Η Έννοια της Αντιστοιχίας και της Συνάρτησης 🔗

Στη ζωή μας συνδέουμε συνέχεια πράγματα μεταξύ τους. Κάθε μαθητής έχει ένα όνομα. Κάθε προϊόν σε ένα κατάστημα έχει μια τιμή. Κάθε ώρα της ημέρας έχει μια θερμοκρασία. Όλες αυτές οι συνδέσεις έχουν ένα κοινό μαθηματικό όνομα: αντιστοιχία. Μέσα σε αυτή την ευρύτερη ιδέα κρύβεται μια πιο αυστηρή και πιο χρήσιμη έννοια, η συνάρτηση, η οποία θα μας απασχολήσει σε όλο το κεφάλαιο που ξεκινάει.

Τι είναι η αντιστοιχία 🤔

Μια αντιστοιχία είναι, απλά, ένας κανόνας που «ζευγαρώνει» στοιχεία δύο ομάδων (τα ονομάζουμε σύνολα). Παίρνουμε ένα στοιχείο από την πρώτη ομάδα και το συνδέουμε με ένα ή περισσότερα στοιχεία της δεύτερης ομάδας, ανάλογα με τον κανόνα που έχουμε ορίσει.

Σκέψου δύο ομάδες: μια ομάδα με παιδιά και μια ομάδα με αθλήματα. Ο κανόνας «κάθε παιδί αντιστοιχίζεται στο άθλημα που του αρέσει» είναι μια αντιστοιχία. Κάποιο παιδί μπορεί να αγαπά μόνο το ποδόσφαιρο, ενώ κάποιο άλλο μπορεί να του αρέσουν και το μπάσκετ και η κολύμβηση ταυτόχρονα. Και τα δύο είναι απολύτως φυσιολογικά για μια αντιστοιχία: δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στο πόσα στοιχεία της δεύτερης ομάδας μπορεί να «πιάσει» ένα στοιχείο της πρώτης.

Πώς παριστάνουμε μια αντιστοιχία

Την ίδια αντιστοιχία μπορούμε να την περιγράψουμε με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Κάθε τρόπος δίνει την ίδια πληροφορία, απλώς «ντυμένη» διαφορετικά:

Τι είναι η συνάρτηση 🎯

Μια συνάρτηση είναι μια αντιστοιχία με έναν επιπλέον, πολύ αυστηρό κανόνα: κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου πρέπει να αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του δεύτερου συνόλου. Όχι σε κανένα, όχι σε δύο, ούτε σε παραπάνω — ακριβώς σε ένα.

Σκέψου ένα κουμπί ενός ασανσέρ. Όταν πατάς το κουμπί «3», το ασανσέρ πρέπει να πάει σε έναν και μόνο όροφο, τον τρίτο. Αν το ίδιο κουμπί άλλοτε σε πήγαινε στον τρίτο όροφο και άλλοτε στον πέμπτο, κάτι θα ήταν χαλασμένο! Η συνάρτηση λειτουργεί ακριβώς έτσι: κάθε «είσοδος» παράγει πάντα την ίδια, μοναδική «έξοδο».

Τα δύο πράγματα που χρειαζόμαστε για να ορίσουμε μια συνάρτηση

Για να περιγράψουμε πλήρως μια συνάρτηση, χρειαζόμαστε δύο πληροφορίες:

1. Το Πεδίο Ορισμού — δηλαδή ποιο είναι το σύνολο $A$, από το οποίο ξεκινάει η συνάρτηση.
2. Τον κανόνα που λέει πώς αντιστοιχίζεται κάθε στοιχείο του $A$ σε ένα στοιχείο του δεύτερου συνόλου.

Χωρίς αυτά τα δύο, η συνάρτηση δεν είναι πλήρως ορισμένη — είναι σαν να έχεις μια συνταγή μαγειρικής χωρίς να ξέρεις ποια υλικά επιτρέπεται να χρησιμοποιήσεις.

Πεδίο Ορισμού και Πεδίο Τιμών

Ας ονομάσουμε $A$ το πρώτο σύνολο και $B$ το δεύτερο σύνολο μιας συνάρτησης $f$:

• Το σύνολο $A$ ονομάζεται Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. Περιέχει όλα τα στοιχεία που μπορούμε να «βάλουμε μέσα» στη συνάρτηση.
• Τα στοιχεία του $B$ που πράγματι αντιστοιχίζονται σε κάποιο στοιχείο του $A$ σχηματίζουν το Πεδίο Τιμών της συνάρτησης. Περιέχει όλα τα αποτελέσματα που «βγαίνουν» από τη συνάρτηση.

