Πείραμα Τύχης και Αρχή της Απαρίθμησης 🎲

Τι είναι ένα πείραμα τύχης;

Σκέψου ότι ρίχνεις ένα ζάρι. Πριν το ρίξεις, δεν ξέρεις ποιος αριθμός θα έρθει. Μπορεί να έρθει 1, μπορεί να έρθει 6, μπορεί οτιδήποτε ανάμεσα. Όμως υπάρχει κάτι που ξέρεις σίγουρα: ξέρεις όλες τις πιθανές ενδείξεις που μπορούν να έρθουν, δηλαδή 1, 2, 3, 4, 5, 6. Απλώς δεν ξέρεις ποια από αυτές θα συμβεί συγκεκριμένα αυτή τη φορά.

Αυτό ακριβώς λέγεται πείραμα τύχης: μια διαδικασία όπου

δεν ξέρουμε εκ των προτέρων ποιο ακριβώς αποτέλεσμα θα προκύψει,
αλλά ξέρουμε όλα τα αποτελέσματα που θα μπορούσαν να προκύψουν.

Παραδείγματα πειραμάτων τύχης είναι η ρίψη ενός νομίσματος (μπορεί να έρθει κορώνα ή γράμματα), η ρίψη ενός ζαριού, η επιλογή μιας κάρτας από μια τράπουλα, ή ακόμα και το φύλο ενός μωρού που πρόκειται να γεννηθεί (αγόρι ή κορίτσι). Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, δεν μπορούμε να πούμε με σιγουριά τι θα συμβεί, αλλά μπορούμε να απαριθμήσουμε όλα όσα θα μπορούσαν να συμβούν.

Δεν είναι κάθε αβέβαιη κατάσταση πείραμα τύχης

Για να λέμε κάτι πείραμα τύχης, πρέπει να μπορούμε να καταγράψουμε με σαφήνεια όλα τα δυνατά αποτελέσματα από πριν. Το αν θα βρέξει αύριο δεν είναι πείραμα τύχης με την έννοια που μελετάμε εδώ, γιατί δεν μπορούμε να απαριθμήσουμε με σιγουριά «όλα τα δυνατά σενάρια» όπως κάνουμε με ένα ζάρι ή ένα νόμισμα.

Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων

Το σύνολο που περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ονομάζεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα Ω (όμικρον).

Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός νομίσματος, αν συμβολίσουμε την κορώνα με Κ και τα γράμματα με Γ, ο δειγματικός χώρος είναι:

\Omega = \{Κ, Γ\}

Στη ρίψη ενός ζαριού, ο δειγματικός χώρος είναι:

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Ο αριθμός των στοιχείων του δειγματικού χώρου, δηλαδή πόσα δυνατά αποτελέσματα υπάρχουν συνολικά, συμβολίζεται με $ν(\Omega)$ (διαβάζεται «νι του Ωμέγα»). Στη ρίψη νομίσματος $ν(\Omega) = 2$ , ενώ στη ρίψη ζαριού $ν(\Omega) = 6$ .

Πειράματα με περισσότερες φάσεις

Πολλές φορές ένα πείραμα τύχης δεν γίνεται με ένα μόνο «βήμα», αλλά αποτελείται από δύο ή περισσότερα διαδοχικά βήματα, που τα λέμε φάσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εύρεση όλων των δυνατών αποτελεσμάτων γίνεται λίγο πιο σύνθετη, γιατί πρέπει να σκεφτούμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς ανάμεσα στις φάσεις.

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι μια οικογένεια που θα αποκτήσει δύο παιδιά. Η γέννηση κάθε παιδιού είναι μία φάση: πρώτα γεννιέται το πρώτο παιδί, μετά το δεύτερο. Κάθε φάση έχει δύο δυνατά αποτελέσματα: αγόρι (Α) ή κορίτσι (Κ). Το ερώτημα είναι: πόσοι και ποιοι είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί για τα δύο παιδιά μαζί;

Για να απαντήσουμε σε τέτοια ερωτήματα με τάξη, χωρίς να ξεχάσουμε ή να μετρήσουμε διπλά κάποιον συνδυασμό, χρησιμοποιούμε δύο εργαλεία: το δενδροδιάγραμμα και την αρχή της απαρίθμησης.

