Ειδικά Θεωρήματα στα Τρίγωνα 📐

Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις κάποια «κόλπα» της γεωμετρίας που σε βοηθούν να βρίσκεις μήκη και γωνίες σε τρίγωνα χωρίς να μετράς τίποτα. Το μυστικό πίσω από όλα είναι ένα και μοναδικό: το παραλληλόγραμμο. Θα δεις ότι κάθε απόδειξη σε αυτή την ενότητα καταλήγει, με κάποιο τρόπο, να φτιάχνει ένα παραλληλόγραμμο και να εκμεταλλεύεται τις ιδιότητές του.

Το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών (η «μεσοπαράλληλος») 📏

Πάρε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο $ΑΒΓ$. Βρες το μέσο $Μ$ της πλευράς $ΑΒ$ και το μέσο $Ν$ της πλευράς $ΑΓ$. Αν ενώσεις τα $Μ$ και $Ν$, το τμήμα $ΜΝ$ που προκύπτει —συχνά το λέμε μεσοπαράλληλο— έχει δύο πολύ χρήσιμες ιδιότητες ταυτόχρονα:

1. Είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά $ΒΓ$.
2. Το μήκος του είναι ακριβώς το μισό του μήκους της $ΒΓ$.

Δηλαδή:

Πώς το χρησιμοποιείς σε ασκήσεις: μόλις δεις σε ένα σχήμα δύο σημεία σημειωμένα ως μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου (συνήθως με ίσα «σημαδάκια» στις πλευρές), το τμήμα που τα ενώνει είναι αυτόματα το μισό της τρίτης πλευράς — δεν χρειάζεται καμία άλλη πληροφορία.

Παράδειγμα: Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$, το $Δ$ είναι μέσο της $ΑΒ$ και το $Ε$ μέσο της $ΑΓ$. Αν $ΔΕ = 77{,}5$, τότε

Αυτό είναι ακριβώς το κόλπο που χρησιμοποιείς όταν θέλεις να μετρήσεις μια απόσταση που δεν μπορείς να διασχίσεις (όπως το πλάτος μιας λίμνης): μετράς το μισό μέσα από ένα τρίγωνο και πολλαπλασιάζεις επί 2.

Το αντίστροφο: πότε μια παράλληλη περνάει από το μέσο ↔️

Η προηγούμενη ιδιότητα έχει και ένα αντίστροφο, εξίσου χρήσιμο:

Δηλαδή, αν στο τρίγωνο $ΑΒΓ$ το $Μ$ είναι μέσο της $ΑΒ$ και φέρουμε από το $Μ$ μια ευθεία παράλληλη προς τη $ΒΓ$ που τέμνει την $ΑΓ$ σε ένα σημείο $Ν$, τότε το $Ν$ είναι υποχρεωτικά το μέσο της $ΑΓ$.

Η λογική της απόδειξης εδώ είναι διαφορετική από τη συνηθισμένη — δουλεύει «με το άτοπο»: υποθέτουμε ότι το $Ν$ δεν είναι το μέσο, φανταζόμαστε το πραγματικό μέσο $Ζ$ της $ΑΓ$, και δείχνουμε ότι τότε θα υπήρχαν δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη $ΒΓ$ που περνούν από το ίδιο σημείο $Μ$ — κάτι αδύνατο, αφού από ένα σημείο περνάει μόνο μία παράλληλη σε μια ευθεία. Άρα η υπόθεσή μας ήταν λάθος, και το $Ν$ πρέπει να είναι το μέσο.

Γιατί χρειάζεσαι και τα δύο θεωρήματα: το πρώτο θεώρημα σου δίνει την πλευρά (ξέρεις ότι $Μ, Ν$ είναι μέσα → συμπεραίνεις παραλληλία και μήκος). Το αντίστροφο σου δίνει τα μέσα (ξέρεις παραλληλία και ένα μέσο → συμπεραίνεις το άλλο μέσο). Σε πολλές ασκήσεις χρειάζεται πρώτα το αντίστροφο για να αποδείξεις ότι κάποιο σημείο είναι μέσο, και μετά το πρώτο θεώρημα για να υπολογίσεις ένα μήκος.

Η διάμεσος στην ορθή γωνία ενός ορθογώνιου τριγώνου 📐

Σε κάθε τρίγωνο, η διάμεσος από μια κορυφή πηγαίνει στο μέσο της απέναντι πλευράς. Στα ορθογώνια τρίγωνα, η διάμεσος που ξεκινάει από την ορθή γωνία έχει μια ξεχωριστή ιδιότητα:

Αν το τρίγωνο $ΑΒΓ$ έχει ορθή γωνία στο $Α$ (δηλαδή $\hat{Α} = 90^\circ$) και η $ΑΜ$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα $ΒΓ$, τότε:

Αυτό στην πράξη σημαίνει κάτι ακόμα πιο δυνατό: το $Μ$ ισαπέχει και από τις τρεις κορυφές, δηλαδή $ΑΜ = ΒΜ = ΓΜ$ (αφού $ΒΜ$ και $ΓΜ$ είναι κι αυτά το μισό της $ΒΓ$, ως τμήματα της διαμέσου). Το $Μ$ είναι δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου που περνάει και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.

