Γραμμικά Συστήματα δύο Εξισώσεων με δύο Αγνώστους 🧩

Μέχρι τώρα έλυνες εξισώσεις με έναν μόνο άγνωστο, όπως $2x + 3 = 7$. Υπάρχουν όμως προβλήματα όπου ψάχνεις δύο άγνωστες τιμές ταυτόχρονα, και έχεις δύο εξισώσεις που πρέπει να ισχύουν και οι δύο μαζί. Αυτό λέγεται γραμμικό σύστημα, και σε αυτή την ενότητα θα μάθεις τι σημαίνει και πώς το λύνεις.

🔤 Τι είναι μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους

Μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους $x$ και $y$ είναι μια εξίσωση όπου το $x$ και το $y$ εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη. Δηλαδή δεν υπάρχει $x^2$, $y^2$, $\sqrt{x}$, ούτε το $x$ πολλαπλασιασμένο με το $y$.

Παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους:

Αντίθετα, οι παρακάτω δεν είναι γραμμικές, γιατί έχουν έναν άγνωστο υψωμένο σε δύναμη μεγαλύτερη του 1, ή κάτω από ρίζα, ή στον παρονομαστή:

Το όνομα «γραμμική» δεν είναι τυχαίο: όταν σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση μιας τέτοιας εξίσωσης σε ένα σύστημα αξόνων, θα σχηματιστεί πάντα μια ευθεία γραμμή. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε παρακάτω για να λύνουμε συστήματα γραφικά.

🧩 Τι είναι ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

Όταν έχεις δύο γραμμικές εξισώσεις με τους ίδιους δύο αγνώστους $x$ και $y$, και ψάχνεις ένα ζευγάρι τιμών $(x, y)$ που να ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα, τότε έχεις ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γράφεται συνήθως έτσι, με τις δύο εξισώσεις μέσα σε ένα «αγκάλιασμα»:

Σκέψου το σαν δύο ξεχωριστές συνθήκες που πρέπει να ισχύουν μαζί. Δεν αρκεί να βρεις ένα $(x, y)$ που ταιριάζει μόνο στην πρώτη εξίσωση ή μόνο στη δεύτερη· χρειάζεσαι ένα ζευγάρι που να «περνάει» και τις δύο.

Τι σημαίνει «λύση» ενός συστήματος

Η λύση ενός γραμμικού συστήματος είναι ένα ζεύγος αριθμών $(x, y)$ που, όταν το βάλεις στη θέση των $x$ και $y$ και στις δύο εξισώσεις, τις κάνει και τις δύο αληθινές.

Ας δούμε το σύστημα από πάνω:

Το ζεύγος $(1, 5)$ είναι λύση αυτού του συστήματος. Ας το ελέγξουμε βάζοντας $x = 1$ και $y = 5$ σε κάθε εξίσωση ξεχωριστά:

• Πρώτη εξίσωση: $5 = 2 \cdot 1 + 3 \implies 5 = 2 + 3 \implies 5 = 5$ ✅ Αληθές.
• Δεύτερη εξίσωση: $1 + 5 = 6 \implies 6 = 6$ ✅ Αληθές.

Επειδή το $(1, 5)$ κάνει αληθινές και τις δύο εξισώσεις, είναι λύση του συστήματος. Αν έλεγχες ένα ζεύγος που ικανοποιεί μόνο τη μία εξίσωση, αυτό δεν θα ήταν λύση του συστήματος — θα ήταν μόνο λύση εκείνης της μεμονωμένης εξίσωσης.

Πόσες λύσεις μπορεί να έχει ένα σύστημα

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορεί να έχει:

• Ακριβώς μία λύση — το πιο συνηθισμένο περίπτωση, ένα μοναδικό ζεύγος $(x, y)$.
• Καμία λύση — δεν υπάρχει κανένα ζεύγος που να ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις μαζί.
• Άπειρες λύσεις — υπάρχουν άπειρα ζεύγη που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις.

Θα δούμε παρακάτω, με τη γραφική μέθοδο, γιατί συμβαίνει το καθένα από αυτά.

📈 Επίλυση συστήματος με τη γραφική μέθοδο

Επειδή κάθε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους αντιστοιχεί σε μια ευθεία, μπορούμε να «δούμε» τη λύση ενός συστήματος σχεδιάζοντας τις δύο ευθείες του.

Βήματα:

1. Σχεδιάζουμε τις ευθείες. Σε ένα κοινό σύστημα αξόνων, σχεδιάζουμε την ευθεία κάθε εξίσωσης του συστήματος.
2. Βρίσκουμε το σημείο τομής. Ψάχνουμε το σημείο όπου οι δύο ευθείες τέμνονται (συναντιούνται).
3. Διαβάζουμε τη λύση. Οι συντεταγμένες $(x, y)$ του σημείου τομής είναι η λύση του συστήματος, γιατί αυτό το σημείο ανήκει και στις δύο ευθείες — άρα ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις.