Το δενδροδιάγραμμα 🌳

Το δενδροδιάγραμμα είναι ένα σχήμα που μοιάζει με κλαδιά δέντρου: ξεκινάει από ένα σημείο και ανοίγει σε διακλαδώσεις, μία για κάθε δυνατό αποτέλεσμα της πρώτης φάσης. Από κάθε μία από αυτές τις διακλαδώσεις ανοίγουν με τη σειρά τους νέες διακλαδώσεις, μία για κάθε δυνατό αποτέλεσμα της δεύτερης φάσης, και ούτω καθεξής.

Ο λόγος που το δενδροδιάγραμμα είναι τόσο χρήσιμο είναι ότι μας αναγκάζει να ακολουθήσουμε μια συστηματική σειρά: για κάθε δυνατότητα της πρώτης φάσης εξετάζουμε όλες τις δυνατότητες της δεύτερης φάσης, χωρίς να παραλείψουμε καμία και χωρίς να επαναλάβουμε καμία.

Ας δούμε το παράδειγμα των δύο παιδιών. Η πρώτη φάση είναι η γέννηση του 1ου παιδιού, η δεύτερη η γέννηση του 2ου παιδιού. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις διακλαδώσεις:

1η Γέννηση	2η Γέννηση	Δυνατό αποτέλεσμα
Α	Α	ΑΑ
Α	Κ	ΑΚ
Κ	Α	ΚΑ
Κ	Κ	ΚΚ

Διάβασε τον πίνακα ως εξής: από το Α της πρώτης γέννησης ξεκινούν δύο διακλαδώσεις (προς Α και προς Κ της δεύτερης γέννησης), και το ίδιο ξεκινούν δύο ακόμα διακλαδώσεις από το Κ της πρώτης γέννησης. Κάθε γραμμή του πίνακα αντιστοιχεί σε μία «διαδρομή» μέσα στο δέντρο, από την αρχή ως το τέλος, και κάθε τέτοια διαδρομή είναι ένα διαφορετικό δυνατό αποτέλεσμα.

Έτσι, ο δειγματικός χώρος αυτού του πειράματος είναι:

\Omega = \{ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ, ΚΚ\}

δηλαδή $ν(\Omega) = 4$ .

Η σειρά μετράει

Πρόσεξε ότι το ΑΚ (πρώτο παιδί αγόρι, δεύτερο κορίτσι) και το ΚΑ (πρώτο παιδί κορίτσι, δεύτερο αγόρι) είναι δύο διαφορετικά αποτελέσματα, όχι το ίδιο! Ένα λάθος που κάνουν συχνά οι μαθητές είναι να τα θεωρούν ίδια επειδή «και στα δύο υπάρχει ένα αγόρι κι ένα κορίτσι». Όμως στο δενδροδιάγραμμα η σειρά με την οποία συμβαίνουν τα πράγματα έχει σημασία, γιατί περιγράφουμε ποιο παιδί γεννήθηκε πρώτο.

Δενδροδιάγραμμα με τρεις φάσεις

Το δενδροδιάγραμμα λειτουργεί το ίδιο και όταν υπάρχουν περισσότερες από δύο φάσεις — απλώς προσθέτουμε ακόμα μία «στήλη» διακλαδώσεων. Για παράδειγμα, αν ρίχναμε ένα νόμισμα τρεις φορές, η πρώτη φάση (1η ρίψη) θα είχε δύο διακλαδώσεις (Κ ή Γ), από κάθε μία θα ξεκινούσαν δύο ακόμα για τη 2η ρίψη, και από κάθε μία από αυτές δύο ακόμα για την 3η ρίψη. Το δέντρο απλώς γίνεται πιο «φουντωτό» όσο προσθέτουμε φάσεις, αλλά η λογική παραμένει ίδια: σε κάθε νέα φάση, κάθε υπάρχουσα διακλάδωση «ανοίγει» ξανά σε τόσες νέες διακλαδώσεις όσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα της νέας φάσης.

Η αρχή της απαρίθμησης 🧮

Το δενδροδιάγραμμα είναι πολύ χρήσιμο για να δούμε και να καταγράψουμε όλα τα αποτελέσματα ένα-ένα. Όμως όταν τα δυνατά αποτελέσματα είναι πολλά (φαντάσου τρία ζάρια μαζί, ή τέσσερις ρίψεις νομίσματος), το να τα γράφουμε όλα γίνεται αργό και εύκολο να κάνουμε λάθος. Χρειαζόμαστε έναν γρήγορο τρόπο να βρίσκουμε πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα, χωρίς να τα γράφουμε όλα.

