Η Γωνία 📐

Άνοιξε λίγο μια πόρτα. Βλέπεις το άνοιγμα ανάμεσα στην πόρτα και στον τοίχο; Αυτό το άνοιγμα είναι μια γωνία. Γωνίες βλέπεις παντού: στις άκρες ενός βιβλίου, στα δάχτυλα του ψαλιδιού όταν το ανοίγεις, στους δείκτες ενός ρολογιού. Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις τι ακριβώς είναι μια γωνία, πώς τη γράφουμε, πώς τη μετράμε και πώς συγκρίνουμε ή συνδυάζουμε γωνίες μεταξύ τους.

Το επίπεδο, ο «καμβάς» της γεωμετρίας 🌌

Πριν μιλήσουμε για γωνίες, χρειαζόμαστε έναν χώρο μέσα στον οποίο να τις σχεδιάσουμε. Αυτός ο χώρος λέγεται επίπεδο. Φαντάσου ένα τραπέζι τέλεια επίπεδο, χωρίς άκρες, που απλώνεται για πάντα προς όλες τις κατευθύνσεις — αυτό είναι ένα επίπεδο. Πάνω σε ένα επίπεδο, κάθε ευθεία γραμμή «κάθεται» τέλεια, χωρίς να ανασηκώνεται πουθενά.

Ένα επίπεδο το συμβολίζουμε είτε με ένα κεφαλαίο γράμμα (π.χ. επίπεδο $\Pi$) είτε με τρία σημεία του που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία (π.χ. επίπεδο ΑΒΓ).

Κάθε ευθεία που σχεδιάζεις πάνω σε ένα επίπεδο το χωρίζει στα δύο. Κάθε ένα από αυτά τα δύο κομμάτια λέγεται ημιεπίπεδο. Σκέψου έναν διάδρομο (την ευθεία) που χωρίζει μια αίθουσα σε «δεξιά» και «αριστερά» — αυτά τα δύο κομμάτια είναι τα δύο ημιεπίπεδα.

Τι είναι η γωνία 📐

Πάρε δύο ημιευθείες που ξεκινούν από το ίδιο σημείο. Αυτές οι δύο ημιευθείες χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές. Κάθε μία από αυτές τις περιοχές, μαζί με τις δύο ημιευθείες που την οριοθετούν, λέγεται γωνία.

Η γωνία έχει δύο βασικά «κομμάτια»:

Φαντάσου το ψαλίδι: το σημείο όπου βιδώνουν οι δύο λεπίδες είναι η κορυφή, και οι δύο λεπίδες είναι οι πλευρές της γωνίας. Όσο πιο πολύ ανοίγεις το ψαλίδι, τόσο μεγαλώνει η γωνία ανάμεσα στις λεπίδες.

Πώς γράφουμε μια γωνία ✍️

Μια γωνία μπορείς να τη συμβολίσεις με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους:

Στον τρόπο με τα τρία γράμματα, η σειρά των δύο άκρων δεν έχει σημασία — η κορυφή πρέπει πάντα να είναι στη μέση. Έτσι $\text{B}\hat{\text{A}}\Gamma$ και $\Gamma\hat{\text{A}}\text{B}$ είναι ακριβώς η ίδια γωνία.

Πώς μετράμε μια γωνία 📏

Το μέτρο μιας γωνίας είναι ο αριθμός που δείχνει πόσο «ανοιχτή» είναι — δηλαδή πόσο έχουν απομακρυνθεί οι δύο πλευρές της από την κορυφή. Το μετράμε σε μοίρες (σύμβολο $^\circ$), με το εργαλείο που λέγεται μοιρογνωμόνιο.

Για να μετρήσεις μια γωνία με το μοιρογνωμόνιο:

1. Τοποθέτησε το κέντρο του μοιρογνωμονίου ακριβώς πάνω στην κορυφή της γωνίας.
2. Ευθυγράμμισε τη μία πλευρά της γωνίας με το μηδέν ($0^\circ$) του μοιρογνωμονίου.
3. Διάβασε τον αριθμό στην κλίμακα από την οποία περνάει η δεύτερη πλευρά της γωνίας.

