Πράξεις με Διανύσματα ➕➖
Τα διανύσματα δεν είναι απλά βελάκια σε ένα σχήμα. Μπορείς να τα «προσθέσεις» και να τα «αφαιρέσεις», ακριβώς όπως τους αριθμούς — μόνο που εδώ η πρόσθεση έχει και κατεύθυνση, όχι μόνο μέγεθος. Σε αυτό το μάθημα θα μάθεις πώς προσθέτουμε διανύσματα όταν «κουμπώνουν» το ένα στο άλλο, πώς τα προσθέτουμε όταν δεν κουμπώνουν, και πώς αφαιρούμε ένα διάνυσμα από ένα άλλο.
Διαδοχικά Διανύσματα
Φαντάσου ότι περπατάς από το σπίτι σου (Α) στο σχολείο (Β), και μετά από το σχολείο (Β) στο γήπεδο (Γ). Η δεύτερη διαδρομή ξεκινά ακριβώς από εκεί που τελείωσε η πρώτη. Αυτό ακριβώς σημαίνει διαδοχικά διανύσματα.
Δύο διανύσματα λέγονται διαδοχικά όταν το τέλος του πρώτου συμπίπτει με την αρχή του δεύτερου.
Τα διανύσματα και είναι διαδοχικά: το τέλος του είναι το σημείο Β, το οποίο είναι ταυτόχρονα και η αρχή του .
Το γράμμα «στη μέση» πρέπει να είναι το ίδιο και στα δύο διανύσματα: το τέλος του πρώτου = η αρχή του δεύτερου. Τα και είναι διαδοχικά (κοινό το Β), αλλά τα και ΔΕΝ είναι διαδοχικά, γιατί το Β είναι τέλος και στα δύο, όχι αρχή στο δεύτερο.
Το Άθροισμα Δύο Διαδοχικών Διανυσμάτων
Όταν δύο διανύσματα είναι διαδοχικά, το άθροισμά τους βρίσκεται πανεύκολα: είναι το διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή του πρώτου και καταλήγει στο τέλος του δεύτερου. Σαν να «ενώνεις» ευθεία την αρχή της διαδρομής με το τελικό σημείο, χωρίς να περάσεις από την ενδιάμεση στάση.
Στο παράδειγμα του σπιτιού, του σχολείου και του γηπέδου, το άθροισμα του και του είναι το διάνυσμα :
Αυτός ο κανόνας λέγεται κανόνας του τριγώνου, γιατί τα τρία σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν ένα τρίγωνο (εκτός αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία).
Άσχετα με το πόσο αλλάζει κατεύθυνση η διαδρομή σου, το άθροισμα δείχνει πάντα μόνο την αρχή και το τέλος — σαν να πήγαινες κατευθείαν εκεί, με «ίσια γραμμή». Το αν προσπέρασες σχολείο ή γήπεδο δεν φαίνεται πουθενά στο τελικό διάνυσμα.
Άθροισμα Περισσότερων Διαδοχικών Διανυσμάτων
Ο ίδιος κανόνας επεκτείνεται και σε περισσότερα από δύο διανύσματα, αρκεί να είναι διαδοχικά ανά δύο (το τέλος του καθενός να είναι η αρχή του επόμενου).
Αν τα , και είναι διαδοχικά, το άθροισμά τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου (Α) και τέλος το τέλος του τελευταίου (Δ):
Δεν έχει σημασία πόσα διανύσματα «κουμπώνεις» στη σειρά — το άθροισμα «βλέπει» μόνο την αρχή της πρώτης διαδρομής και το τέλος της τελευταίας.
Πρόσθεση Μη Διαδοχικών Διανυσμάτων
Τι γίνεται όμως αν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά; Για παράδειγμα, τα και μπορεί να «δείχνουν» οπουδήποτε στο χαρτί, χωρίς καμία σχέση μεταξύ τους. Εδώ χρησιμοποιούμε ένα κόλπο: τα μετατρέπουμε σε διαδοχικά.
