Κάθετες Ευθείες, Απόσταση Σημείου και Παράλληλων Ευθειών 📐

Πόσες ευθείες χωράνε σε ένα σημείο; ✏️

Πριν μιλήσουμε για κάθετες και παράλληλες, ας θυμηθούμε κάτι βασικό για τις ευθείες.

Αν έχεις δύο σημεία, π.χ. δύο καρφιά μπηγμένα σε έναν τοίχο, υπάρχει μόνο μία ευθεία που περνάει και από τα δύο. Ένα τεντωμένο σχοινί ανάμεσα στα δύο καρφιά έχει μία και μοναδική θέση — δεν μπορεί να «λοξέψει» αλλού και να συνεχίσει να αγγίζει και τα δύο καρφιά.

Αν όμως έχεις ένα μόνο σημείο, τα πράγματα αλλάζουν εντελώς. Από αυτό το ένα σημείο μπορούν να περάσουν άπειρες ευθείες. Σκέψου μια βελόνα καρφωμένη στη μέση ενός χαρτιού: μπορείς να περιστρέψεις το χαρτί γύρω από τη βελόνα όσο θέλεις, και κάθε φορά η βελόνα «σημαδεύει» πάνω σε μια διαφορετική ευθεία. Άπειρες στροφές, άπειρες ευθείες.

Τι είναι οι κάθετες ευθείες 📐

Φαντάσου δύο δρόμους που διασταυρώνονται σχηματίζοντας μια «τέλεια γωνία», σαν τη γωνία ενός κουτιού ή ενός τετράδιου. Αυτή η ειδική γωνία λέγεται ορθή γωνία και είναι ακριβώς 90 μοίρες (90°).

Δύο ευθείες λέγονται κάθετες όταν τέμνονται και σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία.

Για να δηλώσουμε ότι οι ευθείες $ε_1$ και $ε_2$ είναι κάθετες, γράφουμε:

Αυτό διαβάζεται «η ευθεία $ε_1$ είναι κάθετη με την ευθεία $ε_2$» ή, εξίσου σωστά, «οι $ε_1$ και $ε_2$ είναι κάθετες μεταξύ τους».

Πώς φέρνουμε μια κάθετη

Στην πράξη, μια κάθετη ευθεία τη φτιάχνουμε με τα εργαλεία του γεωμετρικού μας κουτιού:

• Με χάρακα και διαβήτη: γράφουμε τόξα που τέμνουν την αρχική ευθεία σε δύο σημεία, μετά γράφουμε δύο νέα τόξα από αυτά τα σημεία που τέμνονται σε ένα τρίτο σημείο, και ενώνουμε αυτό το σημείο με το αρχικό μας σημείο.
• Με χάρακα και γνώμονα (τρίγωνο χάρακα): ακουμπάμε τον χάρακα πάνω στην ευθεία και σύρουμε τον γνώμονα πάνω του μέχρι η κάθετη πλευρά του να περάσει από το σημείο που μας ενδιαφέρει.
• Με μοιρογνωμόνιο: τοποθετούμε το κέντρο του πάνω στο σημείο, ευθυγραμμίζουμε το 0° με την ευθεία, και σημειώνουμε το σημείο στην ένδειξη 90°.

Και οι τρεις μέθοδοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα: μια ευθεία που σχηματίζει ορθή γωνία με την αρχική.

Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος 📏

Ένα ειδικό είδος κάθετης ευθείας είναι η μεσοκάθετος. Ένα ευθύγραμμο τμήμα $ΑΒ$ έχει ένα μοναδικό μέσο — το σημείο Μ που το χωρίζει σε δύο ίσα κομμάτια. Η μεσοκάθετος είναι μια ευθεία $ε_1$ που κάνει δύο πράγματα ταυτόχρονα:

1. Είναι κάθετη στο τμήμα ΑΒ: $ε_1 \perp ΑΒ$
2. Περνάει από το μέσο Μ του ΑΒ

Και οι δύο συνθήκες πρέπει να ισχύουν μαζί. Μια ευθεία που είναι απλώς κάθετη στο ΑΒ αλλά δεν περνάει από το μέσο του δεν είναι μεσοκάθετος.