Παράδειγμα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο με $\hat{Α} = 90^\circ$ και $\hat{Β} = 35^\circ$, αν $ΑΜ$ είναι η διάμεσος προς τη $ΒΓ$, τότε $ΑΜ = ΒΜ$, άρα το τρίγωνο $ΑΜΒ$ είναι ισοσκελές και οι γωνίες $\hat{ΜΑΒ}$ και $\hat{ΜΒΑ}$ είναι ίσες, άρα και οι δύο $35^\circ$. Επομένως:

Το αντίστροφο: πότε η γωνία είναι σίγουρα ορθή

Η απόδειξη χρησιμοποιεί δύο ισοσκελή τρίγωνα: αφού $ΑΜ = ΒΜ$, το $ΑΒΜ$ είναι ισοσκελές, άρα $\hat{ΜΑΒ} = \hat{Β}$. Αφού $ΑΜ = ΓΜ$, το $ΑΜΓ$ είναι ισοσκελές, άρα $\hat{ΜΑΓ} = \hat{Γ}$. Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου $ΑΒΓ$ είναι $180^\circ$, δηλαδή $\hat{Β} + \hat{Α} + \hat{Γ} = 180^\circ$. Αντικαθιστώντας $\hat{Α} = \hat{ΜΑΒ} + \hat{ΜΑΓ} = \hat{Β} + \hat{Γ}$, παίρνουμε $(\hat{Β}+\hat{Γ}) + \hat{Β} + \hat{Γ} = 180^\circ$, άρα $2\hat{Α} = 180^\circ$ και τελικά $\hat{Α} = 90^\circ$.

Η ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου με γωνία 30° 📏

Αυτό είναι ίσως το πιο χρήσιμο θεώρημα της ενότητας, γιατί συνδυάζει τα δύο προηγούμενα.

Δηλαδή, σε ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $\hat{Α} = 90^\circ$:

• Αν $\hat{Β} = 30^\circ$, τότε $ΑΓ = \dfrac{ΒΓ}{2}$.
• Αντίστροφα, αν $ΑΓ = \dfrac{ΒΓ}{2}$, τότε $\hat{Β} = 30^\circ$.

Παράδειγμα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα $20\ \text{cm}$ και μία γωνία $30^\circ$, η πλευρά απέναντι από τα $30^\circ$ είναι:

Προσοχή στη φορά της αναλογίας: αν σου δίνουν την απέναντι πλευρά και ζητούν την υποτείνουσα, κάνεις το αντίστροφο, δηλαδή πολλαπλασιάζεις επί 2. Για παράδειγμα, αν μια κάθετη πλευρά απέναντι από γωνία $30^\circ$ είναι $12\ \text{cm}$, η υποτείνουσα είναι $2 \cdot 12 = 24\ \text{cm}$.

Τρεις (ή περισσότερες) παράλληλες που τέμνουν ευθείες ↔️

Το τελευταίο θεώρημα της ενότητας δεν αφορά πια ένα μόνο τρίγωνο, αλλά ένα «πλέγμα» παράλληλων ευθειών.

Φαντάσου τρεις παράλληλες γραμμές σαν τις ράγες ενός τρένου: αν μια τέμνουσα ευθεία $δ_1$ κόβει τις παράλληλες ευθείες $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ στα σημεία $Α, Β, Γ$ με $ΑΒ = ΒΓ$, τότε μια δεύτερη τέμνουσα $δ_2$ που κόβει τις ίδιες παράλληλες στα σημεία $Δ, Ε, Ζ$ θα δίνει σίγουρα $ΔΕ = ΕΖ$ — ανεξάρτητα από τη γωνία με την οποία περνάει η $δ_2$.

Πώς το χρησιμοποιείς: αν ξέρεις ότι τρεις παράλληλες ευθείες κόβουν μια τέμνουσα σε δύο ίσα κομμάτια, τότε αυτόματα ξέρεις ότι κόβουν σε δύο ίσα κομμάτια και οποιαδήποτε άλλη τέμνουσα — δεν χρειάζεται να ξαναποδείξεις τίποτα, εφαρμόζεις κατευθείαν την αναλογία. Το θεώρημα γενικεύεται και σε τμήματα που δεν είναι απαραίτητα ίσα: αν οι παράλληλες κόβουν την πρώτη τέμνουσα σε τμήματα με έναν συγκεκριμένο λόγο, θα κόβουν και τη δεύτερη τέμνουσα με τον ίδιο λόγο.

Παράδειγμα: Τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τέμνουσα σε τμήματα $ΑΒ = 3$ και $ΒΓ = 3$, και μια δεύτερη τέμνουσα σε τμήματα $ΔΕ = 3{,}2$ και $ΕΗ = x$. Επειδή ο λόγος πρέπει να διατηρείται:

Ισχύει επίσης το αντίστροφο: αν δύο τέμνουσες ευθείες κόβονται από δύο παράλληλες ευθείες σε ίσα τμήματα σε κάθε τέμνουσα αντίστοιχα, τότε η ευθεία που ενώνει τα «ελεύθερα» άκρα τους είναι παράλληλη στις δύο αρχικές παράλληλες.