Ας δούμε το γνωστό μας σύστημα:

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως $y = 6 - x$, ώστε να είναι πιο εύκολο να τη σχεδιάσεις. Αν σχεδιάσεις τις δύο ευθείες $y = 2x + 3$ και $y = 6 - x$ στο ίδιο σύστημα αξόνων, θα δεις ότι τέμνονται ακριβώς στο σημείο $(1, 5)$ — που είναι η λύση που βρήκαμε παραπάνω.

Γιατί ένα σύστημα μπορεί να μην έχει καμία ή να έχει άπειρες λύσεις

Η γραφική εικόνα εξηγεί πολύ καθαρά τις τρεις περιπτώσεις:

Δύο παράλληλες ευθείες δεν συναντιούνται ποτέ, όσο κι αν τις προεκτείνεις — γι' αυτό το σύστημά τους δεν έχει καμία λύση. Αντίθετα, αν οι δύο εξισώσεις περιγράφουν στην ουσία την ίδια ευθεία (π.χ. η μία είναι πολλαπλάσιο της άλλης), τότε κάθε σημείο πάνω σε αυτή την ευθεία ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις — άρα υπάρχουν άπειρες λύσεις.

🧮 Επίλυση συστήματος με τη μέθοδο της αντικατάστασης

Η μέθοδος της αντικατάστασης είναι ένας τρόπος να βρεις την ακριβή λύση ενός συστήματος χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσεις τίποτα. Η βασική ιδέα είναι απλή: αφού ξέρεις ότι το $y$ ισούται με κάτι (από τη μία εξίσωση), μπορείς να «αντικαταστήσεις» αυτό το κάτι στη θέση του $y$ στην άλλη εξίσωση. Έτσι μένεις με μία μόνο εξίσωση και έναν μόνο άγνωστο — κάτι που ήδη ξέρεις να λύνεις!

Ας λύσουμε βήμα-βήμα το σύστημα:

Βήμα 1 — Λύνουμε μία εξίσωση ως προς μία μεταβλητή.
Διαλέγουμε μία από τις δύο εξισώσεις (όποια μας βολεύει πιο πολύ) και απομονώνουμε έναν άγνωστο. Από την πρώτη εξίσωση $y - 2x = 1$, λύνουμε ως προς $y$:

Βήμα 2 — Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.
Παίρνουμε την έκφραση $2x + 1$ που βρήκαμε για το $y$, και την βάζουμε στη θέση του $y$ στη δεύτερη εξίσωση (όχι στην ίδια που τη βρήκαμε!):

Παρατήρησε ότι τώρα η εξίσωση έχει μόνο τον άγνωστο $x$ — το $y$ εξαφανίστηκε, γιατί το αντικαταστήσαμε.

Βήμα 3 — Λύνουμε την εξίσωση που προέκυψε.
Λύνουμε κανονικά, όπως κάθε εξίσωση με έναν άγνωστο:

Βήμα 4 — Βρίσκουμε τον άλλο άγνωστο.
Τώρα που ξέρουμε $x = 2$, το αντικαθιστούμε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις που έχουμε — πιο βολικά, στην εξίσωση του Βήματος 1 ($y = 2x + 1$), αφού είναι ήδη λυμένη ως προς $y$:

Βήμα 5 — Γράφουμε τη λύση.
Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(x, y) = (2, 5)$.

✅ Πώς ελέγχουμε αν ένα ζεύγος είναι λύση

Μερικές φορές δεν χρειάζεται να λύσεις ολόκληρο το σύστημα — απλώς σου δίνουν ένα ζεύγος τιμών και σε ρωτάνε αν είναι λύση. Τότε η διαδικασία είναι:

1. Αντικατάστησε τις τιμές του $x$ και του $y$ στην πρώτη εξίσωση και δες αν αληθεύει.
2. Αντικατάστησε τις ίδιες τιμές στη δεύτερη εξίσωση και δες αν αληθεύει.
3. Το ζεύγος είναι λύση του συστήματος μόνο αν αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις. Αν αληθεύει μόνο η μία, το ζεύγος δεν είναι λύση του συστήματος.

Παράδειγμα: Έστω οι εξισώσεις

Ας ελέγξουμε το ζεύγος $(x, y) = (1, 2)$:

• Στην $\epsilon_1$: $2 = 1 + 1 \implies 2 = 2$ ✅
• Στην $\epsilon_2$: $2 = -1 + 3 \implies 2 = 2$ ✅

Επειδή το $(1, 2)$ επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις, είναι η λύση του συστήματος αυτών των δύο εξισώσεων.

Αν δοκιμάσουμε τώρα το ζεύγος $(0, 1)$:

• Στην $\epsilon_1$: $1 = 0 + 1 \implies 1 = 1$ ✅ (επαληθεύει την $\epsilon_1$)
• Στην $\epsilon_2$: $1 = -0 + 3 \implies 1 = 3$ ❌ (δεν επαληθεύει την $\epsilon_2$)

Το $(0, 1)$ επαληθεύει μόνο την $\epsilon_1$, όχι και τις δύο εξισώσεις μαζί — άρα δεν είναι λύση του συστήματος, παρόλο που είναι λύση της πρώτης εξίσωσης.