Απόσταση σημείου από ευθεία ↔️

Πόσο «μακριά» είναι ένα σημείο από μια ευθεία; Θα μπορούσαμε να τραβήξουμε πολλά διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα από το σημείο μέχρι την ευθεία — λοξά, κοντά, μακριά. Ποιο από όλα αυτά μετράμε ως «την» απόσταση;

Η απόσταση ενός σημείου Γ από μια ευθεία $ε$ είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ξεκινά από το σημείο Γ και φτάνει στην ευθεία $ε$, με την προϋπόθεση ότι αυτό το τμήμα είναι κάθετο στην $ε$.

Δηλαδή: αν φέρεις το τμήμα ΓΔ, με το Δ πάνω στην $ε$, και το ΓΔ είναι κάθετο στην $ε$, τότε το μήκος του ΓΔ είναι η απόσταση του Γ από την $ε$.

Η ίδια ιδέα χρησιμοποιείται και για να μετρήσουμε την απόσταση ενός σημείου από την πλευρά ενός σχήματος (π.χ. από την πλευρά ενός τριγώνου): φέρνουμε την κάθετη από το σημείο προς την πλευρά, και το μήκος αυτού του κάθετου τμήματος είναι η ζητούμενη απόσταση.

Παράλληλες ευθείες 🛤️

Δύο ευθείες που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν τις προεκτείνεις, λέγονται παράλληλες. Σκέψου τις δύο ράγες ενός τρένου: πηγαίνουν η μία δίπλα στην άλλη για πάντα, χωρίς ποτέ να συναντηθούν.

Υπάρχουν δύο χρήσιμοι τρόποι για να καταλάβουμε πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους, χωρίς καν να τις συγκρίνουμε απευθείας:

• Μέσω τρίτης ευθείας παράλληλης και στις δύο: αν οι ευθείες $ε_2$ και $ε_3$ είναι και οι δύο παράλληλες σε μια τρίτη ευθεία $ε_1$ — δηλαδή $ε_2 \parallel ε_1$ και $ε_3 \parallel ε_1$ — τότε είναι σίγουρα παράλληλες και μεταξύ τους: $ε_2 \parallel ε_3$.
• Μέσω τρίτης ευθείας κάθετης και στις δύο: αν δύο ευθείες είναι και οι δύο κάθετες σε μια τρίτη ευθεία, τότε είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό εξηγεί ακριβώς γιατί οι δύο ράγες του τρένου είναι παράλληλες: και οι δύο είναι κάθετες στις ίδιες εγκάρσιες ράβδους από κάτω τους.

Απόσταση παράλληλων ευθειών 📏

Όπως μετρήσαμε την απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία, μπορούμε να μετρήσουμε και την απόσταση ανάμεσα σε δύο παράλληλες ευθείες.

Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών είναι το μήκος οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος που είναι κάθετο και στις δύο ευθείες, με τα άκρα του πάνω σε αυτές.

Δηλαδή, αν έχεις τις παράλληλες ευθείες $ε_1$ και $ε_2$, η απόστασή τους είναι το μήκος ενός τμήματος ΑΒ όπου το Α είναι πάνω στην $ε_1$, το Β είναι πάνω στην $ε_2$, και το ΑΒ είναι κάθετο και στις δύο.

Στην πράξη, για να κατασκευάσουμε μια ευθεία παράλληλη σε μια άλλη και σε συγκεκριμένη απόσταση από αυτή (π.χ. 2 cm), φέρνουμε δύο κάθετα τμήματα μήκους 2 cm από την αρχική ευθεία, σε δύο διαφορετικά σημεία της, και ενώνουμε τα άκρα τους — η νέα ευθεία που προκύπτει είναι παράλληλη με την πρώτη και απέχει ακριβώς 2 cm από αυτή.