Ένα πλήρες παράδειγμα: η συνάρτηση του τετραγώνου 💡

Ας δούμε πώς όλα αυτά δουλεύουν μαζί, με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Έστω το σύνολο $A = \{-1, 0, 1, 2\}$ και το σύνολο $B = \{0, 1, 4\}$. Ορίζουμε τη συνάρτηση $f$ με τον κανόνα: «κάθε αριθμός του $A$ αντιστοιχίζεται στο τετράγωνό του».

Ας τη δούμε παρασταμένη με όλους τους τρόπους που μάθαμε:

1. Με βελοειδές διάγραμμα. Θα βλέπαμε βέλη να ξεκινούν από κάθε στοιχείο του $A$ και να καταλήγουν στο τετράγωνό του μέσα στο $B$: το $-1$ οδηγεί στο $1$, το $0$ οδηγεί στο $0$, το $1$ οδηγεί στο $1$, και το $2$ οδηγεί στο $4$.

2. Ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Γράφουμε όλα τα ζεύγη (είσοδος, έξοδος):

3. Με τύπο. Αν ονομάσουμε $x$ τους αριθμούς του $A$ και $y$ τα αντίστοιχα αποτελέσματα στο $B$, ο κανόνας γράφεται:

ή, ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό συνάρτησης:

Το $f(x)$ διαβάζεται «η τιμή της συνάρτησης $f$ στο $x$» και δείχνει ακριβώς ποιο αποτέλεσμα αντιστοιχεί στο $x$.

4. Με πίνακα τιμών.

5. Περιγραφικά και συμβολικά.

6. Με γραφική παράσταση. Κάθε ζεύγος $(x, y)$ γίνεται ένα σημείο πάνω σε ένα σύστημα αξόνων. Στο παράδειγμά μας, θα σχεδιάζαμε τα σημεία $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ και $(2, 4)$.

Σε αυτό το παράδειγμα:

• Το Πεδίο Ορισμού είναι $\{-1, 0, 1, 2\}$ — όλο το σύνολο $A$.
• Το Πεδίο Τιμών είναι $\{0, 1, 4\}$ — τα στοιχεία του $B$ που πράγματι χρησιμοποιήθηκαν. Παρατήρησε ότι εδώ το Πεδίο Τιμών συμπίπτει με ολόκληρο το $B$, κάτι που δεν συμβαίνει πάντα.

Πώς αναγνωρίζουμε αν μια αντιστοιχία είναι συνάρτηση

Για να ελέγξουμε αν μια αντιστοιχία είναι συνάρτηση, κάνουμε μία και μόνο ερώτηση για κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου: «Σε πόσα στοιχεία του δεύτερου συνόλου αντιστοιχίζεται;»

• Αν η απάντηση είναι πάντα ακριβώς ένα, για κάθε στοιχείο, τότε έχουμε συνάρτηση.
• Αν έστω και ένα στοιχείο αντιστοιχίζεται σε δύο ή περισσότερα στοιχεία, τότε δεν έχουμε συνάρτηση.
• Αν κάποιο στοιχείο δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο, τότε η αντιστοιχία δεν καλύπτει όλο το πρώτο σύνολο, οπότε ούτε αυτό ορίζει συνάρτηση σε εκείνο το σύνολο.

Στο βελοειδές διάγραμμα, αυτό μεταφράζεται σε έναν πολύ απλό οπτικό έλεγχο: από κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου πρέπει να ξεκινάει ακριβώς ένα βέλος. Αν κάποιο στοιχείο έχει δύο βέλη να φεύγουν από αυτό, ή δεν έχει κανένα βέλος, η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση.

Στη γραφική παράσταση, ο αντίστοιχος έλεγχος γίνεται με μια κατακόρυφη νοητή γραμμή: αν υπάρχει μια τιμή του $x$ από την οποία περνάει μια κατακόρυφη γραμμή που τέμνει το γράφημα σε δύο ή περισσότερα σημεία, τότε εκείνη η τιμή του $x$ αντιστοιχίζεται σε πάνω από μία τιμή του $y$, και άρα η γραφική παράσταση δεν παριστάνει συνάρτηση.