Απόσταση Δύο Σημείων και Μέσο Ευθύγραμμου Τμήματος 📏

Όταν βλέπουμε δύο σημεία πάνω σε ένα καρτεσιανό επίπεδο, μπορούμε να απαντήσουμε σε δύο πολύ βασικές ερωτήσεις χωρίς να χρειάζεται καν να τα σχεδιάσουμε: πόσο απέχουν μεταξύ τους, και ποιο είναι το σημείο που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της απόστασής τους. Και οι δύο απαντήσεις προκύπτουν από απλούς τύπους που δουλεύουν μόνο με τις συντεταγμένες των σημείων.

Πώς περιγράφουμε ένα σημείο με συντεταγμένες 🧭

Κάθε σημείο στο επίπεδο περιγράφεται από δύο αριθμούς: την τετμημένη του (την τιμή $x$) και την τεταγμένη του (την τιμή $y$). Γράφουμε ένα σημείο $A$ με τετμημένη $x_1$ και τεταγμένη $y_1$ ως $A(x_1, y_1)$. Αντίστοιχα, ένα δεύτερο σημείο $B$ με τετμημένη $x_2$ και τεταγμένη $y_2$ γράφεται $B(x_2, y_2)$.

Ο δείκτης 1 και ο δείκτης 2 δεν έχουν κάποια ειδική σημασία — απλώς μας βοηθούν να ξεχωρίζουμε ποιες συντεταγμένες ανήκουν στο πρώτο σημείο και ποιες στο δεύτερο, ώστε να μην τις μπερδεύουμε μέσα στους τύπους.

Η απόσταση δύο σημείων — από πού προκύπτει ο τύπος 🗺️

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ και θέλουμε να βρούμε πόσο απέχουν, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $AB$, το οποίο συμβολίζουμε $(AB)$.

Η ιδέα είναι η εξής: φαντάσου ότι φτιάχνεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο ανάμεσα στα δύο σημεία. Η μία κάθετη πλευρά έχει μήκος ίσο με την οριζόντια απόσταση των δύο σημείων, δηλαδή τη διαφορά των τετμημένων τους: $x_2 - x_1$. Η άλλη κάθετη πλευρά έχει μήκος ίσο με την κατακόρυφη απόσταση, δηλαδή τη διαφορά των τεταγμένων: $y_2 - y_1$. Το τμήμα $AB$ είναι τότε η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα ξέρουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Άρα:

Παίρνοντας τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καταλήγουμε στον τύπο της απόστασης:

Αυτός ο τύπος λειτουργεί πάντα, ανεξάρτητα από το πού βρίσκονται τα σημεία στο επίπεδο — ακόμα κι αν έχουν αρνητικές συντεταγμένες. Το τετράγωνο μιας διαφοράς βγαίνει πάντα θετικό ή μηδέν, οπότε δεν χρειάζεται να ανησυχούμε για το πρόσημο της αφαίρεσης μέσα στην παρένθεση.

Βήμα προς βήμα: πώς υπολογίζουμε μια απόσταση 🔢

1. Εντοπίζουμε τις συντεταγμένες $x_1, y_1$ του πρώτου σημείου και $x_2, y_2$ του δεύτερου.
2. Υπολογίζουμε τη διαφορά των τετμημένων $x_2 - x_1$ και τη διαφορά των τεταγμένων $y_2 - y_1$.
3. Υψώνουμε κάθε διαφορά στο τετράγωνο (το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό ή μηδέν).
4. Προσθέτουμε τα δύο τετράγωνα.
5. Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος — αυτή είναι η απόσταση.

Παράδειγμα: Βρίσκουμε την απόσταση των σημείων $A(3, -4)$ και $B(0, 0)$ (δηλαδή της αρχής των αξόνων $O$).