Σχεδιάζουμε το ίσο με το , και μετά, ξεκινώντας από το τέλος του (το σημείο Β), σχεδιάζουμε το ίσο με το . Τώρα τα δύο διανύσματα είναι διαδοχικά, και το άθροισμά τους βρίσκεται όπως πριν:
Η Μέθοδος του Παραλληλογράμμου
Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος, χρήσιμος ειδικά όταν τα δύο διανύσματα ξεκινούν ήδη από το ίδιο σημείο (κοινή αρχή) — η μέθοδος του παραλληλογράμμου.
| Βήμα | Τι κάνουμε |
|---|---|
| 1 | Σχεδιάζουμε τα και με κοινή αρχή το σημείο Α |
| 2 | Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο με πλευρές τα ΑΒ και ΑΓ |
| 3 | Το άθροισμα είναι το διάνυσμα , όπου Δ η απέναντι κορυφή του παραλληλογράμμου από το Α |
Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται και στη Φυσική! Όταν δύο δυνάμεις τραβούν ένα αντικείμενο προς διαφορετικές κατευθύνσεις (π.χ. δύο παιδιά τραβούν ένα καροτσάκι με σχοινιά), το αντικείμενο κινείται προς την κατεύθυνση του αθροίσματος των δύο δυνάμεων — ακριβώς τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου.
Οι δύο μέθοδοι (τρίγωνο και παραλληλόγραμμο) δίνουν πάντα το ίδιο άθροισμα — απλώς η μία ξεκινά τα διανύσματα διαδοχικά και η άλλη με κοινή αρχή. Διάλεξε τη μέθοδο που ταιριάζει με το πώς είναι ήδη σχεδιασμένα τα διανύσματα στο πρόβλημά σου.
Το Μηδενικό Διάνυσμα
Πριν μιλήσουμε για την αφαίρεση, χρειαζόμαστε μια ιδιαίτερη περίπτωση: τι γίνεται αν προσθέσεις ένα διάνυσμα με τον εαυτό του «ανάποδα»;
Αν πας από το Α στο Β και μετά γυρίσεις πίσω από το Β στο Α, τελικά δεν έχεις μετακινηθεί καθόλου. Αυτό είναι το μηδενικό διάνυσμα, και γράφεται :
Το Αντίθετο Διάνυσμα και η Διαφορά Δύο Διανυσμάτων
Κάθε διάνυσμα έχει ένα «δίδυμο» με ίδιο μήκος και ίδια διεύθυνση, αλλά αντίθετη φορά: το αντίθετο διάνυσμά του, που γράφεται . Αν το είναι το , τότε το αντίθετό του είναι το .
Η διαφορά δύο διανυσμάτων δεν είναι μια νέα πράξη — είναι απλώς πρόσθεση με το αντίθετο:
Δηλαδή, για να αφαιρέσεις ένα διάνυσμα, γυρίζεις την κατεύθυνσή του ανάποδα και μετά το προσθέτεις κανονικά, με όποια από τις δύο μεθόδους (τριγώνου ή παραλληλογράμμου) σου βολεύει.
Μην μπερδεύεις το με «μικρότερο διάνυσμα». Το έχει ακριβώς το ίδιο μήκος με το — αλλάζει μόνο η φορά (η κατεύθυνση), όχι το μέγεθος. Στο συμβολισμό με γράμματα, το αντίθετο του είναι το : τα ίδια γράμματα, αντίστροφη σειρά.
Και ισχύει πάντα, για οποιοδήποτε διάνυσμα :
Πώς λύνουμε στην πράξη μια αφαίρεση
Όταν βλέπεις κάτι σαν (δύο διανύσματα με κοινή αρχή Α), ακολούθησε τρία βήματα:
- Γράψε την αφαίρεση ως πρόσθεση του αντιθέτου: .
- Βρες το αντίθετο διάνυσμα αντιστρέφοντας τα γράμματα: το είναι το . Η έκφραση γίνεται .
- Επειδή στην πρόσθεση η σειρά δεν αλλάζει το αποτέλεσμα, γράφουμε — και τώρα τα δύο διανύσματα ΕΙΝΑΙ διαδοχικά (το τέλος του πρώτου, Α, είναι η αρχή του δεύτερου). Άρα, με τον κανόνα του τριγώνου: .
Άρα . Αυτό μας οδηγεί σε μια χρήσιμη συντομία, που τη βλέπεις παρακάτω.
Υπάρχει μια συντομία: όταν δύο διανύσματα έχουν κοινή αρχή, όπως τα και , η διαφορά τους είναι πάντα το διάνυσμα που ενώνει τα δύο τέλη τους, με φορά από το δεύτερο γράμμα προς το πρώτο: . Δεν χρειάζεται καν να σχεδιάσεις το αντίθετο διάνυσμα — απλά «ενώνεις» τα τέλη.
Σύνοψη των Κανόνων
| Πράξη | Πότε τη χρησιμοποιούμε | Κανόνας |
|---|---|---|
| Κανόνας τριγώνου | Διανύσματα ήδη διαδοχικά | |
| Κανόνας παραλληλογράμμου | Διανύσματα με κοινή αρχή | (διαγώνιος) |
| Αφαίρεση | Πάντα | |
| Μηδενικό διάνυσμα | Αρχή = τέλος |