Κύρια Στοιχεία Τριγώνου και Σχέσεις Γωνιών 📐

Ένα τρίγωνο είναι από τα πιο απλά σχήματα που υπάρχουν — τρεις πλευρές, τρεις γωνίες, τρεις κορυφές. Όμως κρύβει κανόνες που ισχύουν πάντα, σε κάθε τρίγωνο που θα φανταστείς: από τη σαλάτα πίτσα που κόβεις τριγωνικά μέχρι το πανί ενός ιστιοπλοϊκού. Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις πώς λέγονται τα στοιχεία ενός τριγώνου, ποιες σχέσεις έχουν οι γωνίες του μεταξύ τους, και πώς να βρίσκεις μια άγνωστη γωνία χωρίς να τη μετρήσεις καν με μοιρογνωμόνιο.

Το Ισοσκελές Τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες. Σκέψου το σαν ένα τρίγωνο-«σκηνή campingκ»: οι δύο κεκλιμένες πλευρές είναι ίδιου μήκους, ενώ το πάτωμα είναι διαφορετικό.

Οι πλευρές και οι γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου έχουν συγκεκριμένα ονόματα:

Για παράδειγμα, σε τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ = ΑΓ$: οι πλευρές $ΑΒ$ και $ΑΓ$ είναι τα σκέλη, η $ΒΓ$ είναι η βάση, και οι γωνίες $\hat{Β}$ και $\hat{Γ}$ είναι οι γωνίες παρά τη βάση.

Το Ισόπλευρο Τρίγωνο

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει και τις τρεις πλευρές ίσες μεταξύ τους. Στην ουσία, είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο... τρεις φορές ταυτόχρονα! Γι' αυτό, σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και οι τρεις γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Αντίστροφα, αν σε ένα τρίγωνο και οι τρεις γωνίες είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι σίγουρα ισόπλευρο.

Πόσες μοίρες έχει η κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου; Θα το καταλάβεις αμέσως μόλις μάθεις τον επόμενο κανόνα, που είναι ο πιο σημαντικός κανόνας όλης της ενότητας.

Το Άθροισμα των Γωνιών ενός Τριγώνου ➕

Ό,τι σχήμα τριγώνου κι αν φτιάξεις — ψηλόλιγνο, πλατύ, μικρό, τεράστιο — το άθροισμα των τριών γωνιών του είναι πάντα $180^\circ$.

Γιατί συμβαίνει αυτό; Δεν είναι τυχαίο — μπορούμε να το δούμε αν φέρουμε μια βοηθητική ευθεία παράλληλη σε μία πλευρά, περνώντας από την απέναντι κορυφή:

1. Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$, φέρνουμε από την κορυφή $Α$ μια ευθεία $ΔΕ$ παράλληλη στην πλευρά $ΒΓ$.
2. Πάνω σε αυτή τη νέα ευθεία, στο σημείο $Α$, σχηματίζονται τρεις γωνίες δίπλα-δίπλα, οι οποίες μαζί καλύπτουν όλη την ευθεία γραμμή. Γωνίες πάνω σε ευθεία γραμμή έχουν πάντα άθροισμα $180^\circ$.
3. Επειδή η $ΔΕ$ είναι παράλληλη στη $ΒΓ$, οι δύο πλαϊνές γωνίες πάνω στη $ΔΕ$ είναι ίσες με τις γωνίες $\hat{Β}$ και $\hat{Γ}$ του τριγώνου (είναι εντός εναλλάξ γωνίες.
4. Άρα, οι τρεις γωνίες πάνω στην ευθεία $ΔΕ$ είναι στην ουσία οι $\hat{Α}$, $\hat{Β}$ και $\hat{Γ}$ του τριγώνου, «μεταφερμένες» δίπλα-δίπλα. Το άθροισμά τους είναι $180^\circ$, άρα και το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι $180^\circ$.

