Ακέραιοι Αριθμοί: Η συνολική εικόνα 🔢

Όλη αυτή η ενότητα απαντά σε δύο ερωτήσεις που φαίνονται ασύνδετες, αλλά τελικά είναι η ίδια ερώτηση δύο φορές: πώς γράφουμε πολύ μεγάλους αριθμούς χωρίς να κουραζόμαστε και πώς γράφουμε αριθμούς που πάνε κάτω από το μηδέν. Στην πρώτη απαντούν οι δυνάμεις, οι δυνάμεις του $10$ και το δεκαδικό σύστημα· στη δεύτερη απαντούν οι θετικοί και οι αρνητικοί αριθμοί. Και οι δύο απαντήσεις έχουν τον ίδιο σκοπό: να μας δώσουν αριθμούς αρκετά «μεγάλους» και αρκετά «ελεύθερους» για να περιγράψουν τον πραγματικό κόσμο. 🎯

Η δύναμη: ένας σύντομος τρόπος για επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό 💪

Όταν πολλαπλασιάζουμε τον ίδιο αριθμό με τον εαυτό του πολλές φορές, η πλήρης γραφή γίνεται γρήγορα ατελείωτη. Η δύναμη είναι η σύντομη γραφή αυτού του γινομένου:

$\alpha^{\nu} = \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdots \alpha}_{\nu \text{ παράγοντες}}$

Δύο ονόματα κρατούν όλη τη σημασία:

Έτσι, στη δύναμη $4^5$ η βάση είναι το $4$ και ο εκθέτης το $5$:

$4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$

Διαβάζεται «τέσσερα στην πέμπτη» ή «η πέμπτη δύναμη του τέσσερα».

Μια ειδική περίπτωση αξίζει να τη θυμόμαστε: όταν ο εκθέτης είναι $1$, δεν γίνεται κανένας πολλαπλασιασμός, οπότε μένει ο ίδιος ο αριθμός. Δηλαδή $\alpha^1 = \alpha$, άρα $5^1 = 5$ και $10^1 = 10$.

Οι δυνάμεις του 10 και η δομή του δεκαδικού συστήματος 🔟

Ανάμεσα σε όλες τις δυνάμεις, αυτές με βάση το $10$ είναι ξεχωριστές — και όχι τυχαία. Το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε είναι δεκαδικό, δηλαδή είναι χτισμένο ολόκληρο πάνω στο $10$: κάθε θέση αξίζει δέκα φορές περισσότερο από τη θέση δεξιά της. Δέκα μονάδες κάνουν μία δεκάδα, δέκα δεκάδες μία εκατοντάδα, δέκα εκατοντάδες μία χιλιάδα, και ούτω καθεξής.

Επειδή ακριβώς ισχύει αυτό, οι δυνάμεις του $10$ έχουν ένα πολύ βολικό σχήμα: ο εκθέτης δείχνει πόσα μηδενικά ακολουθούν το $1$.

Γράφοντας έναν αριθμό με δυνάμεις του 10

Ένας «στρογγυλός» αριθμός σπάει σε δύο κομμάτια: το ψηφίο μπροστά και τα μηδενικά που το ακολουθούν. Τα μηδενικά τα μαζεύουμε σε μία δύναμη του $10$:

$5000 = 5 \cdot 1000 = 5 \cdot 10^3 \qquad 30\,000 = 3 \cdot 10\,000 = 3 \cdot 10^4$

Ο κανόνας είναι απλός: μετράμε πόσα μηδενικά υπάρχουν μετά το πρώτο ψηφίο, και αυτός ο αριθμός γίνεται ο εκθέτης.

Η αξία ενός ψηφίου

Η ίδια ιδέα εξηγεί και γιατί το ίδιο ψηφίο αξίζει διαφορετικά σε διαφορετικές θέσεις. Η αξία ενός ψηφίου είναι το ψηφίο επί τη δύναμη του $10$ που αντιστοιχεί στη θέση του. Για να βρούμε ποια δύναμη είναι, μετράμε πόσα ψηφία στέκονται δεξιά του.

Στον αριθμό $145\,890\,365$, το ψηφίο $4$ έχει δεξιά του επτά ψηφία, άρα:

$4 \cdot 10^7 = 40\,000\,000$

δηλαδή αξίζει σαράντα εκατομμύρια — όχι τέσσερα.

Συντομογραφίες που βλέπουμε παντού

Οι δυνάμεις του $10$ έχουν και δικά τους γράμματα, που τα συναντάμε σε οθόνες, σε συσκευές και στο διαδίκτυο:

Έτσι, το $74$K σημαίνει $74\,000$ και το $504$M σημαίνει $504\,000\,000$.