Το αποτέλεσμα δεν βγαίνει πάντα ακέραιος αριθμός. Αν, ας πούμε, είχαμε τα σημεία $A(-1, 1)$ και $B(3, -4)$:

Το $\sqrt{41}$ δεν απλοποιείται σε ακέραιο, οπότε το αφήνουμε έτσι (ή το στρογγυλοποιούμε, π.χ. $\sqrt{41} \approx 6,4$) — δεν είναι λάθος όταν η απόσταση δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Οι δύο ειδικές περιπτώσεις: οριζόντιο και κατακόρυφο τμήμα ➡️

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις όπου ο τύπος της απόστασης απλοποιείται πολύ, επειδή το ένα από τα δύο τετράγωνα μηδενίζεται.

Ίδια τετμημένη ($x_1 = x_2$). Αν δύο σημεία έχουν την ίδια τετμημένη, τότε βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη γραμμή — το τμήμα που τα ενώνει είναι παράλληλο στον άξονα $y$ (τον άξονα των τεταγμένων). Μέσα στον τύπο, η διαφορά $x_2 - x_1$ γίνεται 0, άρα:

Χρησιμοποιούμε απόλυτη τιμή επειδή η τετραγωνική ρίζα ενός τετραγώνου δίνει πάντα τη θετική τιμή — και η απόσταση δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητική.

Ίδια τεταγμένη ($y_1 = y_2$). Συμμετρικά, αν δύο σημεία έχουν την ίδια τεταγμένη, βρίσκονται στην ίδια οριζόντια γραμμή — παράλληλη στον άξονα $x$ (τον άξονα των τετμημένων). Τότε:

Παράδειγμα: Τα σημεία $A(4, -2)$ και $B(-2, -2)$ έχουν την ίδια τεταγμένη ($-2$), άρα το τμήμα τους είναι οριζόντιο και:

Το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος — η διαίσθηση πίσω από τον τύπο 🎯

Το μέσο ενός τμήματος $AB$ είναι το σημείο $M$ που βρίσκεται ακριβώς ανάμεσα στα $A$ και $B$, σε ίση απόσταση και από τα δύο.

Η ιδέα είναι απλή: αν θέλεις να βρεις τον αριθμό που είναι ακριβώς στη μέση ανάμεσα σε δύο αριθμούς σε μια ευθεία, υπολογίζεις τον μέσο όρο τους — τους προσθέτεις και διαιρείς με το 2. Ακριβώς το ίδιο κάνουμε ξεχωριστά για τις τετμημένες και ξεχωριστά για τις τεταγμένες των δύο σημείων, αφού οι δύο διαστάσεις (οριζόντια και κατακόρυφη) είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Αν $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ είναι τα άκρα ενός τμήματος και $M(x_M, y_M)$ είναι το μέσο του, τότε:

Δηλαδή η τετμημένη του μέσου είναι ο μέσος όρος των δύο τετμημένων, και η τεταγμένη του μέσου είναι ο μέσος όρος των δύο τεταγμένων.

Βήμα προς βήμα: πώς βρίσκουμε το μέσο 🔢

1. Εντοπίζουμε τις συντεταγμένες των δύο άκρων.
2. Προσθέτουμε τις δύο τετμημένες και διαιρούμε με το 2 — αυτό δίνει το $x_M$.
3. Προσθέτουμε τις δύο τεταγμένες και διαιρούμε με το 2 — αυτό δίνει το $y_M$.

Παράδειγμα: Βρίσκουμε το μέσο $M$ του τμήματος με άκρα $A(2, 5)$ και $B(-2, 3)$.

Άρα το μέσο είναι το σημείο $M(0, 4)$.

Όταν ζητείται το άλλο άκρο ή το άγνωστο σημείο 🔍

Πολλές ασκήσεις δεν ζητούν απευθείας το μέσο, αλλά αντιστρέφουν το πρόβλημα: δίνουν το ένα άκρο και το μέσο, και ζητούν το άλλο άκρο. Επειδή ο τύπος του μέσου είναι μια εξίσωση, μπορούμε να τη λύσουμε ως προς το άγνωστο.

