Γραμμική Συνάρτηση και Ευθεία 📏

Υπάρχουν συναρτήσεις που, όταν τις σχεδιάζουμε, δίνουν πάντα μια ίσια γραμμή — ποτέ καμπύλη, ποτέ σπασμένη γραμμή. Αυτές λέγονται γραμμικές συναρτήσεις και η γραφική τους παράσταση λέγεται ευθεία. Θα δούμε τι είναι, πώς αναγνωρίζουμε αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία, και ποιο ειδικό σημείο έχει κάθε ευθεία πάνω στον άξονα $y$.

Τι είναι η γραμμική συνάρτηση

Μια συνάρτηση λέγεται γραμμική, όταν ο τύπος της έχει τη μορφή

(το γράφουμε επίσης ως $f(x) = αx + β$). Εδώ τα $α$ και $β$ είναι πραγματικοί αριθμοί — μπορούν να είναι θετικοί, αρνητικοί, ακόμα και μηδέν. Το $x$ είναι η μεταβλητή: κάθε φορά που βάζουμε μια τιμή στο $x$, ο τύπος μάς δίνει μία τιμή για το $y$.

Για παράδειγμα, στη συνάρτηση $y = 2x - 1$:

• Αν $x = 0$, τότε $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$.
• Αν $x = 1$, τότε $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
• Αν $x = 3$, τότε $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$.

Κάθε τέτοιο ζευγάρι τιμών $(x, y)$ αντιστοιχεί σε ένα σημείο πάνω σε ένα επίπεδο. Αν σημειώσουμε πολλά τέτοια σημεία και τα ενώσουμε, θα δούμε κάτι πολύ συγκεκριμένο: όλα βρίσκονται πάνω στην ίδια ίσια γραμμή. Αυτό δεν είναι σύμπτωση — συμβαίνει πάντα όταν ο τύπος έχει τη μορφή $y = αx + β$.

Ο ρόλος των α και β

Δεν χρειάζεται ακόμα να ξέρεις πώς ακριβώς επηρεάζουν το σχήμα της ευθείας τα $α$ και $β$ (αυτό θα το δεις αναλυτικά αργότερα) — για τώρα, αρκεί να θυμάσαι ότι:

• Το $α$ λέγεται συντελεστής διεύθυνσης και δείχνει πόσο «γέρνει» η ευθεία.
• Το $β$ λέγεται σταθερός όρος και, όπως θα δούμε παρακάτω, δείχνει σε ποιο σημείο η ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα.

Ο τύπος $y = αx + β$ ονομάζεται και εξίσωση της ευθείας, γιατί περιγράφει ακριβώς ποια σημεία ανήκουν σε αυτή τη γραμμή και ποια όχι.

Η γραφική παράσταση είναι πάντα ευθεία

Το βασικό συμπέρασμα που πρέπει να κρατήσεις είναι το εξής:

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με τύπο $y = αx + β$ είναι πάντα μια ευθεία γραμμή.

Αυτό ισχύει όποιες κι αν είναι οι τιμές των $α$ και $β$. Ακόμα κι αν $α = 0$ (οπότε ο τύπος γίνεται $y = β$, μια σταθερή τιμή), η γραφική παράσταση είναι και πάλι μια ευθεία — μια οριζόντια αυτή τη φορά.

Το αντίστροφο ισχύει σχεδόν πάντα

Το ενδιαφέρον είναι ότι η σχέση δουλεύει και αντίστροφα: κάθε ευθεία γραμμή μπορεί να γραφτεί με τη μορφή $y = αx + β$, με μία και μοναδική εξαίρεση — τις ευθείες που είναι κάθετες στον άξονα $x$ (δηλαδή κατακόρυφες, "όρθιες" γραμμές). Αυτές οι ειδικές ευθείες έχουν τύπο

όπου $γ$ είναι ένας σταθερός αριθμός (για παράδειγμα $x = 4$ είναι η κατακόρυφη γραμμή που περνά από όλα τα σημεία με τετμημένη 4). Σε αυτές δεν μπορούμε να «λύσουμε ως προς $y$» και να πάρουμε $y = αx + β$, γι' αυτό δεν θεωρούνται γραμμικές συναρτήσεις — άλλωστε, για την ίδια τιμή $x = 4$ αντιστοιχούν άπειρες τιμές $y$, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τον ίδιο τον ορισμό της συνάρτησης.

Πότε ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ευθεία με εξίσωση $y = αx + β$ και ένα σημείο $A(x_1, y_1)$. Πώς μπορούμε να ξέρουμε, χωρίς να σχεδιάσουμε τίποτα, αν το σημείο $A$ βρίσκεται πάνω σε αυτή την ευθεία;

Ο κανόνας είναι απλός:

Το σημείο $A(x_1, y_1)$ ανήκει στην ευθεία $y = αx + β$ αν και μόνο αν, όταν αντικαταστήσουμε $x = x_1$ και $y = y_1$ στην εξίσωση, προκύπτει μια αληθής ισότητα.

