Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους 🧮

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (συνήθως $x$ και $y$) είναι δύο εξισώσεις που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα. Η λύση του συστήματος είναι ένα ζευγάρι τιμών $(x, y)$ που κάνει και τις δύο εξισώσεις αληθινές μαζί — όχι μόνο τη μία.

Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι για να λύσουμε ένα τέτοιο σύστημα χωρίς σχέδιο, μόνο με πράξεις: η μέθοδος της αντικατάστασης και η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. Και οι δύο έχουν τον ίδιο στόχο: να «σβήσουν» προσωρινά τον έναν άγνωστο, ώστε να μείνει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο — κάτι που ήδη ξέρεις να λύνεις.

Τι σημαίνει «λύση συστήματος» και τι είναι ισοδύναμα συστήματα 🔗

Η λύση ενός συστήματος δύο εξισώσεων με αγνώστους $x$ και $y$ είναι ένα ζεύγος αριθμών $(x, y)$ που, όταν αντικατασταθεί και στις δύο εξισώσεις, τις κάνει και τις δύο αληθινές προτάσεις. Αν δοκιμάσεις ένα ζεύγος τιμών και ταιριάζει μόνο στη μία εξίσωση, δεν είναι λύση του συστήματος — πρέπει να ταιριάζει και στις δύο.

Όποτε αλλάζουμε τη μορφή ενός συστήματος (πολλαπλασιάζοντας μια εξίσωση με έναν αριθμό, ή προσθέτοντας δύο εξισώσεις μεταξύ τους), δημιουργούμε ένα νέο σύστημα. Αν αυτό το νέο σύστημα έχει ακριβώς την ίδια λύση με το αρχικό, τα δύο συστήματα λέγονται ισοδύναμα. Όλες οι τεχνικές που θα δεις παρακάτω —πολλαπλασιασμός εξίσωσης με αριθμό, πρόσθεση εξισώσεων κατά μέλη, αντικατάσταση μιας παράστασης— παράγουν πάντα ισοδύναμο σύστημα με το αρχικό. Γι' αυτό επιτρέπεται να τις χρησιμοποιούμε: η λύση δεν αλλάζει ποτέ στην πορεία, μόνο η μορφή του συστήματος γίνεται πιο απλή.

Η μέθοδος της αντικατάστασης 🔁

Η ιδέα είναι απλή: αν από τη μία εξίσωση μπορείς να λύσεις εύκολα για τον έναν άγνωστο (να τον απομονώσεις), τότε αντί για αυτόν τον άγνωστο μπορείς να βάλεις παντού την ισοδύναμη παράστασή του. Έτσι η δεύτερη εξίσωση μένει με έναν μόνο άγνωστο.

Βήματα:

1. Από τη μία εξίσωση (όποια είναι πιο εύκολο), λύνουμε ως προς τον έναν άγνωστο — τον απομονώνουμε σε ένα μέλος.
2. Αντικαθιστούμε αυτή την παράσταση στη θέση του ίδιου αγνώστου μέσα στην άλλη εξίσωση.
3. Προκύπτει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο· τη λύνουμε κανονικά.
4. Την τιμή που βρήκαμε την αντικαθιστούμε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις (συνήθως στην πιο απλή) για να βρούμε και τον δεύτερο άγνωστο.
5. Γράφουμε τη λύση ως ζεύγος $(x, y)$.

Παράδειγμα: Έστω το σύστημα

Η εξίσωση (1) δίνει ήδη το $x$ απομονωμένο. Αντικαθιστούμε $x = 7 - y$ στην (2):

Τώρα βάζουμε $y = 3$ στην (1): $x = 7 - 3 = 4$. Άρα η λύση είναι $(x, y) = (4, 3)$.

Η μέθοδος αυτή είναι πιο βολική όταν μία από τις δύο εξισώσεις έχει ήδη έναν άγνωστο μόνο του σε ένα μέλος (π.χ. $y = 2x + 1$) ή έναν άγνωστο με συντελεστή $1$, που απομονώνεται εύκολα.

Η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (απαλοιφή) ➕➖

Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι όταν το άθροισμά τους είναι μηδέν, όπως το $5$ και το $-5$. Στη μέθοδο αυτή, ο στόχος είναι να κάνουμε τους συντελεστές (τους αριθμούς μπροστά) ενός αγνώστου αντίθετους στις δύο εξισώσεις. Όταν το πετύχουμε αυτό και προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις, ο άγνωστος αυτός εξαφανίζεται μόνος του — γι' αυτό η μέθοδος λέγεται και μέθοδος απαλοιφής.

