Πειράματα Τύχης και Πιθανότητες 🎲

Υπάρχουν πράγματα που ξέρεις σίγουρα πριν συμβούν. Αν αφήσεις ένα μολύβι από το χέρι σου, θα πέσει κάτω. Αυτό δεν έχει καμία έκπληξη.

Υπάρχουν όμως και πράγματα που δεν ξέρεις πριν συμβούν, αλλά ξέρεις ποια είναι όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Αν ρίξεις ένα ζάρι, δεν ξέρεις τι θα φέρει, αλλά ξέρεις σίγουρα ότι θα είναι ένας αριθμός από το 1 μέχρι το 6 — τίποτα άλλο δεν μπορεί να συμβεί. Αυτή η δεύτερη κατηγορία είναι ο κόσμος που θα μελετήσουμε σε αυτή την ενότητα: πώς περιγράφουμε τι μπορεί να συμβεί, και πώς υπολογίζουμε πόσο πιθανό είναι.

Τι είναι ένα πείραμα τύχης; 🤔

Ένα πείραμα τύχης είναι κάθε διαδικασία που έχει δύο χαρακτηριστικά μαζί:

Δεν ξέρουμε με σιγουριά ποιο θα είναι το αποτέλεσμά της.
Ξέρουμε από πριν όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να συμβούν.

Σκέψου μερικά παραδείγματα από την καθημερινότητά σου:

Ρίχνεις ένα νόμισμα: δεν ξέρεις αν θα φέρει κεφαλή ή γράμματα, αλλά ξέρεις ότι μόνο αυτά τα δύο μπορούν να συμβούν.
Επιλέγεις τυχαία ένα γράμμα από μια λέξη: δεν ξέρεις ποιο θα βγει, αλλά ξέρεις ότι θα είναι ένα από τα γράμματα της λέξης.
Τραβάς μια μπάλα από ένα σακούλι με έγχρωμες μπάλες: δεν ξέρεις ποιο χρώμα θα φέρεις, αλλά ξέρεις ποια χρώματα υπάρχουν μέσα.

Αντίθετα, το να ρωτήσεις «θα βρέξει σε 6 μήνες από σήμερα;» δεν είναι πείραμα τύχης με την έννοια που μελετάμε εδώ, γιατί δεν έχει ένα σαφές, καθορισμένο σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούμε να καταγράψουμε με σιγουριά.

Ο δειγματικός χώρος: όλα τα δυνατά αποτελέσματα 🗂️

Κάθε φορά που εκτελούμε ένα πείραμα τύχης, το πρώτο βήμα είναι να καταγράψουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα. Αυτό το σύνολο ονομάζεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα $\Omega$ (όμικρον με τόνο, το λέμε «ωμέγα»).

Στη ρίψη ενός ζαριού, ο δειγματικός χώρος είναι:

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Αυτό σημαίνει: αν ρίξεις το ζάρι, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα ένα από αυτά τα έξι νούμερα — τίποτα λιγότερο, τίποτα παραπάνω.

Πρόσεξε τι μπαίνει μέσα στον δειγματικό χώρο

Ο δειγματικός χώρος καταγράφει όλα τα ξεχωριστά δυνατά αποτελέσματα, ούτε ένα παραπάνω ούτε ένα λιγότερο. Αν ξεχάσεις μια περίπτωση (π.χ. γράψεις μόνο $\{1,2,3,4,5\}$ για το ζάρι), όλοι οι υπολογισμοί πιθανότητας που θα κάνεις μετά θα είναι λάθος.

Ενδεχόμενο: ένα «κομμάτι» του δειγματικού χώρου 🎯

Συχνά δεν μας ενδιαφέρουν όλα τα αποτελέσματα μαζί, αλλά μια συγκεκριμένη ομάδα από αυτά — π.χ. «να φέρω άρτιο αριθμό» στο ζάρι. Αυτή η ομάδα ονομάζεται ενδεχόμενο ή γεγονός. Με απλά λόγια: ένα ενδεχόμενο είναι οποιαδήποτε επιλογή αποτελεσμάτων μέσα από τον δειγματικό χώρο.

Στη ρίψη ενός ζαριού, μπορούμε να ορίσουμε πολλά διαφορετικά ενδεχόμενα:

Ενδεχόμενο	Περιγραφή	Ποια αποτελέσματα περιέχει
Α	Η ένδειξη να είναι άρτιος αριθμός	$A = \{2, 4, 6\}$
Β	Η ένδειξη να είναι μεγαλύτερη ή ίση του 5	$B = \{5, 6\}$
Γ	Η ένδειξη να είναι ακριβώς το 2	$\Gamma = \{2\}$

Παρατήρησε ότι ένα ενδεχόμενο μπορεί να έχει ένα μόνο αποτέλεσμα (όπως το Γ), μερικά αποτελέσματα (όπως το Β) ή ακόμα και όλα τα αποτελέσματα του δειγματικού χώρου.

