Τα κριτήρια διαιρετότητας 🔍🔢
Εδώ θα δούμε τους ίδιους τους κανόνες: ποια ψηφία κοιτάζουμε για κάθε διαιρέτη, γιατί ο κάθε κανόνας δουλεύει, πώς συνεργάζονται τα κριτήρια μεταξύ τους και ποια λάθη κάνουν πιο συχνά οι μαθητές όταν τα εφαρμόζουν. Στο τέλος θα μπορείς να απαντήσεις για οποιονδήποτε αριθμό, όσο μεγάλος κι αν είναι, αν διαιρείται με το , το , το , το , το ή το . 🎯
Τα κριτήρια με μια ματιά 📋
| Διαιρέτης | Κοιτάζουμε | Ο κανόνας |
|---|---|---|
| 2 | το ψηφίο των μονάδων | Είναι ή |
| 5 | το ψηφίο των μονάδων | Είναι ή |
| 10 | το ψηφίο των μονάδων | Είναι |
| 4 | τα δύο τελευταία ψηφία | Ο διψήφιος που σχηματίζουν διαιρείται με |
| 3 | όλα τα ψηφία | Το άθροισμά τους διαιρείται με |
| 9 | όλα τα ψηφία | Το άθροισμά τους διαιρείται με |
Πρόσεξε ότι τα κριτήρια χωρίζονται σε δύο οικογένειες: αυτά που κοιτάζουν το τέλος του αριθμού (, , , ) και αυτά που κοιτάζουν όλα τα ψηφία (, ). Αυτή η διαφορά δεν είναι σύμβαση — προκύπτει από τον τρόπο που είναι φτιαγμένο το δεκαδικό μας σύστημα.
Γιατί αρκεί το τελευταίο ψηφίο για το 2, το 5 και το 10 🔚
Κάθε αριθμός μπορεί να σπάσει σε δύο κομμάτια: τις δεκάδες και τις μονάδες. Για παράδειγμα:
Το πρώτο κομμάτι, το , τελειώνει σε μηδέν, άρα είναι πολλαπλάσιο του — και επομένως διαιρείται ταυτόχρονα με το , με το και με το , αφού . Αυτό το κομμάτι λοιπόν δεν μπορεί ποτέ να χαλάσει τη διαιρετότητα με αυτούς τους τρεις αριθμούς. Ό,τι αποφασίζεται, αποφασίζεται από το δεύτερο κομμάτι: το ψηφίο των μονάδων.
Στο το τελευταίο ψηφίο είναι το , που διαιρείται με το — άρα και όλος ο αριθμός διαιρείται με το . Δεν διαιρείται όμως ούτε με το ούτε με το , γιατί το δεν διαιρείται με κανένα από τα δύο.
Όταν ένας αριθμός τελειώνει σε , κερδίζεις τρεις απαντήσεις με ένα κοίταγμα: διαιρείται και με το , και με το , και με το . Ο είναι τέτοιος. Γι' αυτό, όταν ελέγχεις πολλά κριτήρια μαζί, συμφέρει να ξεκινάς πάντα από το τελευταίο ψηφίο.
Γιατί το 4 θέλει δύο ψηφία ✌️
Το δεν διαιρεί το , οπότε το προηγούμενο κόλπο δεν δουλεύει. Διαιρεί όμως το , αφού . Σπάμε λοιπόν τον αριθμό αλλιώς — σε εκατοντάδες και σε ό,τι μένει:
Το είναι πολλαπλάσιο του , άρα διαιρείται σίγουρα με το . Μένει να ελέγξουμε μόνο το : αφού , ολόκληρος ο διαιρείται με το .
Για τον ίδιο λόγο, όταν τα δύο τελευταία ψηφία δεν διαιρούνται με το , δεν διαιρείται ούτε ο αριθμός. Ο τελειώνει σε , και το δεν διαιρείται με το — άρα ούτε ο .
Πολλοί μαθητές βλέπουν έναν ζυγό αριθμό και συμπεραίνουν ότι διαιρείται και με το . Λάθος! Ο , ο και ο είναι όλοι άρτιοι, αλλά κανένας τους δεν διαιρείται με το . Ισχύει μόνο το αντίστροφο: κάθε αριθμός που διαιρείται με το είναι σίγουρα άρτιος.
