Τέλεια και Ατελής Διαίρεση ➗

Τι είναι η διαίρεση και οι όροι της

Όταν μοιράζουμε έναν αριθμό σε ίσα μέρη, κάνουμε μια διαίρεση. Η διαίρεση έχει τέσσερις βασικούς όρους, και κάθε ένας έχει τη δική του θέση και δουλειά:

• Διαιρετέος (Δ): ο αριθμός που μοιράζουμε.
• Διαιρέτης (δ): σε πόσα ίσα μέρη μοιράζουμε, ή το πόσα βάζουμε σε κάθε ομάδα.
• Πηλίκο (π): πόσα παίρνει το κάθε μέρος, δηλαδή το αποτέλεσμα της διαίρεσης.
• Υπόλοιπο (υ): όσα μένουν όταν δεν μπορούμε να μοιράσουμε άλλο ίσα.

Για παράδειγμα, στη διαίρεση $23 : 4$, ο διαιρετέος είναι το 23 και ο διαιρέτης το 4. Αν κάνουμε την πράξη, βρίσκουμε πηλίκο 5 και υπόλοιπο 3, γιατί $4 \times 5 = 20$ και $23 - 20 = 3$.

Τέλεια διαίρεση: όταν δεν περισσεύει τίποτα

Μια διαίρεση λέγεται τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι μοιράσαμε τον διαιρετέο σε ίσα μέρη και δεν έμεινε τίποτα απ' έξω.

Για παράδειγμα, $24 : 6 = 4$ με υπόλοιπο 0, γιατί $6 \times 4 = 24$ ακριβώς. Λέμε τότε ότι ο διαιρέτης (6) διαιρεί ακριβώς τον διαιρετέο (24), ή ότι ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη.

Ένας αριθμός διαιρεί ακριβώς μόνο τα πολλαπλάσιά του. Το 6 διαιρεί ακριβώς το 24 επειδή το 24 είναι πολλαπλάσιο του 6 ($6 \times 4$), αλλά δεν διαιρεί ακριβώς το 25, γιατί το 25 δεν είναι πολλαπλάσιο του 6.

Ατελής διαίρεση: όταν κάτι περισσεύει

Μια διαίρεση λέγεται ατελής όταν το υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο από το 0. Αυτό σημαίνει ότι, όσο κι αν προσπαθήσουμε, δεν μπορούμε να μοιράσουμε τον διαιρετέο σε ίσα μέρη χωρίς να μείνει κάτι απ' έξω.

Για παράδειγμα, $23 : 4 = 5$ με υπόλοιπο 3. Μοιράσαμε το 23 σε 4 ίσα μέρη όσο πιο δίκαια γινόταν (από 5 σε κάθε μέρος), αλλά 3 μονάδες δεν χωρούσαν άλλο ίσα και έμειναν υπόλοιπο.

Η τέλεια και η ατελής διαίρεση δεν είναι δύο διαφορετικές πράξεις· είναι η ίδια πράξη, με μόνη διαφορά αν το υπόλοιπο βγαίνει 0 ή όχι.

Ο κανόνας: το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη

Υπάρχει ένας κανόνας που ισχύει πάντα, σε κάθε διαίρεση: το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.

Αν, για παράδειγμα, διαιρούμε με το 4, το υπόλοιπο μπορεί να είναι μόνο 0, 1, 2 ή 3 — ποτέ 4 ή παραπάνω. Αν κάποτε βρεις υπόλοιπο ίσο ή μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση δεν έχει τελειώσει σωστά: ο διαιρέτης χωράει άλλη μία (ή παραπάνω) φορές μέσα στο υπόλοιπο, οπότε το πηλίκο πρέπει να μεγαλώσει.

Η ταυτότητα της διαίρεσης: πώς ελέγχουμε αν κάναμε σωστά την πράξη

Υπάρχει ένας τρόπος να ελέγξουμε αν μια διαίρεση είναι σωστή, χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό. Λέγεται ταυτότητα της διαίρεσης και συνδέει και τους τέσσερις όρους:

Δηλαδή: διαιρετέος ίσον διαιρέτης επί πηλίκο, συν υπόλοιπο.

Ας το ελέγξουμε στο παράδειγμα $23 : 4$, όπου βρήκαμε πηλίκο 5 και υπόλοιπο 3:

Βγήκε ακριβώς ο διαιρετέος (23), άρα η διαίρεση είναι σωστή. Αυτός ο έλεγχος δουλεύει πάντα, είτε η διαίρεση είναι τέλεια είτε ατελής. Στην τέλεια διαίρεση απλώς το υ είναι 0, οπότε η ταυτότητα γίνεται $Δ = δ \times π$.

Τι σημαίνει το υπόλοιπο σε ένα πρόβλημα της καθημερινής ζωής

Στα προβλήματα, το υπόλοιπο δεν είναι απλώς ένας αριθμός που μένει· έχει νόημα ανάλογα με την κατάσταση.

Φαντάσου ότι έχεις 23 αυτοκόλλητα και θέλεις να τα μοιράσεις σε 4 φίλους σου, δίνοντας στον καθένα τον ίδιο αριθμό. Η διαίρεση $23 : 4 = 5$ με υπόλοιπο 3 σημαίνει ότι κάθε φίλος σου παίρνει 5 αυτοκόλλητα, και σε σένα μένουν 3 αυτοκόλλητα που δεν μπορούν να μοιραστούν ξανά ίσα.

Άλλες φορές, το υπόλοιπο αλλάζει την τελική απάντηση. Αν έχεις 23 μαθητές και θέλεις να τους χωρίσεις σε ομάδες των 4 για ένα παιχνίδι, θα φτιάξεις 5 πλήρεις ομάδες των 4 παιδιών, αλλά θα μείνουν 3 παιδιά χωρίς ομάδα — οπότε ίσως χρειαστεί μια έκτη, μικρότερη ομάδα, ή να μοιραστούν τα 3 παιδιά στις υπόλοιπες ομάδες.

Γι' αυτό, όταν λύνεις ένα πρόβλημα με διαίρεση, δεν αρκεί να βρεις το πηλίκο και το υπόλοιπο· πρέπει πάντα να σκεφτείς τι σημαίνει το υπόλοιπο μέσα στην ιστορία του προβλήματος, πριν γράψεις την τελική απάντηση.