Τώρα μπορούμε να λύσουμε την απορία του ισόπλευρου τριγώνου: αφού οι τρεις γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και το άθροισμά τους είναι $180^\circ$, τότε κάθε γωνία είναι $180^\circ : 3 = 60^\circ$.

Λυμένο παράδειγμα: Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$ γνωρίζουμε ότι $\hat{Α} = 50^\circ$ και $\hat{Β} = 65^\circ$. Πόσο είναι η γωνία $\hat{Γ}$;

Αφού το άθροισμα είναι πάντα $180^\circ$:

Το Ορθογώνιο Τρίγωνο

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία γωνία ίση με $90^\circ$ — μια ορθή γωνία, σαν τη γωνία μιας κάρτας ή ενός βιβλίου. Επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών είναι πάντα $180^\circ$, οι άλλες δύο γωνίες (που είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από $90^\circ$) πρέπει μαζί να «καλύπτουν» ό,τι απομένει:

Δηλαδή, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των δύο οξειών γωνιών είναι πάντα $90^\circ$.

Λυμένο παράδειγμα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η μία οξεία γωνία είναι $35^\circ$. Πόσο είναι η άλλη;

Είδη Τριγώνων

Τα τρίγωνα ταξινομούνται με δύο διαφορετικούς τρόπους: ανάλογα με τις πλευρές τους ή ανάλογα με τις γωνίες τους. Τα δύο αυτά κριτήρια είναι ανεξάρτητα — δεν αποκλείει το ένα το άλλο.

Ως προς τις πλευρές:

Ως προς τις γωνίες:

Ένα τρίγωνο έχει πάντα ένα είδος από κάθε στήλη ταυτόχρονα — για παράδειγμα, μπορεί να είναι «οξυγώνιο και σκαληνό» ή «αμβλυγώνιο και ισοσκελές».

Λυμένο παράδειγμα: Ένα τρίγωνο έχει γωνίες $\hat{Α} = 40^\circ$, $\hat{Β} = 40^\circ$ και $\hat{Γ} = 100^\circ$. Τι είδους τρίγωνο είναι;

• Ως προς τις γωνίες: έχει μία γωνία μεγαλύτερη από $90^\circ$ (η $100^\circ$) → είναι αμβλυγώνιο.
• Ως προς τις πλευρές: έχει δύο ίσες γωνίες ($\hat{Α} = \hat{Β} = 40^\circ$), άρα και οι απέναντι πλευρές τους είναι ίσες → είναι ισοσκελές.

Η Εξωτερική Γωνία Τριγώνου 🌍

Αν προεκτείνεις μία πλευρά ενός τριγώνου πέρα από μια κορυφή, σχηματίζεται μια καινούρια γωνία, ανάμεσα στην προέκταση και στην άλλη πλευρά του τριγώνου που καταλήγει σε εκείνη την κορυφή. Αυτή λέγεται εξωτερική γωνία του τριγώνου.

Για παράδειγμα, σε τρίγωνο $ΑΒΓ$, αν προεκτείνεις την πλευρά $ΒΓ$ πέρα από το $Γ$ μέχρι ένα σημείο $Δ$, τότε η γωνία $\hat{ΑΓΔ}$ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου στην κορυφή $Γ$.

Η εσωτερική γωνία $\hat{Γ}$ και η εξωτερική γωνία $\hat{ΑΓΔ}$ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (τη $ΒΓΔ$), άρα είναι παραπληρωματικές — το άθροισμά τους είναι $180^\circ$.

Λυμένο παράδειγμα: Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$, $\hat{Α} = 55^\circ$ και $\hat{Β} = 45^\circ$. Πόσο είναι η εξωτερική γωνία στην κορυφή $Γ$;

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της εξωτερικής γωνίας:

Θα μπορούσαμε να το βρούμε και αλλιώς: πρώτα $\hat{Γ} = 180^\circ - 55^\circ - 45^\circ = 80^\circ$, και μετά $\hat{Γ}_{εξ} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Και οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα — ο κανόνας της εξωτερικής γωνίας απλώς σου γλιτώνει ένα βήμα.