Βήματα:

1. Έλεγξε αν υπάρχουν ήδη αντίθετοι συντελεστές σε κάποιον από τους δύο αγνώστους. Αν όχι, πολλαπλασίασε τη μία ή και τις δύο εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε να προκύψουν αντίθετοι συντελεστές σε έναν άγνωστο.
2. Πρόσθεσε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη (μέλος με μέλος). Ο άγνωστος με τους αντίθετους συντελεστές απαλείφεται.
3. Λύσε τη νέα εξίσωση που προκύπτει — έχει πια έναν μόνο άγνωστο.
4. Αντικατέστησε την τιμή που βρήκες σε μία από τις αρχικές εξισώσεις.
5. Λύσε για τον δεύτερο άγνωστο.
6. Η λύση είναι το ζεύγος $(x, y)$.

Παράδειγμα με ήδη έτοιμους αντίθετους συντελεστές:

Οι όροι $-y$ και $+y$ είναι ήδη αντίθετοι. Προσθέτουμε κατά μέλη:

Αντικαθιστούμε $x = 2$ στην (1): $2 - y = 9 \Rightarrow y = -7$. Λύση: $(x, y) = (2, -7)$.

Παράδειγμα όπου χρειάζεται πολλαπλασιασμός πρώτα:

Κανένας άγνωστος δεν έχει αντίθετους συντελεστές. Επιλέγουμε να απαλείψουμε το $y$: πολλαπλασιάζουμε την (1) με $1$ και την (2) με $-2$, ώστε ο συντελεστής του $y$ να γίνει $-4$ (αντίθετος του $+4$):

Προσθέτουμε κατά μέλη: $-9x = -36 \Rightarrow x = 4$. Αντικαθιστούμε στην (1): $4 + 4y = -8 \Rightarrow 4y = -12 \Rightarrow y = -3$. Λύση: $(x, y) = (4, -3)$.

Πότε ένα σύστημα δεν έχει λύση ή έχει άπειρες λύσεις 🚫♾️

Μερικές φορές, όταν λύνεις ένα σύστημα, ο άγνωστος εξαφανίζεται εντελώς και από τα δύο μέλη της εξίσωσης — όχι μόνο ένας άγνωστος, αλλά και οι δύο μαζί. Τότε μένει μια πρόταση μόνο με αριθμούς, και αυτή η πρόταση σού λέει τι συμβαίνει:

• Αν προκύψει κάτι ψευδές (π.χ. $0 = 34$, δηλαδή μια πρόταση που δεν ισχύει ποτέ), τότε το σύστημα είναι αδύνατο — δεν υπάρχει κανένα ζεύγος $(x, y)$ που να λύνει και τις δύο εξισώσεις μαζί.
• Αν προκύψει κάτι αληθές (μια ταυτότητα, π.χ. $0 = 0$ ή $48 = 48$), τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις — οι δύο εξισώσεις περιγράφουν στην ουσία την ίδια ευθεία, οπότε κάθε σημείο της τη λύνει.

Παράδειγμα αδύνατου συστήματος:

Πολλαπλασιάζουμε την (2) με $2$: $-8x - 2y = 18$. Προσθέτουμε με την (1):

Καμία τιμή των $x, y$ δεν κάνει $0 = 34$. Άρα το σύστημα είναι αδύνατο — δεν έχει λύση.

Παράδειγμα συστήματος με άπειρες λύσεις:

Αντικαθιστούμε την (2) στην (1): $8\left(\frac{1}{4}x + 6\right) = 2x + 48 \Rightarrow 2x + 48 = 2x + 48 \Rightarrow 0 = 0$. Αυτό ισχύει για κάθε $x$. Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις: κάθε $x$ με το αντίστοιχο $y = \frac{1}{4}x + 6$ είναι λύση.

Πώς αποφασίζεις ποια μέθοδο να χρησιμοποιήσεις 🎯

Και οι δύο μέθοδοι δίνουν πάντα το ίδιο σωστό αποτέλεσμα — η επιλογή είναι θέμα ευκολίας, όχι σωστού/λάθους.

• Χρησιμοποίησε αντικατάσταση όταν μία εξίσωση έχει ήδη έναν άγνωστο μόνο του σε ένα μέλος (π.χ. $y = 2x + 1$) ή έναν άγνωστο με συντελεστή $1$ που απομονώνεται με μία μόνο κίνηση.
• Χρησιμοποίησε αντίθετους συντελεστές όταν οι συντελεστές ενός αγνώστου είναι ήδη ίσοι και αντίθετοι, ή γίνονται εύκολα έτσι με πολλαπλασιασμό μικρών αριθμών.