Το άθροισμα των ψηφίων: τα κριτήρια του 3 και του 9 ➕
Εδώ ο κανόνας αλλάζει εντελώς χαρακτήρα. Για να ελέγξουμε το και το , προσθέτουμε όλα τα ψηφία του αριθμού και ελέγχουμε το άθροισμα των ψηφίων που προκύπτει.
Παράδειγμα με το 3: για τον έχουμε . Το διαιρείται με το , άρα και ο διαιρείται με το . Αντίθετα, για τον έχουμε , που δεν διαιρείται με το — ούτε ο λοιπόν.
Παράδειγμα με το 9: για τον έχουμε . Το διαιρείται με το , άρα και ο . Για τον όμως, , που δεν διαιρείται με το .
Όταν το άθροισμα βγει και πάλι μεγάλο, μπορούμε να ξαναπροσθέσουμε τα ψηφία του όσες φορές χρειαστεί, μέχρι να φτάσουμε σε αριθμό που αναγνωρίζουμε αμέσως:
Το διαιρείται με το , άρα και ο πενταψήφιος διαιρείται με το . Ένας αριθμός με πέντε ψηφία απαντήθηκε με δύο μικρές προσθέσεις.
Γιατί δουλεύει το άθροισμα των ψηφίων 🧠
Το κόλπο κρύβεται στους αριθμούς , , : όλοι τους διαιρούνται και με το και με το . Ας δούμε τον γραμμένο με την αξία θέσης του:
Γράφουμε τώρα το ως και το ως :
Τα κομμάτια και διαιρούνται σίγουρα με το και με το , ό,τι κι αν συμβαίνει με τα υπόλοιπα. Αυτό που περισσεύει είναι ακριβώς — δηλαδή το άθροισμα των ψηφίων! Γι' αυτό αρκεί να το ελέγξουμε: όλα τα άλλα κομμάτια είναι ήδη τακτοποιημένα.
Το άθροισμα ψηφίων δουλεύει για το και το επειδή αυτά διαιρούν το , το , το . Το δεν διαιρεί κανέναν από αυτούς, γι' αυτό δεν έχει απλό κριτήριο αθροίσματος ψηφίων. Υπάρχουν κόλπα και για το , αλλά είναι τόσο περίπλοκα που συνήθως είναι πιο γρήγορο να κάνεις τη διαίρεση!
Πώς συνδέονται τα κριτήρια μεταξύ τους 🔗
Τα κριτήρια δεν ζουν απομονωμένα. Επειδή , ισχύει ένας πολύ χρήσιμος κανόνας:
Κάθε αριθμός που διαιρείται με το διαιρείται σίγουρα και με το .
Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Ο διαιρείται με το (άθροισμα ) αλλά όχι με το , αφού το δεν διαιρείται με το . Με την ίδια λογική συνδέονται και άλλα ζευγάρια:
| Αν διαιρείται με | Τότε διαιρείται σίγουρα και με | Γιατί |
|---|---|---|
| και |
Αυτό μας γλιτώνει δουλειά: μόλις διαπιστώσεις ότι ένας αριθμός διαιρείται με το , δεν χρειάζεται να ελέγξεις ξεχωριστά το και το .
Η σειρά που βολεύει να ελέγχεις 🧭
Όταν σου ζητούν να εξετάσεις έναν αριθμό ως προς όλα τα κριτήρια, μια σταθερή σειρά σε προστατεύει από παραλείψεις:
- Κοίτα το τελευταίο ψηφίο και απάντησε μονομιάς για το , το και το .
- Κοίτα τα δύο τελευταία και απάντησε για το — μόνο αν ο αριθμός βγήκε άρτιος, αλλιώς η απάντηση είναι ήδη όχι.
- Πρόσθεσε τα ψηφία μία φορά και απάντησε για το και το μαζί, από το ίδιο άθροισμα.
Έτσι κάθε υπολογισμός χρησιμοποιείται για περισσότερες από μία απαντήσεις, και τελειώνεις με μία μόνο πρόσθεση συνολικά.
Το πιο συχνό λάθος: ο μαθητής βρίσκει σωστά ότι και μετά ρωτά αν το 18 διαιρείται με το ή αν το διαιρείται με το . Ούτε το ένα ούτε το άλλο. Το άθροισμα το ελέγχουμε μόνο με το ή με το — αυτούς τους δύο διαιρέτες αφορά ο κανόνας.