Τα Πολύγωνα 📐
Γύρω μας υπάρχουν παντού σχήματα: το τραπέζι της τάξης, ένα κομμάτι πίτσα, μια σημαία, ένα κουτί. Πολλά από αυτά τα σχήματα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: φτιάχνονται μόνο από ευθείες γραμμές που κλείνουν και σχηματίζουν ένα σχήμα χωρίς άνοιγμα. Αυτά τα σχήματα τα λέμε πολύγωνα. Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε τι ακριβώς είναι ένα πολύγωνο, από τι αποτελείται και πώς το ονομάζουμε ανάλογα με τις πλευρές του.
Τι είναι μια τεθλασμένη γραμμή
Πριν μιλήσουμε για τα πολύγωνα, πρέπει να γνωρίσουμε την τεθλασμένη γραμμή. Είναι μια γραμμή που δεν πηγαίνει ίσια συνέχεια, αλλά αλλάζει κατεύθυνση σε κάποια σημεία, σαν μονοπάτι με απότομες στροφές. Κάθε "κομμάτι" της τεθλασμένης γραμμής είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα, και ενώνεται με το επόμενο σε ένα σημείο.
Μια τεθλασμένη γραμμή μπορεί να είναι:
- Ανοιχτή: το τελευταίο της σημείο δεν συναντά το πρώτο, οπότε η γραμμή "μένει ανοιχτή".
- Κλειστή: το τελευταίο σημείο της γραμμής επιστρέφει και ενώνεται με το πρώτο, οπότε δημιουργείται ένα κλειστό σχήμα χωρίς κανένα άνοιγμα.
Μόνο η κλειστή τεθλασμένη γραμμή μπορεί να σχηματίσει πολύγωνο.
Τι είναι το πολύγωνο
Ένα πολύγωνο είναι ακριβώς αυτό: μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή. Για να είναι ένα σχήμα πολύγωνο, πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα δύο πράγματα:
- Να αποτελείται μόνο από ευθύγραμμα τμήματα — καμία πλευρά του δεν επιτρέπεται να είναι καμπύλη.
- Να είναι κλειστό — όλες οι πλευρές να ενώνονται μεταξύ τους, χωρίς κανένα άνοιγμα ή "κενό".
Αν λείπει έστω και ένα από τα δύο, το σχήμα δεν είναι πολύγωνο. Ένας κύκλος, για παράδειγμα, είναι κλειστός αλλά αποτελείται από καμπύλη γραμμή, όχι από ευθύγραμμα τμήματα — άρα δεν είναι πολύγωνο. Ένα σχήμα που μοιάζει με τετράγωνο αλλά έχει ένα "άνοιγμα" σε μια γωνία δεν είναι κλειστό — άρα ούτε αυτό είναι πολύγωνο.
Πολλά παιδιά μπερδεύουν σχήματα με καμπύλες πλευρές (όπως τον κύκλο ή μισό κύκλο) με τα πολύγωνα. Θυμήσου: αν το σχήμα έχει έστω και μία καμπύλη πλευρά, δεν είναι πολύγωνο — άσχετα αν είναι κλειστό. Πολύγωνο σημαίνει ευθείες πλευρές, όλες μαζί, κλειστές.
Πλευρές, κορυφές και γωνίες
Κάθε πολύγωνο αποτελείται από τρία βασικά στοιχεία:
- Πλευρές: τα ευθύγραμμα τμήματα από τα οποία φτιάχνεται το πολύγωνο.
- Κορυφές: τα σημεία όπου συναντιούνται δύο πλευρές. Σε κάθε κορυφή "σμίγουν" ακριβώς δύο πλευρές.
- Γωνίες: ανοίγματα που σχηματίζονται σε κάθε κορυφή, ανάμεσα στις δύο πλευρές που συναντιούνται εκεί.
Σε κάθε πολύγωνο, ο αριθμός των πλευρών, ο αριθμός των κορυφών και ο αριθμός των γωνιών είναι πάντα ίσοι μεταξύ τους. Αν ένα πολύγωνο έχει 5 πλευρές, θα έχει σίγουρα και 5 κορυφές και 5 γωνίες.