Πότε «πραγματοποιείται» ένα ενδεχόμενο; ✅

Λέμε ότι ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται (ή «συμβαίνει») όταν το πραγματικό αποτέλεσμα του πειράματος είναι ένα από τα στοιχεία του.

Παράδειγμα: αν ρίξεις το ζάρι και φέρεις 6, τότε:

Το ενδεχόμενο $A = \{2, 4, 6\}$ πραγματοποιείται, γιατί το 6 ανήκει στο Α.
Το ενδεχόμενο $B = \{5, 6\}$ πραγματοποιείται, γιατί το 6 ανήκει στο Β.
Το ενδεχόμενο $\Gamma = \{2\}$ δεν πραγματοποιείται, γιατί το 6 δεν ανήκει στο Γ.

Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου, δηλαδή τα αποτελέσματα που το κάνουν να πραγματοποιηθεί, ονομάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις. Για το ενδεχόμενο $B = \{5, 6\}$ , οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι δύο: το 5 και το 6.

Ισοπίθανα αποτελέσματα: όλοι έχουν την ίδια τύχη ⚖️

Πριν υπολογίσουμε πιθανότητες, χρειαζόμαστε μια σημαντική προϋπόθεση. Λέμε ότι τα αποτελέσματα ενός δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα όταν κανένα αποτέλεσμα δεν έχει προβάδισμα έναντι των άλλων — όλα έχουν ίσες πιθανότητες να εμφανιστούν.

Ένα κανονικό ζάρι έχει ισοπίθανα αποτελέσματα: κάθε πλευρά έχει την ίδια πιθανότητα να εμφανιστεί με κάθε άλλη. Το ίδιο ισχύει και για ένα δίκαιο νόμισμα.

Χωρίς ισοπίθανα αποτελέσματα, ο τύπος δεν ισχύει

Ο τρόπος υπολογισμού πιθανότητας που θα δούμε παρακάτω λειτουργεί μόνο όταν τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα. Αν π.χ. ένα ζάρι είναι «στημένο» ώστε να φέρνει πιο συχνά το 6, τότε τα αποτελέσματά του δεν είναι πια ισοπίθανα, και ο απλός τύπος δεν εφαρμόζεται.

Πώς υπολογίζουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου 📊

Τώρα φτάνουμε στο βασικό ερώτημα: πόσο πιθανό είναι να συμβεί ένα ενδεχόμενο; Όταν τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α, που τη συμβολίζουμε $P(A)$ , δίνεται από τον τύπο:

P(A) = \frac{\text{πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων}}{\text{πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων}} = \frac{\nu(A)}{\nu(\Omega)}

Εδώ το $\nu(A)$ («νι του Α») είναι το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α, και το $\nu(\Omega)$ είναι το πλήθος όλων των στοιχείων του δειγματικού χώρου.

Λυμένο παράδειγμα: Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό;

Βήμα 1 — Βρίσκουμε τον δειγματικό χώρο: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , άρα $\nu(\Omega) = 6$ .

Βήμα 2 — Βρίσκουμε το ενδεχόμενο: Β: «άρτιος αριθμός» $= \{2, 4, 6\}$ , άρα $\nu(B) = 3$ .

Βήμα 3 — Εφαρμόζουμε τον τύπο:

P(B) = \frac{\nu(B)}{\nu(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%

Δηλαδή, στις δύο φορές που θα ρίχναμε το ζάρι, θα περιμέναμε να φέρουμε άρτιο αριθμό περίπου τη μία.

Η πιθανότητα μιλάει και σε ποσοστά

Μπορείς πάντα να μετατρέψεις μια πιθανότητα σε ποσοστό πολλαπλασιάζοντάς την επί 100%. Το $\frac{1}{2}$ γίνεται 50%, το $\frac{1}{4}$ γίνεται 25%. Έτσι εξηγούν τον καιρό όταν λένε «60% πιθανότητα βροχής» — είναι ακριβώς η ίδια ιδέα που μαθαίνεις εδώ!

Βήματα για να λύσεις οποιαδήποτε άσκηση πιθανότητας 🧭

Βρες τον δειγματικό χώρο $\Omega$ και μέτρησε τα στοιχεία του: $\nu(\Omega)$ .
Βρες ποια αποτελέσματα ανήκουν στο ενδεχόμενο που σε ενδιαφέρει και μέτρησέ τα: $\nu(A)$ .
Διαίρεσε: $P(A) = \dfrac{\nu(A)}{\nu(\Omega)}$ .
Αν θέλεις, απλοποίησε το κλάσμα ή μετάτρεψέ το σε ποσοστό.

