Μέτρα Θέσης: Μέση Τιμή, Διάμεσος και Επικρατούσα Τιμή 📊
Όταν συγκεντρώνουμε πολλά δεδομένα -για παράδειγμα βαθμούς ενός τεστ, ύψη μαθητών ή θερμοκρασίες μιας εβδομάδας- έχουμε μπροστά μας έναν σωρό αριθμούς. Είναι δύσκολο να καταλάβουμε αμέσως τι μας λένε όλοι αυτοί οι αριθμοί μαζί. Χρειαζόμαστε έναν τρόπο να τους "συνοψίσουμε" σε έναν μόνο αριθμό, που να μας δίνει μια γρήγορη εικόνα του συνόλου.
Οι αριθμοί που κάνουν ακριβώς αυτό ονομάζονται Μέτρα Θέσης. Λέγονται έτσι επειδή μας δείχνουν πού βρίσκεται, περίπου, το "κέντρο" των δεδομένων μας. Θα γνωρίσουμε τρία τέτοια μέτρα: τη Μέση Τιμή, τη Διάμεσο και την Επικρατούσα Τιμή. Κάθε ένα μας δίνει διαφορετική πληροφορία, και θα δούμε γιατί χρειαζόμαστε και τα τρία.
Σε όλα τα παραδείγματα, τους μεμονωμένους αριθμούς ενός συνόλου δεδομένων τους λέμε παρατηρήσεις.
🧮 Η Μέση Τιμή (ή Μέσος Όρος)
Η Μέση Τιμή είναι το πιο γνωστό από τα μέτρα θέσης -την έχεις σίγουρα ξανασυναντήσει, π.χ. στον μέσο όρο των βαθμών σου. Μας δείχνει μια "τυπική" τιμή που αντιπροσωπεύει όλο το σύνολο των δεδομένων.
Για να βρούμε τη μέση τιμή, ακολουθούμε δύο απλά βήματα:
- Προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις μαζί, ώστε να βρούμε το άθροισμά τους.
- Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το πλήθος των παρατηρήσεων, δηλαδή με το πόσες παρατηρήσεις έχουμε συνολικά.
Ο τύπος που περιγράφει αυτά τα δύο βήματα είναι:
Παράδειγμα υπολογισμού
Ας δούμε τις παρατηρήσεις 12, 15, 16 και 19. Έχουμε 4 παρατηρήσεις συνολικά.
Πρώτα προσθέτουμε: .
Έπειτα διαιρούμε το άθροισμα με το πλήθος τους, δηλαδή με το 4:
Άρα, η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι . Παρατήρησε ότι η μέση τιμή δεν χρειάζεται να είναι κάποια από τις αρχικές παρατηρήσεις -εδώ, για παράδειγμα, δεν υπάρχει καμία παρατήρηση ίση με 15,5, όμως αυτή είναι η μέση τιμή τους.
Στη Στατιστική, η μέση τιμή συμβολίζεται συνήθως με (διαβάζεται "Χ με πάνω γραμμή"). Η γραμμή πάνω από το γράμμα είναι ένα διεθνές σύμβολο που σημαίνει «μέση τιμή» και χρησιμοποιείται με τον ίδιο τρόπο σχεδόν παντού στον κόσμο!
Ένα πολύ συχνό λάθος είναι να μπερδεύουμε το άθροισμα των παρατηρήσεων με το πλήθος τους. Το πλήθος είναι απλά πόσοι αριθμοί έχουμε, όχι το άθροισμά τους. Αν έχεις 4 παρατηρήσεις, διαιρείς πάντα με το 4 -ασχέτως πόσο μεγάλοι ή μικροί είναι οι αριθμοί αυτοί.
📏 Η Διάμεσος
Η Διάμεσος είναι ένα διαφορετικό μέτρο θέσης: αντί να υπολογίζει έναν μέσο όρο, μας δείχνει τη μεσαία τιμή ενός συνόλου δεδομένων, αφού πρώτα τα έχουμε βάλει σε σειρά.
Για να βρούμε τη διάμεσο, ακολουθούμε πάντα αυτά τα βήματα:
- Ταξινομούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά (από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη).
- Εντοπίζουμε τη μεσαία θέση.
Εδώ όμως υπάρχει μια σημαντική διάκριση, ανάλογα με το αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μονός ή ζυγός αριθμός:
- Μονός αριθμός παρατηρήσεων: Υπάρχει ακριβώς μία μεσαία παρατήρηση. Αυτή είναι η διάμεσος.
- Ζυγός αριθμός παρατηρήσεων: Δεν υπάρχει μία μοναδική μεσαία παρατήρηση, αλλά δύο. Σε αυτή την περίπτωση, η διάμεσος είναι η μέση τιμή (ο μέσος όρος) αυτών των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.
Παράδειγμα με μονό πλήθος παρατηρήσεων
Οι παρατηρήσεις 12, 14, 15, 18, 19 είναι ήδη ταξινομημένες σε αύξουσα σειρά και είναι 5 στο πλήθος (μονός αριθμός). Η μεσαία παρατήρηση -αυτή που έχει ακριβώς δύο παρατηρήσεις πριν της και δύο μετά της- είναι το 15. Άρα, η διάμεσος είναι 15.