Η μοίρα χωρίζεται σε μικρότερες μονάδες, τα λεπτά — 1 μοίρα ισούται με 60 λεπτά (γράφεται $60'$), όπως ακριβώς 1 ώρα έχει 60 λεπτά. Χρησιμοποιούμε τα λεπτά όταν χρειαζόμαστε πιο ακριβή μέτρηση από μια «στρογγυλή» μοίρα.

Τα είδη των γωνιών ανάλογα με το μέτρο τους 🔍

Ανάλογα με το πόσο «ανοιχτές» είναι, οι γωνίες παίρνουν διαφορετικά ονόματα:

Δύο ακόμη κατηγορίες περιγράφουν πιο γενικά πόσο «ανοιχτή» είναι μια γωνία σε σχέση με την ευθεία γωνία:

Δηλαδή όλες οι οξείες, οι ορθές και οι αμβλείες γωνίες είναι κυρτές· μόλις περάσεις τα $180^\circ$ (χωρίς να φτάσεις τα $360^\circ$), η γωνία γίνεται μη κυρτή.

Ίσες γωνίες ✨

Δύο γωνίες λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο μέτρο. Αυτό σημαίνει ότι, αν μετακινούσες τη μία πάνω στην άλλη (χωρίς να την παραμορφώσεις), θα ταίριαζαν ακριβώς η μία πάνω στην άλλη — άσχετα από το πού βρίσκονται ή προς τα πού «κοιτάζουν» στο χαρτί. Το μέγεθος του σχεδίου, δηλαδή το πόσο μακριές είναι σχεδιασμένες οι πλευρές, δεν έχει καμία σημασία — μόνο το άνοιγμα μετράει.

Αν, για παράδειγμα, $\text{B}\hat{\text{A}}\Gamma = \text{E}\hat{\Delta}\text{Z}$, τότε οι δύο γωνίες είναι ίσες.

Εφεξής γωνίες: όταν δύο γωνίες «μοιράζονται τοίχο» 🤝

Δύο γωνίες λέγονται εφεξής όταν ισχύουν και οι τρεις παρακάτω συνθήκες μαζί:

1. Έχουν την ίδια κορυφή.
2. Έχουν μία κοινή πλευρά.
3. Δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο στο εσωτερικό τους — δηλαδή δεν αλληλεπικαλύπτονται.

Σκέψου δύο κομμάτια πίτσας δίπλα-δίπλα: μοιράζονται την κορυφή (το κέντρο της πίτσας) και μία ακτίνα (την κοπή ανάμεσά τους), αλλά το ένα κομμάτι δεν «μπαίνει» μέσα στο άλλο.

Παράδειγμα: οι γωνίες $\Gamma\hat{\text{A}}\Delta$ και $\Delta\hat{\text{A}}\text{B}$ είναι εφεξής, γιατί έχουν κοινή κορυφή το $\text{A}$, κοινή πλευρά την $\text{A}\Delta$, και δεν μοιράζονται κανένα άλλο εσωτερικό σημείο.

Ένα χρήσιμο αποτέλεσμα των εφεξής γωνιών: αν ξέρεις τα μέτρα δύο εφεξής γωνιών, το μέτρο της «μεγάλης» γωνίας που σχηματίζουν μαζί προκύπτει προσθέτοντάς τα. Για παράδειγμα, αν $\text{A}\hat{\text{O}}\Gamma = 23^\circ$ και $\text{B}\hat{\text{O}}\Gamma = 36^\circ$ είναι εφεξής (με κοινή πλευρά την $\text{O}\Gamma$ ανάμεσά τους), τότε:

Διαδοχικές γωνίες: μια «αλυσίδα» από εφεξής γωνίες 🔗

Όταν έχεις περισσότερες από δύο γωνίες στο ίδιο επίπεδο, και η καθεμιά είναι εφεξής με την προηγούμενή της και με την επόμενή της, τότε αυτές οι γωνίες λέγονται διαδοχικές γωνίες. Είναι σαν μια σειρά από κομμάτια πίτσας, το ένα δίπλα στο άλλο, γύρω από το ίδιο κέντρο.

Παράδειγμα: οι γωνίες $\text{E}\hat{\text{A}}\Gamma$, $\Gamma\hat{\text{A}}\Delta$ και $\Delta\hat{\text{A}}\text{B}$ είναι διαδοχικές, γιατί η καθεμιά είναι εφεξής με τη διπλανή της.