού δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.
2. Κρατάμε το $2$ και διαγράφουμε όλα τα υπόλοιπα πολλαπλάσιά του: $4, 6, 8, 10, \ldots$
3. Ο πρώτος αριθμός που επέζησε είναι το $3$. Το κρατάμε και διαγράφουμε τα πολλαπλάσιά του: $6, 9, 12, 15, \ldots$
4. Επόμενος επιζών, το $5$. Το κρατάμε και διαγράφουμε τα $10, 15, 20, \ldots$
5. Επόμενος, το $7$. Το κρατάμε και διαγράφουμε τα $14, 21, 28, \ldots$
6. Σταματάμε. Ό,τι έμεινε αδιάγραφο είναι πρώτος αριθμός. ✨

Ο τρόπος που δουλεύει μοιάζει με κόσκινο στην κουζίνα: το αλεύρι περνάει και οι σβόλοι μένουν πίσω. Εδώ «περνούν» οι σύνθετοι και μένουν οι πρώτοι.

Γιατί το κόσκινο σταματά στο 7 🛑

Εδώ βρίσκεται το πιο έξυπνο κομμάτι της μεθόδου, και είναι το σημείο που συνήθως προσπερνιέται. Γιατί δεν χρειάζεται να συνεχίσουμε με το $11$, το $13$ και παρακάτω;

Σκέψου τι είναι ένας σύνθετος αριθμός: ένα γινόμενο δύο παραγόντων, π.χ. $91 = 7 \cdot 13$. Οι δύο αυτοί παράγοντες δεν μπορεί να είναι και οι δύο μεγάλοι. Αν και οι δύο ξεπερνούσαν το $10$, το γινόμενό τους θα ξεπερνούσε το $100$. Άρα κάθε σύνθετος αριθμός μέχρι το $100$ έχει σίγουρα έναν παράγοντα $10$ ή μικρότερο — και επομένως έναν πρώτο διαιρέτη ανάμεσα στο $2$, το $3$, το $5$ και το $7$.

Συμπέρασμα: μόλις καθαρίσουμε τα πολλαπλάσια αυτών των τεσσάρων, δεν έχει μείνει ούτε ένας σύνθετος στον πίνακα.

Ο ίδιος συλλογισμός δίνει και τον κανόνα για να ελέγξεις έναν αριθμό: δοκίμασε να τον διαιρέσεις μόνο με τους πρώτους, και σταμάτα μόλις φτάσεις σε πρώτο του οποίου το τετράγωνο ξεπερνά τον αριθμό σου. Για το $59$ αρκεί να δοκιμάσεις $2, 3, 5, 7$, γιατί $7^2 = 49 < 59$ αλλά $11^2 = 121 > 59$. Αν κανένας δεν τον διαιρεί, είναι πρώτος.

Οι 25 πρώτοι μέχρι το 100 🌟

Το κόσκινο, ολοκληρωμένο, αφήνει πίσω του αυτούς:

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97$

Είναι $25$ συνολικά — δηλαδή ένας στους τέσσερις αριθμούς μέχρι το $100$. Κοίτα όμως πώς κατανέμονται:

Οι πρώτοι αραιώνουν όσο ανεβαίνουμε. Και παρατήρησε κάτι ακόμη: εκτός από το $2$ και το $5$, κανένας πρώτος δεν τελειώνει σε $0$, $2$, $4$, $5$, $6$ ή $8$ — γιατί ένα τέτοιο τελευταίο ψηφίο προδίδει αμέσως έναν διαιρέτη, το $2$ ή το $5$.