Παράδειγμα: στο σύστημα $y = 2x + 1$ και $3x + 2y = 12$, συμφέρει η αντικατάσταση, γιατί το $y$ είναι ήδη λυμένο. Στο σύστημα $2x + 3y = 7$ και $5x - 3y = 8$, συμφέρει η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών, γιατί οι συντελεστές του $y$ είναι ήδη $3$ και $-3$, δηλαδή αντίθετοι.

Συστήματα με παρενθέσεις και κλάσματα 🧩

Μερικές φορές οι εξισώσεις ενός συστήματος δεν είναι σε «καθαρή» μορφή — έχουν παρενθέσεις ή κλάσματα. Πριν εφαρμόσεις οποιαδήποτε από τις δύο μεθόδους, πρέπει πρώτα να απλοποιήσεις κάθε εξίσωση χωριστά, ώστε να πάρει τη μορφή $αx + βy = γ$.

Βήματα απλοποίησης:

1. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνε τις πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) για να τις αφαιρέσεις.
2. Αν υπάρχουν κλάσματα, πολλαπλασίασε όλη την εξίσωση με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, ώστε να εξαφανιστούν τα κλάσματα.
3. Μετέφερε όλους τους όρους με αγνώστους στο ένα μέλος και τους σταθερούς αριθμούς στο άλλο.
4. Μόνο αφού και οι δύο εξισώσεις έχουν πάρει την απλή μορφή $αx + βy = γ$, προχώρα με αντικατάσταση ή αντίθετους συντελεστές όπως πριν.

Παράδειγμα με κλάσματα:

Πολλαπλασιάζουμε όλη την εξίσωση με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών $6$ και $2$, που είναι το $6$:

Τώρα η εξίσωση είναι στην απλή μορφή και μπορούμε να συνεχίσουμε κανονικά.

Πώς μετατρέπεις ένα πρόβλημα σε σύστημα εξισώσεων 📝

Πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής (τιμές προϊόντων, ηλικίες, γωνίες, αποστάσεις) περιγράφονται με λόγια, αλλά κρύβουν ένα γραμμικό σύστημα. Η δουλειά σου είναι να μεταφράσεις τις προτάσεις σε εξισώσεις.

Βήματα:

1. Όρισε τους αγνώστους: διάλεξε τι θα συμβολίζει το $x$ και τι το $y$ — γράψε το καθαρά (π.χ. «$x$: η τιμή μιας μπάλας καλαθόσφαιρας σε ευρώ»).
2. Μετέφρασε κάθε πρόταση του προβλήματος σε μία εξίσωση. Ψάξε λέξεις-κλειδιά: «συνολικά» και «μαζί» δείχνουν άθροισμα, «κατά ... περισσότερο/λιγότερο» δείχνει πρόσθεση ή αφαίρεση ενός αριθμού, «διπλάσιο» δείχνει πολλαπλασιασμό επί $2$.
3. Σχημάτισε το σύστημα από τις δύο εξισώσεις που προέκυψαν.
4. Λύσε το σύστημα με όποια από τις δύο μεθόδους ταιριάζει καλύτερα.
5. Απάντησε στο αρχικό ερώτημα — πρόσεξε αν σου ζητούν το $x$, το $y$, ή κάτι που υπολογίζεται από αυτά (π.χ. το άθροισμά τους).

Παράδειγμα: Ένα τουριστικό θέρετρο ενοικιάζει διαμερίσματα δύο και τριών υπνοδωματίων για €700 και €900 μηνιαίως αντίστοιχα. Έμειναν 6 δωμάτια ξενοίκιαστα και οι εισπράξεις ήταν €4600 λιγότερες απ' όταν όλα ήταν ενοικιασμένα.

Θέτουμε $x$: πλήθος αξενοίκιαστων διαμερισμάτων των δύο υπνοδωματίων, $y$: πλήθος αξενοίκιαστων διαμερισμάτων των τριών υπνοδωματίων. Τότε:

Από την πρώτη: $y = 6 - x$. Αντικαθιστούμε στη δεύτερη: $700x + 900(6 - x) = 4600 \Rightarrow 700x + 5400 - 900x = 4600 \Rightarrow -200x = -800 \Rightarrow x = 4$. Άρα $y = 6 - 4 = 2$: έμειναν αξενοίκιαστα $4$ διαμερίσματα των δύο υπνοδωματίων και $2$ των τριών.