Ανάμεσα στις γωνίες ξεχωρίζει η ορθή γωνία — τη γωνία που έχει η γωνία ενός φύλλου χαρτιού ή η γωνία ενός τετραγώνου. Για να δούμε αν μια γωνία ενός πολυγώνου είναι ορθή, χρησιμοποιούμε ένα εργαλείο που λέγεται γνώμονας. Ένα πολύγωνο μπορεί να έχει καμία, μία ή περισσότερες ορθές γωνίες.
Πώς ονομάζουμε τα πολύγωνα
Τα πολύγωνα παίρνουν το όνομά τους από τον αριθμό των πλευρών τους. Όσο περισσότερες πλευρές έχει ένα πολύγωνο, τόσο διαφορετικό όνομα παίρνει:
| Αριθμός πλευρών | Αριθμός κορυφών | Όνομα πολυγώνου |
|---|---|---|
| 3 | 3 | Τρίγωνο |
| 4 | 4 | Τετράπλευρο |
| 5 | 5 | Πεντάγωνο (ή πεντάπλευρο) |
| 6 | 6 | Εξάγωνο (ή εξάπλευρο) |
| 7 | 7 | Επτάγωνο (ή επτάπλευρο) |
Το πολύγωνο με τις λιγότερες δυνατές πλευρές είναι το τρίγωνο, αφού χρειάζονται τουλάχιστον 3 ευθύγραμμα τμήματα για να κλείσει ένα σχήμα. Δεν υπάρχει πολύγωνο με 1 ή 2 πλευρές.
Η ονομασία των πολυγώνων συνεχίζεται και πέρα από το επτάγωνο: οκτάγωνο (8 πλευρές), εννεάγωνο (9 πλευρές), δεκάγωνο (10 πλευρές) και ούτω καθεξής. Όσο πιο πολλές πλευρές έχει ένα πολύγωνο, τόσο περισσότερο μοιάζει —με μια πρώτη ματιά— με κύκλο!
Κανονικά πολύγωνα
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχουν όλες τις πλευρές του το ίδιο μήκος και όλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους. Και οι δύο προϋποθέσεις πρέπει να ισχύουν μαζί.
Για παράδειγμα, το τετράγωνο είναι κανονικό τετράπλευρο: όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του είναι ορθές. Αντίθετα, ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο έχει όλες τις γωνίες ίσες (ορθές), αλλά όχι όλες τις πλευρές ίσες — άρα δεν είναι κανονικό πολύγωνο. Ένα πολύγωνο μπορεί κάλλιστα να έχει τον σωστό αριθμό πλευρών (π.χ. να είναι πεντάγωνο) χωρίς να είναι κανονικό, αν οι πλευρές ή οι γωνίες του δεν είναι όλες ίσες.
Η περίμετρος του πολυγώνου
Η περίμετρος ενός πολυγώνου είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του. Είναι σαν να μετράμε πόσο σχοινί θα χρειαζόμασταν για να "τυλίξουμε" ακριβώς το περίγραμμα του σχήματος.
Για να βρούμε την περίμετρο, προσθέτουμε τα μήκη όλων των πλευρών, μία-μία, όσες κι αν είναι. Έτσι, ένα τρίγωνο με πλευρές 5 εκατοστά, 4 εκατοστά και 3 εκατοστά έχει περίμετρο
εκατοστά. Δύο πολύγωνα μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικό αριθμό πλευρών και σχήμα, και όμως να έχουν την ίδια περίμετρο — αρκεί το άθροισμα των πλευρών τους να βγαίνει το ίδιο.
Χωρίζοντας ένα πολύγωνο σε τρίγωνα
Κάθε πολύγωνο, όσες πλευρές κι αν έχει, μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα, τραβώντας ευθύγραμμα τμήματα από μία κορυφή (ή από το κέντρο του) προς τις υπόλοιπες κορυφές. Αυτό είναι χρήσιμο γιατί το τρίγωνο είναι το πιο απλό πολύγωνο, και βοηθά να μελετήσουμε πιο σύνθετα σχήματα σπάζοντάς τα σε απλούστερα κομμάτια.