Διερεύνηση Εξίσωσης α΄ Βαθμού με μία Μεταβλητή 🔍

Τι είναι μια εξίσωση πρώτου βαθμού

Μια εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο είναι σαν ένα μικρό παζλ: ψάχνουμε έναν αριθμό που, όταν πάρει τη θέση του αγνώστου (συνήθως τον λέμε $x$), κάνει την ισότητα αληθινή.

Κάθε τέτοια εξίσωση, όσο περίπλοκη κι αν φαίνεται στην αρχή, μπορεί να μεταφερθεί -με πράξεις όπως προσθέσεις, αφαιρέσεις και ομαδοποίηση όμοιων όρων- στη βασική της μορφή:

Εδώ το $x$ είναι ο άγνωστος, ενώ τα $α$ και $β$ είναι γνωστοί αριθμοί (μπορούν να είναι θετικοί, αρνητικοί, ή και μηδέν). Το $α$ λέγεται συντελεστής του $x$.

Το ενδιαφέρον είναι ότι η συμπεριφορά της εξίσωσης -δηλαδή πόσες λύσεις έχει- εξαρτάται αποκλειστικά από τις τιμές των $α$ και $β$. Γι' αυτό λέμε ότι κάνουμε διερεύνηση της εξίσωσης: εξετάζουμε συστηματικά όλες τις δυνατές περιπτώσεις για το $α$ και το $β$, για να δούμε τι λύση (ή τι λύσεις) προκύπτει σε κάθε μία.

Υπάρχουν ακριβώς τρεις περιπτώσεις. Ας τις δούμε μία-μία.

Περίπτωση 1: Όταν $α ≠ 0$ — μία μοναδική λύση

Αν ο συντελεστής $α$ είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να "απομονώσουμε" το $x$. Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το $α$:

Αυτό είναι δυνατό ακριβώς επειδή $α ≠ 0$ — δεν επιτρέπεται ποτέ να διαιρέσουμε με το μηδέν. Το αποτέλεσμα είναι πάντα ένας συγκεκριμένος αριθμός, άρα η εξίσωση έχει μία και μοναδική λύση.

Αυτή είναι η πιο συνηθισμένη περίπτωση: όποτε λύνουμε μια "κανονική" εξίσωση πρώτου βαθμού και καταλήγουμε σε συντελεστή διάφορο του μηδέν, ξέρουμε εκ των προτέρων ότι θα βρούμε ακριβώς μία απάντηση.

Περίπτωση 2: Όταν $α = 0$ και $β ≠ 0$ — καμία λύση (αδύνατη εξίσωση)

Τι γίνεται αν ο συντελεστής του $x$ εξαφανιστεί, δηλαδή $α = 0$; Η εξίσωση $αx = β$ γίνεται:

Σκέψου: όποιον αριθμό κι αν βάλουμε στη θέση του $x$, το γινόμενο $0 \cdot x$ θα είναι πάντα ίσο με 0 — αυτή είναι μια βασική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού με το μηδέν. Αν λοιπόν το $β$ δεν είναι μηδέν, ζητάμε να βρούμε $x$ τέτοιο ώστε $0 = β$, κάτι που είναι αδύνατο, αφού $β ≠ 0$.

Δεν υπάρχει, επομένως, κανένας αριθμός που να ικανοποιεί την εξίσωση. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται αδύνατη.

Περίπτωση 3: Όταν $α = 0$ και $β = 0$ — άπειρες λύσεις (αόριστη εξίσωση)

Η τρίτη περίπτωση μοιάζει με τη δεύτερη, αλλά με μια σημαντική διαφορά: τώρα και το $β$ είναι μηδέν. Η εξίσωση γίνεται:

Εδώ συμβαίνει το αντίθετο από πριν: όποιον αριθμό κι αν βάλουμε στη θέση του $x$, το αριστερό μέλος θα είναι πάντα 0 — και αυτή τη φορά, 0 είναι ακριβώς αυτό που περιμένουμε στο δεξί μέλος! Η ισότητα $0 = 0$ είναι πάντα αληθινή, ανεξάρτητα από το $x$.

Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός είναι λύση της εξίσωσης. Μια τέτοια εξίσωση έχει άπειρες λύσεις και λέγεται αόριστη.

Πώς κάνουμε τη διερεύνηση στην πράξη

Όταν μας δίνεται μια εξίσωση που περιέχει μια παράμετρο (έναν άγνωστο αριθμό, συνήθως συμβολισμένο με $α$, $κ$, $λ$ ή παρόμοιο γράμμα, που παίζει τον ρόλο ενός "ρυθμιστή"), η διερεύνηση γίνεται σε βήματα:

1. Μεταφέρουμε την εξίσωση στη μορφή $αx = β$, κάνοντας όλες τις απαραίτητες πράξεις (ομαδοποίηση όρων με $x$ σε ένα μέλος, αριθμών στο άλλο).
2. Εξετάζουμε πρώτα πότε $α = 0$ — λύνουμε αυτή τη μικρή εξίσωση (ως προς την παράμετρο) για να βρούμε για ποια τιμή της παραμέτρου μηδενίζεται ο συντελεστής.
3. Ελέγχουμε τι γίνεται με το $β$ ακριβώς σε εκείνη την τιμή: αν το $β$ μηδενίζεται κι αυτό, η εξίσωση είναι αόριστη· αν όχι, είναι αδύνατη.
4. Για κάθε άλλη τιμή της παραμέτρου (όπου $α ≠ 0$), η εξίσωση έχει τη μοναδική λύση $x = \dfrac{β}{α}$.

Ένα πλήρες παράδειγμα διερεύνησης

Ας διερευνήσουμε την εξίσωση $αx + 3 = 0$ ως προς την παράμετρο $α$.

Πρώτα τη γράφουμε στη μορφή $αx = β$:

Τώρα εξετάζουμε τις περιπτώσεις:

• Αν $α ≠ 0$: η εξίσωση έχει μοναδική λύση $x = \dfrac{-3}{α}$.
• Αν $α = 0$: η εξίσωση γίνεται $0x = -3$. Επειδή $-3 ≠ 0$, η εξίσωση είναι αδύνατη — δεν έχει καμία λύση.

Παρατήρησε ότι σε αυτό το παράδειγμα δεν εμφανίζεται καθόλου η περίπτωση των άπειρων λύσεων, γιατί το $β$ (το $-3$) δεν μηδενίζεται ποτέ, όση κι αν αλλάξουμε το $α$. Αυτό είναι φυσιολογικό: όχι κάθε εξίσωση με παράμετρο περνάει και από τις τρεις περιπτώσεις.

Σύνοψη των τριών περιπτώσεων

Αυτός ο πίνακας είναι το «κλειδί» για κάθε άσκηση διερεύνησης: μόλις φέρεις μια εξίσωση στη μορφή $αx = β$, αρκεί να δεις σε ποια γραμμή του πίνακα ταιριάζει.