Μέθοδος:

1. Γράφουμε τον τύπο του μέσου, βάζοντας ως $x_1, y_1$ το γνωστό άκρο και ως $x_2, y_2$ το άγνωστο άκρο.
2. Αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές (του γνωστού άκρου και του μέσου).
3. Λύνουμε την εξίσωση πρώτα ως προς $x_2$, μετά ξεχωριστά ως προς $y_2$.

Παράδειγμα: Το σημείο $M(3, 1)$ είναι το μέσο ενός τμήματος με το ένα άκρο $\Gamma(2, 6)$. Θέλουμε τις συντεταγμένες του άλλου άκρου $\Delta(x_2, y_2)$.

Από τον τύπο $x_M = \dfrac{x_1+x_2}{2}$:

Από τον τύπο $y_M = \dfrac{y_1+y_2}{2}$:

Άρα $\Delta(4, -4)$.

Με παρόμοιο τρόπο αντιστρέφεται και ο τύπος της απόστασης: αν γνωρίζουμε την απόσταση δύο σημείων και μία από τις συντεταγμένες είναι άγνωστη (π.χ. $\beta$), αντικαθιστούμε στον τύπο, υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο για να "φύγει" η ρίζα, και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.

Παράδειγμα: Η απόσταση των σημείων $(3, 2)$ και $(\beta, -1)$ είναι 5 μονάδες. Βρίσκουμε το $\beta$.

Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη:

Εφαρμογές σε σχήματα: τρίγωνα, τετράπλευρα και κύκλοι 📐

Οι δύο αυτοί τύποι είναι τα βασικά "εργαλεία" για να μελετάμε σχήματα μέσα στο καρτεσιανό επίπεδο, χωρίς να χρειάζεται να τα σχεδιάσουμε με ακρίβεια.

Είδος τριγώνου από τις πλευρές του. Υπολογίζοντας την απόσταση κάθε ζευγαριού κορυφών, βρίσκουμε το μήκος κάθε πλευράς. Αν δύο πλευρές βγουν ίσες, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Αν το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ισούται με το τετράγωνο της τρίτης, τότε — σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος — το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Απόδειξη ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος. Υπολογίζοντας τις τέσσερις πλευρές ενός τετραπλεύρου με τον τύπο της απόστασης, αν βγουν όλες ίσες μεταξύ τους, τότε το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

Περίμετρος. Η περίμετρος ενός πολυγώνου είναι απλώς το άθροισμα των μηκών των πλευρών του — άρα υπολογίζουμε κάθε πλευρά ξεχωριστά με τον τύπο της απόστασης και τις προσθέτουμε.

Διάμεσος τριγώνου. Η διάμεσος από μια κορυφή ενώνει την κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Για να βρούμε το μήκος της: πρώτα υπολογίζουμε το μέσο της απέναντι πλευράς (με τον τύπο του μέσου), και μετά την απόσταση της κορυφής από αυτό το μέσο (με τον τύπο της απόστασης) — δηλαδή συνδυάζουμε και τους δύο τύπους σε δύο βήματα.

Κέντρο κύκλου από δύο σημεία της περιφέρειας που είναι αντιδιαμετρικά. Αν δύο σημεία μιας περιφέρειας κύκλου είναι τα άκρα μιας διαμέτρου, τότε το κέντρο του κύκλου είναι απλώς το μέσο αυτού του τμήματος. Αφού βρούμε το κέντρο, η ακτίνα προκύπτει ως η απόσταση του κέντρου από οποιοδήποτε από τα δύο σημεία, και από εκεί υπολογίζουμε μήκος περιφέρειας ($2\pi r$) ή εμβαδόν.

Εμβαδόν τετραγώνου από δύο διαδοχικές κορυφές. Αν γνωρίζουμε δύο διαδοχικές κορυφές ενός τετραγώνου, η απόστασή τους είναι το μήκος της πλευράς $\alpha$. Το εμβαδόν προκύπτει από τον τύπο $E = \alpha^2$, αφού πρώτα υψώσουμε το $\alpha$ (που μπορεί να είναι μια ρίζα, π.χ. $\alpha = \sqrt{45}$) στο τετράγωνο.