Αυτό μας το δίνει η αρχή της απαρίθμησης:

Η αρχή της απαρίθμησης με λόγια

Αν ένα πείραμα τύχης αποτελείται από διαδοχικές φάσεις, όπου η 1η φάση μπορεί να πραγματοποιηθεί με $κ$ τρόπους, η 2η φάση με $λ$ τρόπους, η 3η φάση με $μ$ τρόπους, και ούτω καθεξής, τότε το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος είναι το γινόμενο αυτών των αριθμών:

ν(\Omega) = κ \cdot λ \cdot μ \cdot \ldots

Γιατί λειτουργεί αυτό; Σκέψου το δενδροδιάγραμμα: από κάθε μία από τις $κ$ διακλαδώσεις της πρώτης φάσης, ξεκινούν $λ$ καινούριες διακλαδώσεις για τη δεύτερη φάση. Άρα οι διαδρομές μέχρι το τέλος της δεύτερης φάσης είναι $κ \cdot λ$ , γιατί κάθε μία από τις $κ$ αρχικές «πολλαπλασιάζεται» με τις $λ$ επιλογές που ακολουθούν. Αν υπάρχει και τρίτη φάση με $μ$ τρόπους, κάθε μία από τις $κ \cdot λ$ διαδρομές που ήδη έχουμε ανοίγει ξανά σε $μ$ νέες διακλαδώσεις, οπότε το σύνολο γίνεται $κ \cdot λ \cdot μ$ . Το δενδροδιάγραμμα και η αρχή της απαρίθμησης δεν είναι δύο ξεχωριστές μέθοδοι — είναι η ίδια ιδέα, απλώς η αρχή της απαρίθμησης μας δίνει κατευθείαν το πλήθος, χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσουμε το δέντρο.

Εφαρμογή στο παράδειγμα των δύο παιδιών

Ας ξαναδούμε το παράδειγμα με τα δύο παιδιά, αυτή τη φορά χρησιμοποιώντας την αρχή της απαρίθμησης αντί για το δενδροδιάγραμμα:

Το 1ο παιδί μπορεί να είναι αγόρι ή κορίτσι: 2 τρόποι.
Το 2ο παιδί μπορεί επίσης να είναι αγόρι ή κορίτσι: 2 τρόποι.

Σύμφωνα με την αρχή της απαρίθμησης, ο συνολικός αριθμός των δυνατών αποτελεσμάτων είναι:

ν(\Omega) = 2 \cdot 2 = 4

Το αποτέλεσμα, $ν(\Omega) = 4$ , είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που βρήκαμε πριν μετρώντας τις γραμμές του δενδροδιαγράμματος (ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ, ΚΚ). Αυτό επιβεβαιώνει ότι οι δύο μέθοδοι συμφωνούν πάντα — απλώς η αρχή της απαρίθμησης είναι πιο γρήγορη όταν δεν μας ενδιαφέρει να δούμε ποια είναι τα αποτελέσματα, παρά μόνο πόσα είναι.

Ένα παράδειγμα με τρεις φάσεις

Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου η αρχή της απαρίθμησης δείχνει καθαρά το πλεονέκτημά της. Φαντάσου ότι σε ένα κουτί υπάρχουν 3 ζάρια διαφορετικού χρώματος (κόκκινο, μαύρο, άσπρο). Επιλέγουμε τυχαία ένα ζάρι από το κουτί και το ρίχνουμε, καταγράφοντας το χρώμα του ζαριού και την ένδειξη που έφερε.

Εδώ το πείραμα έχει δύο φάσεις:

Ποιο ζάρι επιλέγεται: 3 δυνατότητες (κόκκινο, μαύρο, άσπρο).
Ποια ένδειξη φέρνει το ζάρι που ρίχτηκε: 6 δυνατότητες (1 έως 6).

Σύμφωνα με την αρχή της απαρίθμησης:

ν(\Omega) = 3 \cdot 6 = 18

Δηλαδή υπάρχουν 18 διαφορετικά δυνατά αποτελέσματα συνολικά (π.χ. «κόκκινο και 1», «κόκκινο και 2», …, «άσπρο και 6»). Θα ήταν πολύ πιο αργό να τα γράψουμε όλα ένα-ένα σε δενδροδιάγραμμα, ενώ με την αρχή της απαρίθμησης το βρίσκουμε αμέσως με έναν πολλαπλασιασμό.

