Η Έννοια του Διανύσματος 🧭

Σκέψου δύο προτάσεις: «Ο δρόμος είναι 5 χιλιόμετρα» και «Ο άνεμος φυσάει με 40 χιλιόμετρα την ώρα προς τα βόρεια». Και οι δύο έχουν έναν αριθμό. Όμως η δεύτερη λέει κάτι παραπάνω: μας δίνει και μια κατεύθυνση. Αυτή η διαφορά είναι η αφετηρία των διανυσμάτων.

Μονόμετρα και Διανυσματικά Μεγέθη

Στα μαθηματικά και στη φυσική, τα μεγέθη που μετράμε χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες.

Μονόμετρο μέγεθος 📏 είναι κάθε μέγεθος που περιγράφεται πλήρως μόνο με έναν αριθμό, το μέτρο του. Όταν πεις «το μολύβι μου είναι 15 εκατοστά» ή «ζυγίζω 45 κιλά», δεν χρειάζεται να προσθέσεις τίποτα άλλο. Ο αριθμός λέει τα πάντα.

Διανυσματικό μέγεθος 🧭 είναι κάθε μέγεθος που, για να το περιγράψεις πλήρως, χρειάζεσαι δύο πράγματα: ένα μέτρο ΚΑΙ μια κατεύθυνση. Αν πεις μόνο «10 χιλιόμετρα την ώρα», η πληροφορία είναι μισή. Χρειάζεται να πεις και «προς τα βόρεια» ή «προς την Αθήνα» για να έχει νόημα ολόκληρο.

Τι Είναι ένα Διάνυσμα

Για να παραστήσουμε γραφικά ένα διανυσματικό μέγεθος, χρησιμοποιούμε ένα διάνυσμα: ένα βέλος ➡️ που ξεκινάει από ένα σημείο και καταλήγει σε ένα άλλο.

Κάθε διάνυσμα έχει:

• Μια αρχή (ή σημείο εφαρμογής) - συνήθως το ονομάζουμε $A$.
• Ένα τέλος - το σημείο όπου καταλήγει η μύτη του βέλους, συνήθως το ονομάζουμε $B$.

Ένα διάνυσμα με αρχή το $A$ και τέλος το $B$ συμβολίζεται $\vec{AB}$. Μπορούμε επίσης να το ονομάσουμε με ένα μικρό γράμμα με βελάκι από πάνω, όπως $\vec{a}$, όταν δεν μας ενδιαφέρουν συγκεκριμένα τα σημεία αρχής και τέλους.

Πρόσεξε: το $\vec{AB}$ και το $\vec{BA}$ ΔΕΝ είναι το ίδιο διάνυσμα, παρόλο που ενώνουν τα ίδια δύο σημεία. Το βέλος δείχνει προς διαφορετική μεριά σε καθένα.

Τα Τρία Στοιχεία ενός Διανύσματος

Κάθε διάνυσμα προσδιορίζεται πλήρως από τρία στοιχεία.

Διεύθυνση

Η διεύθυνση ↔️ είναι η ευθεία πάνω στην οποία «κάθεται» το διάνυσμα, ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτήν. Σκέψου τη σαν τον δρόμο πάνω στον οποίο μπορεί να κινηθεί ένα αυτοκίνητο - δεν μας νοιάζει ακόμα αν πάει εμπρός ή πίσω, μόνο ποιος είναι ο δρόμος.

Δύο διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση όταν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες.

Φορά

Η φορά ↗️ μας λέει προς τα πού πάει το διάνυσμα πάνω σε εκείνη τη διεύθυνση. Αν η αρχή είναι το $A$ και το τέλος το $B$, το διάνυσμα $\vec{AB}$ έχει φορά «από το $A$ προς το $B$». Το αντίστροφο διάνυσμα $\vec{BA}$ έχει την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά.

Σε έναν δρόμο δύο κατευθύνσεων, η διεύθυνση είναι ο δρόμος, ενώ η φορά είναι το αν πηγαίνεις προς τη μία μεριά ή προς την άλλη.

Μέτρο

Το μέτρο 📏 είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει την αρχή με το τέλος του διανύσματος. Συμβολίζεται $|\vec{AB}|$ και εκφράζει «πόσο μεγάλο» είναι το διάνυσμα. Το μέτρο είναι πάντα θετικός αριθμός ή μηδέν - ποτέ αρνητικός, αφού είναι μήκος.

Το Μηδενικό Διάνυσμα

Τι συμβαίνει αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσματος συμπίπτουν, δηλαδή είναι το ίδιο σημείο; Τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται $\vec{0}$. Το μέτρο του είναι μηδέν, αφού δεν υπάρχει καθόλου μήκος ανάμεσα σε αρχή και τέλος. Μπορείς να το φανταστείς σαν ένα βέλος που δεν πρόλαβε καν να ξεκινήσει - μια απλή κουκκίδα, χωρίς συγκεκριμένη διεύθυνση ή φορά.

Παράλληλα Διανύσματα: Ομόρροπα και Αντίρροπα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ή σε ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Ανάλογα με τη φορά τους, τα παράλληλα διανύσματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

• Ομόρροπα ➡️➡️: παράλληλα διανύσματα που έχουν την ΙΔΙΑ φορά. Κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, σαν δύο αυτοκίνητα στο ίδιο ρεύμα κυκλοφορίας.
• Αντίρροπα ➡️⬅️: παράλληλα διανύσματα που έχουν ΑΝΤΙΘΕΤΗ φορά. Κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις πάνω στον ίδιο «δρόμο», σαν δύο αυτοκίνητα σε αντίθετα ρεύματα.

Πρόσεξε πως για να μιλήσουμε καν για ομόρροπα ή αντίρροπα, τα διανύσματα πρέπει πρώτα να είναι παράλληλα (ίδια διεύθυνση). Το μέτρο τους δεν παίζει κανέναν ρόλο εδώ - μπορεί να είναι διαφορετικό.

Ίσα και Αντίθετα Διανύσματα

Όταν δύο διανύσματα μοιράζονται ΚΑΙ τα τρία τους στοιχεία με συγκεκριμένο τρόπο, παίρνουν ειδικά ονόματα.

Ίσα διανύσματα 👯 είναι δύο διανύσματα που έχουν:

• την ίδια διεύθυνση,
• την ίδια φορά, και
• το ίδιο μέτρο.

Αν τα διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ είναι ίσα, γράφουμε $\vec{a} = \vec{b}$. Σκέψου δύο βέλη «φωτοτυπίες» το ένα του άλλου, απλώς τοποθετημένα σε διαφορετικό σημείο του χώρου - ίδιο μήκος, ίδια κλίση, ίδια φορά.

Αντίθετα διανύσματα ↩️ είναι δύο διανύσματα που έχουν:

• την ίδια διεύθυνση,
• το ίδιο μέτρο, αλλά
• αντίθετη φορά.

Αν τα διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{BA}$ είναι αντίθετα (πράγμα που ισχύει πάντα, αφού ενώνουν τα ίδια σημεία με αντίστροφη φορά), γράφουμε $\vec{AB} = -\vec{BA}$.