Ιδιότητες Ανισοτήτων ⚖️

Στην καθημερινή μας ζωή συχνά συγκρίνουμε πράγματα: ποιος είναι ψηλότερος, ποιο ποδήλατο είναι πιο ακριβό, ποια ομάδα έχει περισσότερους βαθμούς. Στα μαθηματικά, όταν δύο ποσότητες δεν είναι ίσες, γράφουμε μια ανισότητα.

Χρησιμοποιούμε τα εξής σύμβολα:

Η κατεύθυνση του συμβόλου (προς τα πού «κοιτάζει» το άνοιγμα) λέγεται φορά της ανισότητας. Στο $3 < 7$ η φορά είναι «μικρότερο από». Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να μάθουμε τι συμβαίνει στη φορά μιας ανισότητας όταν κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη της — δηλαδή και στην αριστερή και στη δεξιά ποσότητα.

Γιατί μας ενδιαφέρει αυτό; Επειδή για να λύσουμε μια ανίσωση, χρειάζεται να κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη της — ακριβώς όπως κάναμε στις εξισώσεις. Οι ιδιότητες που θα δούμε εδώ είναι οι «κανόνες του παιχνιδιού»: μας λένε πότε επιτρέπεται μια κίνηση χωρίς να χαλάσει η αλήθεια της ανισότητας.

Πρόσθεση και αφαίρεση του ίδιου αριθμού

Φαντάσου μια παλιομοδίτικη ζυγαριά με δύο δίσκους, όπου ο ένας δίσκος είναι πιο βαρύς από τον άλλο — γι' αυτό γέρνει προς τη μία μεριά. Αν προσθέσεις το ίδιο ακριβώς βάρος και στους δύο δίσκους, ποια μεριά θα εξακολουθεί να είναι πιο βαριά; Η ίδια, φυσικά! Η κλίση της ζυγαριάς δεν αλλάζει.

Αυτό ακριβώς συμβαίνει και με τις ανισότητες:

Πιο τυπικά, αν $A$, $B$, $\Gamma$ είναι αριθμοί:

Το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση, αφού η αφαίρεση ενός αριθμού είναι το ίδιο με την πρόσθεση του αντίθετού του (π.χ. το «αφαιρώ 4» είναι το ίδιο με το «προσθέτω $-4$»).

Παράδειγμα 1. Ξεκινάμε από την αληθινή ανισότητα $5 > 3$.

• Προσθέτουμε το 5 και στα δύο μέλη: $5+5=10$ και $3+5=8$. Ισχύει $10 > 8$ — η φορά έμεινε «μεγαλύτερο από».
• Αφαιρούμε το 4 και από τα δύο μέλη (δηλαδή προσθέτουμε $-4$): $5-4=1$ και $3-4=-1$. Ισχύει $1 > -1$ — η φορά πάλι δεν άλλαξε.

Παράδειγμα 2. Αν ξέρουμε ότι $x < 3$, τι μπορούμε να πούμε για το $x+3$; Προσθέτοντας 3 και στα δύο μέλη της ανισότητας $x < 3$, παίρνουμε $x+3 < 3+3$, δηλαδή $x+3 < 6$. Αυτή η ιδιότητα είναι ακριβώς αυτή που χρησιμοποιούμε για να «μεταφέρουμε» όρους από τη μία μεριά μιας ανίσωσης στην άλλη, όπως κάναμε και στις εξισώσεις.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με θετικό αριθμό

Τι γίνεται αν αντί να προσθέσουμε, πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με έναν αριθμό; Εδώ τα πράγματα εξαρτώνται από το πρόσημο του αριθμού με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε.

Ας ξεκινήσουμε με τον πιο απλό κανόνα:

Παράδειγμα. Ξεκινάμε από το $7 > -1$. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2 (θετικός αριθμός): $7 \cdot 2 = 14$ και $(-1) \cdot 2 = -2$. Ισχύει $14 > -2$ — η φορά παρέμεινε ίδια.

