Γιατί τα Μαθηματικά χρειάζονται κανόνες 📏🌍
Υπάρχει κάτι που ενώνει το ποδόσφαιρο, τα φανάρια στον δρόμο, το κόμμα στη γλώσσα και τα Μαθηματικά: και τα τέσσερα στηρίζονται σε συμφωνίες. Σε κανόνες που κάποιοι άνθρωποι αποφάσισαν κάποτε, ώστε όλοι να καταλαβαίνουμε το ίδιο πράγμα. Εδώ θα δούμε τι είδους κανόνας είναι η προτεραιότητα των πράξεων, γιατί χρειάστηκε να υπάρξει και τι θα γινόταν αν δεν υπήρχε. 🎯
Δύο είδη κανόνων: αυτοί που ανακαλύπτουμε και αυτοί που συμφωνούμε 🤝
Δεν είναι όλοι οι κανόνες ίδιοι. Άλλοι ισχύουν από μόνοι τους και εμείς απλώς τους ανακαλύπτουμε, και άλλοι τους φτιάχνουμε εμείς επειδή μας βολεύουν.
| Είδος κανόνα | Ποιος τον όρισε | Παράδειγμα |
|---|---|---|
| Κανόνας της φύσης | Κανένας — ισχύει από μόνος του | Το κάνει , ό,τι κι αν συμφωνήσουμε |
| Κανόνας συμφωνίας | Οι άνθρωποι, για να συνεννοούνται | Οδηγούμε στην αριστερή πλευρά του δρόμου |
Η ίδια η πρόσθεση ανήκει στο πρώτο είδος: πέντε μήλα είναι πέντε μήλα, όποια γλώσσα κι αν μιλάς. Η σειρά όμως με την οποία γράφουμε και διαβάζουμε τις πράξεις ανήκει στο δεύτερο. Κανείς δεν την ανακάλυψε στη φύση — οι μαθηματικοί τη συμφώνησαν, ακριβώς όπως συμφωνήθηκε από ποια πλευρά του δρόμου οδηγούμε.
Το σύμβολο της διαίρεσης «÷» είναι κι αυτό απλή συμφωνία. Σε πολλές χώρες της Ευρώπης γράφουν τη διαίρεση με άνω και κάτω τελεία, «», ενώ στα πανεπιστήμια χρησιμοποιούν σχεδόν αποκλειστικά τη γραμμή κλάσματος. Τρία διαφορετικά σύμβολα, μία και η ίδια πράξη!
Πώς μια σειρά αλλάζει το νόημα 📝
Το ίδιο πρόβλημα το συναντάμε και στη γλώσσα, και εκεί λύνεται με σημάδια. Δες αυτές τις δύο προτάσεις, που έχουν ακριβώς τις ίδιες λέξεις:
- «Χρειαζόμαστε χρωματιστά χαρτόνια και ψαλίδια.» → τα χαρτόνια είναι χρωματιστά.
- «Χρειαζόμαστε χρωματιστά, χαρτόνια και ψαλίδια.» → χρειαζόμαστε τρία πράγματα.
Ένα κόμμα άλλαξε το νόημα. Στα Μαθηματικά συμβαίνει το ίδιο, αλλά με αριθμούς: η γραμμή έχει τα ίδια σύμβολα για όλους, κι όμως — αν ο καθένας διάλεγε μόνος του από πού θα ξεκινήσει — θα έβγαζε άλλο αποτέλεσμα.
Δύο παιδιά που βρίσκουν διαφορετικό αποτέλεσμα στην ίδια παράσταση δεν κάνουν απαραίτητα λάθος στις πράξεις. Μπορεί και οι δύο να πολλαπλασιάζουν και να προσθέτουν σωστά! Το λάθος βρίσκεται πιο πριν: στη σειρά που διάλεξαν. Γι' αυτό δεν αρκεί να ξέρεις προπαίδεια — πρέπει να ξέρεις και από πού αρχίζεις.
Τι κερδίζουμε από τους κανόνες προτεραιότητας ✅
Μια αριθμητική παράσταση είναι σαν γραπτή οδηγία. Οι κανόνες προτεραιότητας πράξεων φροντίζουν ώστε η οδηγία αυτή να διαβάζεται με έναν και μόνο τρόπο. Από αυτό προκύπτουν τρία πολύ πρακτικά οφέλη:
- Ένα αποτέλεσμα, όχι πολλά. Όποιος κι αν υπολογίσει την παράσταση, οπουδήποτε στον κόσμο, φτάνει στον ίδιο αριθμό.
- Μπορούμε να ελέγχουμε ο ένας τον άλλον. Αν δύο απαντήσεις διαφέρουν, ξέρουμε με βεβαιότητα ότι κάποια από τις δύο είναι λάθος — και μπορούμε να βρούμε πού.
- Γράφουμε λιγότερα. Χωρίς κανόνες θα έπρεπε να βάζουμε παρενθέσεις παντού, σε κάθε πράξη, για να μη μας παρεξηγήσουν.
Οι παλιές υπολογιστικές μηχανές δεν γνώριζαν προτεραιότητα: εκτελούσαν τις πράξεις με τη σειρά που τις πληκτρολογούσες. Έτσι, στο έδιναν , γιατί πρόσθεταν πρώτα. Οι σημερινές αριθμομηχανές και οι υπολογιστές είναι προγραμματισμένοι να ακολουθούν τους κανόνες και δίνουν .
Πού πάει από εδώ το μάθημα 🧭
Η ιδέα λοιπόν είναι απλή: επειδή η σειρά αλλάζει το αποτέλεσμα, χρειαζόμαστε μια σειρά που να την ακολουθούν όλοι. Αυτή τη σειρά, με τα βήματά της ένα προς ένα, θα τη μάθουμε στη συνέχεια. Δύο πράγματα αξίζει να κρατήσεις από τώρα:
- Οι πράξεις δεν γίνονται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά, όπως διαβάζουμε ένα κείμενο.
- Οι παρενθέσεις είναι το εργαλείο με το οποίο εμείς επιβάλλουμε τη σειρά που θέλουμε, όταν η προεπιλεγμένη σειρά δεν μας κάνει.