Μεγάλοι αριθμοί: μέχρι το δισεκατομμύριο 🌍

Όταν οι αριθμοί έχουν πολλά ψηφία, το μάτι χάνεται. Γι' αυτό τους χωρίζουμε σε τριάδες ψηφίων ξεκινώντας από τα δεξιά, και κάθε τριάδα παίρνει το όνομά της: μονάδες, χιλιάδες, εκατομμύρια, δισεκατομμύρια. Διαβάζουμε την κάθε τριάδα χωριστά και προσθέτουμε το όνομα της κατηγορίας της:

$45\,703\,580 \rightarrow \text{σαράντα πέντε εκατομμύρια επτακόσιες τρεις χιλιάδες πεντακόσια ογδόντα}$

Ο δρόμος λειτουργεί και αντίστροφα: από λέξεις σε ψηφία γράφουμε κάθε κομμάτι χωριστά και τα ενώνουμε, προσέχοντας τα μηδενικά που «κρατούν τη θέση» εκεί που δεν υπάρχει ψηφίο. Το «τριάντα δύο εκατομμύρια δέκα χιλιάδες διακόσια δεκατρία» γίνεται $32\,010\,213$, και το $0$ ανάμεσα δείχνει ότι δεν υπάρχουν εκατοντάδες χιλιάδες.

Θετικοί, αρνητικοί και οι ακέραιοι αριθμοί ➕➖

Οι φυσικοί αριθμοί μας αρκούν για να μετρήσουμε αντικείμενα, αλλά σταματούν στο $0$ — και ο κόσμος δεν σταματά εκεί. Ένα θερμόμετρο πέφτει κάτω από το μηδέν, ένα ασανσέρ κατεβαίνει κάτω από το ισόγειο, μια επιχείρηση έχει ζημιά αντί για κέρδος. Για να τα περιγράψουμε, χρειαζόμαστε αριθμούς και προς τις δύο κατευθύνσεις από ένα σημείο αναφοράς.

Το σημείο αναφοράς είναι πάντα το $0$:

• Ένας θετικός αριθμός είναι κάθε αριθμός μεγαλύτερος από το $0$.
• Ένας αρνητικός αριθμός είναι κάθε αριθμός μικρότερος από το $0$.
• Το $0$ δεν είναι ούτε θετικό ούτε αρνητικό — είναι το όριο ανάμεσά τους.

Για να δηλώσουμε ποιο από τα δύο είναι ένας αριθμός, γράφουμε μπροστά του το πρόσημο $+$ ή $-$. Μαζί, οι θετικοί, οι αρνητικοί και το $0$ σχηματίζουν τους ακέραιους αριθμούς:

$\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ +1,\ +2,\ +3,\ \ldots$

Πού τους συναντάμε

Έτσι, «$322$ μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας» γράφεται $+322$ m, ενώ «$23$ βαθμοί κάτω από το μηδέν» γράφεται $-23\,°C$.

Η αριθμητική γραμμή και η σύγκριση ακέραιων 📏

Όλα όσα αφορούν τους ακέραιους γίνονται προφανή μόλις τους βάλουμε σε σειρά. Η αριθμητική γραμμή είναι μια ευθεία με το $0$ στη μέση:

$\longleftarrow \quad -5 \quad -4 \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad +1 \quad +2 \quad +3 \quad +4 \quad +5 \quad \longrightarrow$

Οι θετικοί μπαίνουν δεξιά του $0$ και οι αρνητικοί αριστερά του, σε ίσες αποστάσεις. Από αυτή τη μία εικόνα βγαίνει ο μοναδικός κανόνας σύγκρισης που χρειάζεται:

Το τελευταίο είναι εκείνο που ξενίζει περισσότερο. Το $9$ είναι μεγαλύτερο από το $5$, αλλά το $-9$ είναι μικρότερο από το $-5$. Ο λόγος είναι ότι το πρόσημο μείον δείχνει κατεύθυνση: όσο πιο μεγάλο ψηφίο βάζουμε μετά το μείον, τόσο πιο μακριά προς τα αριστερά πηγαίνουμε, δηλαδή τόσο πιο χαμηλά. Ένα κρύο $-9\,°C$ είναι όντως πιο κρύο από ένα $-5\,°C$.

Αντίθετοι αριθμοί 🔄

Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι όταν έχουν την ίδια απόσταση από το $0$ αλλά βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του. Στην πράξη, τον αντίθετο ενός αριθμού τον βρίσκουμε αλλάζοντας απλώς το πρόσημό του: ο αντίθετος του $+5$ είναι ο $-5$, ο αντίθετος του $-8$ είναι ο $+8$.

Ένας αριθμός ξεχωρίζει: το $0$ έχει απόσταση μηδέν από τον εαυτό του, οπότε είναι αντίθετο του εαυτού του.