Ακόμα ένα παράδειγμα: Σε ένα σακούλι υπάρχουν 2 πράσινοι, 4 μπλε και 6 κόκκινοι κύβοι — δηλαδή 12 κύβοι συνολικά. Τραβάμε έναν κύβο στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι μπλε;

$\nu(\Omega) = 12$ (όλοι οι κύβοι)
$\nu(\text{μπλε}) = 4$ (οι μπλε κύβοι)
$P(\text{μπλε}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$

Δύο ειδικές περιπτώσεις: το σίγουρο και το ακατόρθωτο 🎪

Υπάρχουν δύο ακραίες περιπτώσεις ενδεχομένων που αξίζει να ξεχωρίσεις.

Το βέβαιο ενδεχόμενο

Ένα ενδεχόμενο λέγεται βέβαιο όταν περιλαμβάνει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος — δηλαδή είναι ίσο με ολόκληρο τον δειγματικό χώρο $\Omega$ . Η πιθανότητά του είναι πάντα 1 (δηλαδή 100%), γιατί είναι σίγουρο ότι θα συμβεί.

Παράδειγμα: στη ρίψη ζαριού, το ενδεχόμενο «να φέρω ένδειξη μικρότερη του 7» είναι $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$ . Άρα:

P(A) = \frac{\nu(A)}{\nu(\Omega)} = \frac{6}{6} = 1

Το αδύνατο ενδεχόμενο

Ένα ενδεχόμενο λέγεται αδύνατο όταν δεν περιλαμβάνει κανένα δυνατό αποτέλεσμα — είναι το κενό σύνολο, $\emptyset$ . Η πιθανότητά του είναι πάντα 0, γιατί δεν μπορεί ποτέ να συμβεί.

Παράδειγμα: στη ρίψη ζαριού, το ενδεχόμενο «να φέρω ένδειξη 7» είναι αδύνατο, αφού το 7 δεν υπάρχει καν στον δειγματικό χώρο. Άρα:

P(A) = \frac{\nu(A)}{\nu(\Omega)} = \frac{0}{6} = 0

Το εύρος της πιθανότητας: πάντα ανάμεσα σε 0 και 1 📏

Όσα παραδείγματα κι αν δεις, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α βρίσκεται πάντα σε αυτό το εύρος:

0 \leq P(A) \leq 1

Αν $P(A) = 0$ : το ενδεχόμενο είναι αδύνατο, δεν μπορεί να συμβεί ποτέ.
Αν $P(A) = 1$ : το ενδεχόμενο είναι βέβαιο, θα συμβεί σίγουρα.
Αν $0 < P(A) < 1$ : το ενδεχόμενο είναι δυνατό, αλλά όχι σίγουρο — μπορεί να συμβεί, μπορεί και όχι.

Γιατί η πιθανότητα δεν ξεπερνά ποτέ το 1;

Επειδή τα ευνοϊκά αποτελέσματα ενός ενδεχομένου δεν μπορούν ποτέ να είναι περισσότερα από τα συνολικά δυνατά αποτελέσματα — το «κομμάτι» δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το «όλον». Γι' αυτό το κλάσμα $\frac{\nu(A)}{\nu(\Omega)}$ δεν ξεπερνά ποτέ το 1, όσο ενδεχόμενο κι αν διαλέξεις.

Το πιο συνηθισμένο λάθος

Πολλοί μαθητές μπερδεύουν τον παρονομαστή του κλάσματος. Ο παρονομαστής είναι πάντα το πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων $\nu(\Omega)$ , όχι το πλήθος κάποιας άλλης κατηγορίας. Για παράδειγμα, σε ένα κουτί με 6 πράσινες και 9 μπλε μπάλες (15 συνολικά), η πιθανότητα να βγει πράσινη είναι $\frac{6}{15}$ και όχι $\frac{6}{9}$ — ο παρονομαστής είναι το σύνολο των μπαλών, όχι μόνο των μπλε.

Χρησιμοποιώντας την πιθανότητα αντίστροφα 🔄

Μερικές φορές ξέρουμε την πιθανότητα και το σύνολο, και ψάχνουμε το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων. Ο ίδιος τύπος δουλεύει και ανάποδα.

Παράδειγμα: Σε ένα τμήμα 25 μαθητών, η πιθανότητα να επιλέξουμε τυχαία ένα αγόρι είναι 0,4. Πόσα είναι τα κορίτσια;

Αριθμός αγοριών $= 0,4 \times 25 = 10$
Αριθμός κοριτσιών $= 25 - 10 = 15$

Δούλεψες ανάποδα: αντί να διαιρέσεις για να βρεις την πιθανότητα, πολλαπλασίασες την πιθανότητα με το σύνολο για να βρεις το πλήθος.