Συντεταγμένες Σημείου 🗺️

Πώς θα εξηγούσες σε κάποιον πού ακριβώς βρίσκεται το σπίτι σου, χωρίς να δείξεις με το δάχτυλο; Θα μπορούσες να πεις «δύο δρόμους πιο πέρα και έναν πιο πάνω». Ακριβώς αυτή την ιδέα χρησιμοποιούν και τα μαθηματικά για να περιγράψουν πού βρίσκεται ένα σημείο σε ένα επίπεδο: με δύο αριθμούς. Αυτό ακριβώς κάνει και το GPS στο κινητό σου όταν σου δείχνει πού είσαι πάνω στον χάρτη.

Το Σύστημα των Αξόνων 📐

Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου χρειαζόμαστε δύο άξονες, δηλαδή δύο αριθμημένες ευθείες γραμμές, κάθετες μεταξύ τους:

• Έναν οριζόντιο άξονα, που ονομάζεται άξονας των τετμημένων ή άξονας $x$.
• Έναν κατακόρυφο άξονα, που ονομάζεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας $y$.

Οι δύο αυτοί άξονες τέμνονται σε ένα σημείο, στο οποίο και οι δύο έχουν την τιμή μηδέν. Το σύνολο των δύο κάθετων αξόνων ονομάζεται ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

Αν οι δύο άξονες έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης (δηλαδή ένα τετραγωνάκι στο τετραγωνισμένο χαρτί αντιστοιχεί στην ίδια απόσταση και στους δύο άξονες), τότε το σύστημα ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Αυτό είναι το σύστημα που θα χρησιμοποιείς πιο συχνά.

Πώς Γράφουμε τις Συντεταγμένες ενός Σημείου 📍

Κάθε σημείο πάνω στο επίπεδο περιγράφεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών της μορφής $(x, y)$. Οι δύο αυτοί αριθμοί ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου:

• Ο αριθμός $x$ λέγεται τετμημένη — μας λέει πόσα βήματα πάμε δεξιά (αν είναι θετικός) ή αριστερά (αν είναι αρνητικός) από την αρχή.
• Ο αριθμός $y$ λέγεται τεταγμένη — μας λέει πόσα βήματα πάμε πάνω (αν είναι θετικός) ή κάτω (αν είναι αρνητικός), αφού πρώτα έχουμε μετακινηθεί οριζόντια.

Για παράδειγμα, το σημείο $Α(2, 4)$ έχει τετμημένη $2$ και τεταγμένη $4$. Για να το βρεις πάνω στο επίπεδο, ξεκινάς πάντα από το σημείο όπου τέμνονται οι άξονες, προχωράς $2$ βήματα δεξιά και μετά $4$ βήματα πάνω.

Το σημείο όπου τέμνονται οι δύο άξονες ονομάζεται αρχή των αξόνων και έχει πάντα συντεταγμένες $(0, 0)$, αφού εκεί δεν έχουμε μετακινηθεί ούτε οριζόντια ούτε κατακόρυφα.

Σημεία Πάνω στους Άξονες 🚏

Μερικές φορές ένα σημείο βρίσκεται ακριβώς πάνω σε έναν από τους δύο άξονες, όχι ανάμεσά τους. Τότε μία από τις δύο συντεταγμένες του είναι μηδέν:

Σκέψου το έτσι: αν είσαι πάνω στον οριζόντιο δρόμο (άξονας x), δεν έχεις καθόλου ανέβει ή κατέβει, άρα η κατακόρυφη μετακίνησή σου (η τεταγμένη) είναι μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει αν είσαι πάνω στον κατακόρυφο άξονα.

Τα Τεταρτημόρια 🧭

Οι δύο άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερις περιοχές, που ονομάζονται τεταρτημόρια. Κάθε τεταρτημόριο έχει το δικό του «πρόσημο» για τις συντεταγμένες των σημείων του:

Ένας εύκολος τρόπος να το θυμάσαι: ξεκινάς από το 1ο τεταρτημόριο (πάνω δεξιά, όπου όλα είναι θετικά) και προχωράς αριστερόστροφα — 1ο, 2ο, 3ο, 4ο — σαν να γυρίζεις έναν δείκτη ρολογιού ανάποδα.

Μια Μοναδική Αντιστοιχία 🔑

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα και μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος $(x, y)$, και αντίστροφα, κάθε διατεταγμένο ζεύγος αντιστοιχεί σε ένα και μοναδικό σημείο. Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία με τις ίδιες ακριβώς συντεταγμένες — κάθε σημείο έχει τη δική του «ταυτότητα» μέσα στο σύστημα αξόνων, ακριβώς όπως κάθε σπίτι έχει τη δική του διεύθυνση.

Το Μέσο ενός Ευθύγραμμου Τμήματος ✂️

Όταν έχουμε δύο σημεία $Α(x_Α, y_Α)$ και $Β(x_Β, y_Β)$, μπορούμε να βρούμε το σημείο που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της απόστασής τους. Αυτό το σημείο ονομάζεται μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $ΑΒ$ και οι συντεταγμένες του υπολογίζονται ως εξής:

Δηλαδή, η τετμημένη του μέσου είναι ο μέσος όρος των δύο τετμημένων, και το ίδιο ισχύει για την τεταγμένη.

Παράδειγμα: Αν $Α(-2, 5)$ και $Β(6, 5)$, τότε το μέσο $Μ$ του $ΑΒ$ έχει συντεταγμένες:

Άρα $Μ(2, 5)$.

Ο ίδιος τύπος μπορεί να μας βοηθήσει και αντίστροφα: αν ξέρουμε το ένα άκρο και το μέσο ενός τμήματος, μπορούμε να βρούμε το άλλο άκρο. Απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο τα στοιχεία που ξέρουμε και λύνουμε για τον άγνωστο.