Πρόσεξε τι πολλαπλασιάζεις

Ένα συχνό λάθος είναι να προσθέτουμε αντί να πολλαπλασιάζουμε τους τρόπους κάθε φάσης (π.χ. να πούμε 3 + 6 = 9 αντί για 3 · 6 = 18). Θυμήσου: κάθε επιλογή της μιας φάσης συνδυάζεται με όλες τις επιλογές της άλλης φάσης, γι' αυτό χρειαζόμαστε πολλαπλασιασμό και όχι πρόσθεση.

Ένα ακόμη παράδειγμα: ρίψη νομίσματος και ζαριού

Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι. Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα;

Το νόμισμα έχει 2 δυνατά αποτελέσματα (Κ ή Γ).
Το ζάρι έχει 6 δυνατά αποτελέσματα (1 έως 6).

Άρα:

ν(\Omega) = 2 \cdot 6 = 12

Δηλαδή υπάρχουν 12 δυνατοί συνδυασμοί συνολικά, όπως «κορώνα και 1», «κορώνα και 2», …, «γράμματα και 6».

Πόσα ζάρια, πόσες φάσεις: πώς αναγνωρίζω τις φάσεις ενός πειράματος

Το πιο σημαντικό βήμα για να εφαρμόσεις σωστά την αρχή της απαρίθμησης είναι να αναγνωρίσεις σωστά ποιες είναι οι φάσεις του πειράματος και πόσους τρόπους έχει η καθεμία. Μια χρήσιμη ερώτηση για να το πετύχεις είναι: «Ποια ξεχωριστά ερωτήματα πρέπει να απαντηθούν για να περιγράψω πλήρως ένα αποτέλεσμα;»

Στο παράδειγμα των δύο παιδιών, τα ερωτήματα είναι: «Τι φύλο έχει το 1ο παιδί;» και «Τι φύλο έχει το 2ο παιδί;» — δύο φάσεις. Στο παράδειγμα με τα τρία ζάρια, τα ερωτήματα είναι: «Ποιο ζάρι επιλέχθηκε;» και «Ποια ένδειξη έφερε;» — πάλι δύο φάσεις, παρόλο που εμπλέκονται τρία αντικείμενα (τα ζάρια)! Ο αριθμός των φάσεων δεν είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των αντικειμένων που εμφανίζονται στην εκφώνηση — εξαρτάται από το πόσα ξεχωριστά «βήματα απόφασης» χρειάζεται το αποτέλεσμα.

Η αρχή της απαρίθμησης λειτουργεί για όσες φάσεις κι αν έχουμε

Η αρχή της απαρίθμησης δεν περιορίζεται σε δύο φάσεις. Αν ένα πείραμα έχει, ας πούμε, τέσσερις φάσεις με $κ, λ, μ, ν$ τρόπους αντίστοιχα, τότε $ν(\Omega) = κ \cdot λ \cdot μ \cdot ν$ . Για παράδειγμα, το κλείδωμα ενός τετραψήφιου κωδικού PIN έχει 4 φάσεις (κάθε ψηφίο), η καθεμία με 10 δυνατούς τρόπους (0 έως 9), οπότε ο συνολικός αριθμός δυνατών κωδικών είναι $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000$ !

Δενδροδιάγραμμα ή αρχή της απαρίθμησης: πότε χρησιμοποιώ ποιο;

Τα δύο εργαλεία απαντούν σε διαφορετικές ερωτήσεις, γι' αυτό είναι καλό να ξέρεις πότε χρειάζεσαι το καθένα:

Χρησιμοποίησε το δενδροδιάγραμμα όταν θέλεις να δεις ποια ακριβώς είναι όλα τα δυνατά αποτελέσματα — δηλαδή να γράψεις όλο το σύνολο Ω με τα στοιχεία του.
Χρησιμοποίησε την αρχή της απαρίθμησης όταν σε ενδιαφέρει μόνο πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή μόνο η τιμή του $ν(\Omega)$ , χωρίς να χρειάζεται να τα καταγράψεις ένα-ένα.

Στην πράξη, τα δύο εργαλεία συχνά συνεργάζονται: πρώτα χρησιμοποιούμε την αρχή της απαρίθμησης για να καταλάβουμε γρήγορα «πόσα περιμένουμε να βρούμε», και μετά, αν χρειαστεί να τα δούμε αναλυτικά, φτιάχνουμε το δενδροδιάγραμμα για να τα καταγράψουμε όλα.