Η διαίρεση με θετικό αριθμό είναι ουσιαστικά πολλαπλασιασμός με το αντίστροφό του (π.χ. η διαίρεση με το 2 είναι πολλαπλασιασμός με το $\tfrac{1}{2}$), οπότε ακολουθεί τον ίδιο κανόνα: αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο θετικό αριθμό, η φορά δεν αλλάζει.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με αρνητικό αριθμό — η πιο σημαντική εξαίρεση

Εδώ βρίσκεται το σημείο που χρειάζεται τη μεγαλύτερη προσοχή σε όλη την ενότητα.

Γιατί συμβαίνει αυτό; Σκέψου την αριθμογραμμή. Ο πολλαπλασιασμός με έναν αρνητικό αριθμό λειτουργεί σαν «καθρέφτης»: κάθε αριθμός μεταφέρεται στην απέναντι πλευρά του μηδενός. Ό,τι ήταν πιο δεξιά (άρα μεγαλύτερο) βρίσκεται τώρα πιο αριστερά (άρα μικρότερο), και το αντίστροφο. Επειδή η σειρά των αριθμών στην αριθμογραμμή αναποδογυρίζει, αναποδογυρίζει και η φορά της ανισότητας.

Παράδειγμα. Ξεκινάμε από το $8 > 6$ (αληθές, αφού το 8 είναι μεγαλύτερο). Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $-\dfrac{1}{2}$ (αρνητικός αριθμός):

Συγκρίνουμε τα αποτελέσματα: $-4$ και $-3$. Ποιο είναι μεγαλύτερο; Στην αριθμογραμμή το $-3$ βρίσκεται πιο δεξιά από το $-4$, άρα $-3 > -4$, δηλαδή $-4 < -3$. Η ανισότητα «γύρισε»: από $>$ έγινε $<$. Αν δεν αλλάζαμε τη φορά, θα γράφαμε λανθασμένα $-4 > -3$, κάτι που είναι ψευδές.

Ένα ακόμη παράδειγμα με διαίρεση. Αν $a < 0$ (δηλαδή το $a$ είναι αρνητικό), τι σχέση έχουν το $-a$ και το $0$; Πολλαπλασιάζουμε την ανισότητα $a < 0$ με $-1$ (αρνητικός αριθμός), οπότε η φορά αλλάζει: $-a > 0$. Αυτό έχει νόημα: αν το $a$ είναι αρνητικό, το αντίθετό του $-a$ είναι θετικό!

Πώς θυμόμαστε όλους τους κανόνες μαζί

Ας συγκεντρώσουμε όλες τις ιδιότητες σε έναν πίνακα, για γρήγορη ανασκόπηση:

Ο κανόνας-κλειδί είναι απλός: η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πάντα «ασφαλείς» — δεν επηρεάζουν ποτέ τη φορά. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση χρειάζονται έλεγχο προσήμου: θετικός αριθμός σημαίνει «όλα μένουν ίδια», αρνητικός αριθμός σημαίνει «γύρνα το σύμβολο».

Ένα ακόμη χρήσιμο συμπέρασμα. Αν $a < b$, τότε πολλαπλασιάζοντας με $-1$ παίρνουμε $-a > -b$. Δηλαδή, όταν αλλάζουμε το πρόσημο και των δύο μελών μιας ανισότητας, η φορά της πάντα αντιστρέφεται — αυτό είναι απλώς μια ειδική περίπτωση του κανόνα του πολλαπλασιασμού με αρνητικό αριθμό (εδώ με το $-1$).

Αυτές οι ιδιότητες είναι το θεμέλιο για να λύνουμε ανισώσεις: κάθε φορά που θέλουμε να «απομονώσουμε» το $x$ σε μια ανίσωση, θα κάνουμε ακριβώς αυτές τις πράξεις — πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό ή διαίρεση και στα δύο μέλη — και θα πρέπει να θυμόμαστε πότε η φορά μένει ίδια και πότε αλλάζει.