Παράδειγμα με ζυγό πλήθος παρατηρήσεων
Οι παρατηρήσεις 12, 14, 14, 18, 19, 20 είναι ταξινομημένες και είναι 6 στο πλήθος (ζυγός αριθμός). Εδώ δεν υπάρχει μία μεσαία παρατήρηση, αλλά δύο: το 14 και το 18. Υπολογίζουμε τη μέση τιμή τους:
Άρα, η διάμεσος είναι 16 -παρατήρησε ότι το 16 δεν είναι καν μία από τις αρχικές παρατηρήσεις, ακριβώς όπως συνέβη και με τη μέση τιμή.
Το πιο συχνό λάθος στη διάμεσο είναι να ψάχνουμε τη μεσαία τιμή χωρίς πρώτα να ταξινομήσουμε τις παρατηρήσεις. Αν, για παράδειγμα, τα δεδομένα δίνονται στη σειρά 19, 12, 18, 14, 15, δεν μπορούμε να πούμε ότι διάμεσος είναι το 18 επειδή είναι στη μέση της λίστας! Πρέπει πρώτα να τα ταξινομήσουμε (12, 14, 15, 18, 19) και μετά να βρούμε τη μεσαία τιμή, που είναι το 15.
Η λέξη «διάμεσος» προέρχεται από το «δια-» + «μέσος», δηλαδή κάτι που περνά μέσα από το μέσον. Χωρίζει το σύνολο των ταξινομημένων παρατηρήσεων σε δύο ίσα κομμάτια: τις μισές παρατηρήσεις να είναι μικρότερες ή ίσες με αυτήν, και τις άλλες μισές μεγαλύτερες ή ίσες.
👑 Η Επικρατούσα Τιμή
Η Επικρατούσα Τιμή είναι το τρίτο μέτρο θέσης και είναι, ίσως, το πιο εύκολο να το καταλάβουμε διαισθητικά: είναι απλώς η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά σε ένα σύνολο δεδομένων. Μας δείχνει ποια τιμή είναι η πιο "δημοφιλής".
Για να τη βρούμε, μετράμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε διαφορετική τιμή στο σύνολο των παρατηρήσεων, και επιλέγουμε αυτή (ή αυτές) με τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης.
Παράδειγμα υπολογισμού
Ας δούμε τις παρακάτω καταγεγραμμένες θερμοκρασίες (σε βαθμούς Κελσίου):
36, 37, 37, 38, 40, 40, 39, 36, 37, 38, 37, 39, 39, 40, 40
Μετράμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τιμή:
| Τιμή | Πλήθος εμφανίσεων |
|---|---|
| 36 | 2 φορές |
| 37 | 4 φορές |
| 38 | 2 φορές |
| 39 | 3 φορές |
| 40 | 4 φορές |
Οι τιμές 37 και 40 εμφανίζονται τις περισσότερες φορές (4 φορές η κάθε μία). Άρα, και οι δύο είναι επικρατούσες τιμές.
Σε αντίθεση με τη μέση τιμή και τη διάμεσο, που δίνουν πάντα έναν και μοναδικό αριθμό, η επικρατούσα τιμή μπορεί να μην είναι μοναδική. Όπως είδαμε παραπάνω, αν δύο ή περισσότερες τιμές έχουν την ίδια, μέγιστη συχνότητα εμφάνισης, τότε όλες αυτές είναι επικρατούσες τιμές ταυτόχρονα.
Αν σε ένα σύνολο δεδομένων όλες οι παρατηρήσεις εμφανίζονται εξίσου συχνά (π.χ. μία φορά η καθεμία), τότε δεν υπάρχει ουσιαστικά κάποια τιμή που να "επικρατεί" περισσότερο από τις άλλες. Το μέτρο αυτό είναι πιο χρήσιμο όταν κάποιες τιμές επαναλαμβάνονται αισθητά πιο συχνά από άλλες.
🔍 Γιατί χρειαζόμαστε και τα τρία μέτρα;
Κάθε ένα από τα τρία μέτρα θέσης μας δίνει διαφορετική πληροφορία για τα δεδομένα μας:
- Η Μέση Τιμή λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις, αφού χρησιμοποιεί το άθροισμά τους. Γι' αυτό επηρεάζεται εύκολα από πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές.
- Η Διάμεσος εξαρτάται μόνο από τη θέση των παρατηρήσεων μετά την ταξινόμηση, όχι από το πόσο μεγάλες ή μικρές είναι οι ακραίες τιμές.
- Η Επικρατούσα Τιμή μας δείχνει ποια τιμή είναι η πιο συχνή, κάτι που ούτε η μέση τιμή ούτε η διάμεσος μπορούν να μας πουν.
Επιλέγοντας το κατάλληλο μέτρο θέσης κάθε φορά, μπορούμε να περιγράψουμε τα δεδομένα μας με τον πιο κατάλληλο τρόπο, ανάλογα με το τι θέλουμε να μάθουμε γι' αυτά.