Προσθέτω και αφαιρώ μεγάλους αριθμούς ➕➖

Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι δύο από τις πιο βασικές πράξεις στα μαθηματικά. Τις χρησιμοποιούμε κάθε φορά που θέλουμε να βρούμε πόσα πράγματα έχουμε συνολικά ή πόσα μας απομένουν. Με μονοψήφιους και διψήφιους αριθμούς τις κάνεις εύκολα με το νου. Όταν όμως οι αριθμοί μεγαλώνουν — χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες — χρειαζόμαστε έναν σταθερό, αξιόπιστο τρόπο για να μην κάνουμε λάθος. Αυτός ο τρόπος είναι η κάθετη διάταξη.

Η κάθετη διάταξη

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε μεγάλους αριθμούς, τους γράφουμε τον έναν κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε ψηφία της ίδιας αξίας να βρίσκονται στην ίδια στήλη: μονάδες κάτω από μονάδες, δεκάδες κάτω από δεκάδες, εκατοντάδες κάτω από εκατοντάδες, χιλιάδες κάτω από χιλιάδες. Αυτό λέγεται κάθετη διάταξη της πράξης.

\begin{array}{r} 2.504 \\ +\ 769 \\ \hline 3.273 \\ \end{array}

Πρόσεξε ότι το 769 δεν έχει ψηφίο χιλιάδων, γι' αυτό η μονάδα του (9) μπαίνει κάτω από τη μονάδα του 2.504 (4), όχι στην αρχή της γραμμής.

Το πιο συχνό λάθος στην κάθετη διάταξη

Πολλά παιδιά ευθυγραμμίζουν τους αριθμούς αριστερά αντί να ευθυγραμμίζουν τα ψηφία της ίδιας αξίας. Αν γράψεις το 769 ακριβώς κάτω από το 2.504 ξεκινώντας από το ίδιο σημείο αριστερά, θα προσθέσεις 7 εκατοντάδες με 2 χιλιάδες σαν να ήταν ίδιας αξίας — και το αποτέλεσμα θα βγει εντελώς λάθος. Ευθυγράμμισε πάντα από τις μονάδες προς τα αριστερά.

Υπολογίζουμε τις στήλες ξεκινώντας πάντα από τις μονάδες, προχωρώντας προς τα αριστερά (δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες).

Το κρατούμενο στην πρόσθεση

Όταν το άθροισμα δύο ψηφίων της ίδιας στήλης φτάνει ή ξεπερνάει το 10, δεν χωράει σε μία θέση. Κρατάμε τη μονάδα στη στήλη αυτή και μεταφέρουμε 1 στην επόμενη στήλη αριστερά — αυτό λέγεται κρατούμενο.

\begin{array}{r} 5.009 \\ +\ 1.207 \\ \hline 6.216 \\ \end{array}

Στις μονάδες: $9 + 7 = 16$ . Γράφουμε 6 και κρατάμε 1 δεκάδα, την οποία προσθέτουμε στη στήλη των δεκάδων.

Γιατί λέγεται «κρατούμενο»;

Η λέξη προέρχεται από το ρήμα «κρατώ» — κρατάμε στο χέρι μας (νοερά) το κομμάτι του αθροίσματος που δεν χωράει στη στήλη, μέχρι να το προσθέσουμε στην επόμενη. Μπορεί να χρειαστεί κρατούμενο σε παραπάνω από μία στήλη στην ίδια πράξη, ακόμα και σε όλες!

Το δανεικό στην αφαίρεση

Στην αφαίρεση μπορεί να συμβεί το αντίθετο πρόβλημα: το ψηφίο του μειωτέου σε μια στήλη να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο ψηφίο του αφαιρετέου. Τότε «δανειζόμαστε» 1 μονάδα από την επόμενη στήλη αριστερά, η οποία μετατρέπεται σε 10 μονάδες της τρέχουσας στήλης — αυτό λέγεται δανεικό.

\begin{array}{r} 8.034 \\ -\ 6.425 \\ \hline 1.609 \\ \end{array}

Στις μονάδες, το 4 είναι μικρότερο από το 5, οπότε δανειζόμαστε 1 δεκάδα από τις δεκάδες: $14 - 5 = 9$ . Η διαδικασία συνεχίζεται στήλη-στήλη προς τα αριστερά, όσες φορές χρειαστεί.

Πρόσεξε τη σειρά στην αφαίρεση

Στην αφαίρεση η σειρά έχει σημασία: το $9 - 5$ δεν είναι το ίδιο με το $5 - 9$ . Πάντα αφαιρούμε τον αφαιρετέο από τον μειωτέο, με τη σειρά που δίνεται στο πρόβλημα — ποτέ αντίστροφα. Επίσης, χωρίς αρνητικούς αριθμούς, δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε έναν μεγαλύτερο αριθμό από έναν μικρότερο.