Δηλαδή δουλεύουμε σαν ντετέκτιβ: βάζουμε τις συντεταγμένες του σημείου στη θέση των $x$ και $y$ και ελέγχουμε αν «ταιριάζουν». Αν οι δύο πλευρές της εξίσωσης βγουν ίσες, το σημείο ανήκει στην ευθεία. Αν όχι, δεν ανήκει.

Παράδειγμα 1: Ελέγχουμε αν το σημείο $(-1, 2)$ ανήκει στην ευθεία $y = -2x$.

Αντικαθιστούμε $x = -1$ και $y = 2$:

Η ισότητα είναι αληθής, άρα το σημείο $(-1, 2)$ ανήκει στην ευθεία.

Παράδειγμα 2: Ελέγχουμε αν το σημείο $(2, 5)$ ανήκει στην ευθεία $y = 3x - 1$.

Αντικαθιστούμε $x = 2$ και $y = 5$:

Η ισότητα είναι αληθής, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία.

Παράδειγμα 3: Ελέγχουμε αν το σημείο $(1, 4)$ ανήκει στην ευθεία $y = 3x - 1$.

Αντικαθιστούμε $x = 1$ και $y = 4$:

Εδώ η ισότητα είναι ψευδής (το 4 δεν είναι ίσο με το 2), άρα το σημείο $(1, 4)$ δεν ανήκει στην ευθεία.

Το σημείο τομής με τον άξονα y

Κάθε ευθεία με εξίσωση $y = αx + β$ περνάει από ένα πολύ συγκεκριμένο σημείο πάνω στον άξονα των τεταγμένων — τον άξονα $y$. Αυτό το σημείο είναι πάντα το

Γιατί συμβαίνει αυτό; Κάθε σημείο πάνω στον άξονα $y$ έχει τετμημένη $x = 0$ (δεν έχει μετακινηθεί καθόλου οριζόντια). Αν βάλουμε $x = 0$ στον τύπο $y = αx + β$, παίρνουμε:

Άρα, όταν $x = 0$, το $y$ ισούται πάντα με $β$ — και αυτό δίνει ακριβώς το σημείο $(0, β)$.

Παράδειγμα: Η ευθεία $y = 3x - 1$ έχει $β = -1$. Άρα τέμνει τον άξονα $y$ στο σημείο $(0, -1)$.

Παράδειγμα: Η ευθεία $y = -4x + 7$ έχει $β = 7$. Άρα τέμνει τον άξονα $y$ στο σημείο $(0, 7)$.

Το πεδίο ορισμού μιας γραμμικής συνάρτησης

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των τιμών που μπορεί να πάρει το $x$. Σε μια γραμμική συνάρτηση, αν το πρόβλημα δεν αναφέρει ρητά ποιες τιμές επιτρέπονται για το $x$, τότε θεωρούμε ότι το $x$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών (R).

Αυτό σημαίνει ότι, χωρίς άλλο περιορισμό, η γραφική παράσταση είναι μια συνεχής γραμμή — δεν έχει κενά, δεν «σπάει» πουθενά, μπορείς να τη σχεδιάσεις χωρίς να σηκώσεις το μολύβι.

Όταν το x περιορίζεται σε συγκεκριμένους αριθμούς

Μερικές φορές ένα πρόβλημα καθορίζει ρητά ότι το $x$ μπορεί να πάρει μόνο συγκεκριμένες τιμές — για παράδειγμα, μόνο φυσικούς αριθμούς ή μόνο ακέραιους αριθμούς. Σε αυτή την περίπτωση, η γραφική παράσταση δεν είναι πια μια συνεχής γραμμή. Αντίθετα, αποτελείται από μεμονωμένα σημεία — σαν αστράκια στον ουρανό — τα οποία όμως, αν φανταστούμε ανάμεσά τους μια νοητή γραμμή, όλα ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Παράδειγμα: Αν στη συνάρτηση $y = x + 1$ το $x$ μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές $0, 1, 2, 3$, τότε παίρνουμε μόνο τα σημεία $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$ και $(3, 4)$ — τέσσερα μεμονωμένα σημεία, όχι μια συνεχόμενη γραμμή.

Δύο σημεία αρκούν για να σχεδιάσουμε μια ευθεία

Ένα από τα πιο χρήσιμα συμπεράσματα αυτής της ενότητας είναι πρακτικό: επειδή η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι πάντα ευθεία, και επειδή δύο διαφορετικά σημεία ορίζουν πάντα μία και μοναδική ευθεία, αρκεί να υπολογίσουμε δύο σημεία της συνάρτησης για να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε ολόκληρη τη γραφική της παράσταση. Δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε δεκάδες σημεία — δύο είναι αρκετά, αν και ένα τρίτο σημείο είναι πάντα καλή ιδέα για επαλήθευση.

Παράδειγμα: Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της $y = 2x - 1$, βρίσκουμε δύο σημεία:

• Για $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$, άρα το σημείο $(0, -1)$.
• Για $x = 2$: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$, άρα το σημείο $(2, 3)$.

Ενώνοντας τα σημεία $(0, -1)$ και $(2, 3)$ με μια ίσια γραμμή, παίρνουμε ολόκληρη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.