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Η πρόσθεση έχει δύο χρήσιμες ιδιότητες που τη διευκολύνουν πολύ.

Αντιμεταθετική ιδιότητα: Μπορούμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς με όποια σειρά θέλουμε — το αποτέλεσμα μένει ίδιο.

2.504 + 769 = 769 + 2.504

Προσεταιριστική ιδιότητα: Όταν προσθέτουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, μπορούμε να τους ομαδοποιήσουμε όπως μας βολεύει — το αποτέλεσμα δεν αλλάζει.

(316 + 26) + 7.530 = 316 + (26 + 7.530)

Αυτές οι δύο ιδιότητες μάς επιτρέπουν να κάνουμε την ομαδοποίηση: όταν προσθέτουμε πολλούς αριθμούς, ψάχνουμε ζευγάρια που μαζί δίνουν στρογγυλό αριθμό, τα προσθέτουμε πρώτα, και μετά συνεχίζουμε με τα υπόλοιπα.

1.070 + 2.640 + 2.430 + 1.860 + 510

Ομαδοποιούμε: $(1.070 + 2.430) + (2.640 + 1.860) + 510 = 3.500 + 4.500 + 510 = 8.510$

Η αφαίρεση δεν έχει αυτές τις ιδιότητες

Ούτε η αντιμεταθετική ούτε η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύουν στην αφαίρεση. Το $10 - 4$ δεν είναι ίδιο με το $4 - 10$ , και το $(10 - 4) - 2$ δεν είναι ίδιο με το $10 - (4 - 2)$ . Στην αφαίρεση η σειρά και η ομαδοποίηση δεν είναι ελεύθερες επιλογές.

Πρόσθεση και αφαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις

Η πρόσθεση και η αφαίρεση συνδέονται στενά: η μία «αναιρεί» την άλλη. Λέμε ότι είναι αντίστροφες πράξεις.

Αν γνωρίζουμε ότι $178 + 136 = 314$ , τότε αυτόματα γνωρίζουμε και δύο αφαιρέσεις:

314 - 136 = 178 \qquad \text{και} \qquad 314 - 178 = 136

Με τον ίδιο τρόπο, αν $750 - 100 = 650$ , τότε $650 + 100 = 750$ . Αυτή η σχέση είναι πολύ χρήσιμη, γιατί μας δίνει έναν τρόπο να ελέγχουμε αν μια πράξη είναι σωστή.

Πώς επαληθεύουμε το αποτέλεσμα

Η επαλήθευση μας βοηθά να βεβαιωθούμε ότι δεν κάναμε λάθος.

Για να επαληθεύσουμε μια πρόσθεση, αφαιρούμε έναν προσθετέο από το άθροισμα· πρέπει να προκύψει ο άλλος προσθετέος.
Για να επαληθεύσουμε μια αφαίρεση, προσθέτουμε τη διαφορά με τον αφαιρετέο· πρέπει να προκύψει ο μειωτέος.

Παράδειγμα: Αν κάποιος υπολογίσει $3.565 + 2.193$ και βρει 5.658, ελέγχουμε αφαιρώντας: $5.658 - 2.193 = 3.465$ . Επειδή 3.465 ≠ 3.565, καταλαβαίνουμε ότι το αρχικό αποτέλεσμα ήταν λάθος.

Εκτίμηση με στρογγυλοποίηση

Πριν ή μετά από μια πράξη, είναι χρήσιμο να κάνουμε μια γρήγορη εκτίμηση του αποτελέσματος, για να ελέγξουμε αν το ακριβές αποτέλεσμα μας «βγάζει νόημα». Το κάνουμε με στρογγυλοποίηση.

Για παράδειγμα, για να εκτιμήσουμε το $490 + 315$ , στρογγυλοποιούμε: $500 + 300 = 800$ . Το ακριβές αποτέλεσμα (805) είναι πολύ κοντά σε αυτή την εκτίμηση, οπότε ξέρουμε ότι είναι λογικό.

Η εκτίμηση δεν αντικαθιστά τον ακριβή υπολογισμό

Η στρογγυλοποίηση δίνει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα, όχι το ακριβές. Τη χρησιμοποιούμε για να ελέγξουμε αν μια απάντηση είναι λογική, όχι για να την αντικαταστήσουμε. Αν το ακριβές αποτέλεσμα απέχει πολύ από την εκτίμηση, αυτό είναι σημάδι ότι μάλλον έγινε λάθος στην πράξη.