Ίσα Σχήματα – Ισότητα Τριγώνων 📐

Πότε δύο σχήματα λέγονται ίσα 🤝

Φαντάσου ότι έχεις ένα σχήμα σχεδιασμένο σε διαφανές χαρτί. Αν μπορείς να το σηκώσεις, να το μετακινήσεις (χωρίς να το τεντώσεις ή να το ζουλήξεις) και να το ακουμπήσεις πάνω σε ένα άλλο σχήμα έτσι ώστε να ταυτιστούν απόλυτα, τότε τα δύο σχήματα είναι ίσα.

Η μετακίνηση αυτή λέγεται μετατόπιση και μπορεί να περιλαμβάνει:

• απλή μετακίνηση σε ευθεία (χωρίς στροφή),
• στροφή (περιστροφή γύρω από ένα σημείο),
• ακόμα και "γύρισμα" του σχήματος από την ανάποδη (σαν να το βλέπεις σε καθρέφτη).

Το μόνο που δεν επιτρέπεται είναι να αλλάξεις το μέγεθος ή το σχήμα του αντικειμένου. Δύο σχήματα με το ίδιο "περίγραμμα" αλλά διαφορετικό μέγεθος (π.χ. μια φωτογραφία και η μεγέθυνσή της) δεν είναι ίσα, όσο κι αν "μοιάζουν".

Αντίστοιχα στοιχεία δύο ίσων σχημάτων 🔗

Όταν δύο σχήματα ταυτίζονται με μετατόπιση, κάθε κορυφή του πρώτου σχήματος πέφτει ακριβώς πάνω σε μία κορυφή του δεύτερου. Το ίδιο συμβαίνει με τις πλευρές και τις γωνίες. Αυτά τα ζευγάρια στοιχείων που ταυτίζονται ονομάζονται αντίστοιχα στοιχεία.

Αν δύο σχήματα είναι ίσα, τότε:

• κάθε πλευρά του ενός είναι ίση με την αντίστοιχη πλευρά του άλλου,
• κάθε γωνία του ενός είναι ίση με την αντίστοιχη γωνία του άλλου.

Παράδειγμα. Έστω ότι το πολύγωνο με κορυφές Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι ίσο με ένα άλλο πολύγωνο με κορυφές Μ, Θ, Η, Κ, Ζ, και ξέρουμε ότι η αντιστοιχία των κορυφών είναι: το Α αντιστοιχεί στο Ζ, το Β στο Μ, το Γ στο Θ, το Δ στο Η, και το Ε στο Κ. Τότε:

• Γωνίες ίσες ανά ζεύγη: η γωνία στο Α με τη γωνία στο Ζ, η γωνία στο Β με τη γωνία στο Μ, η γωνία στο Γ με τη γωνία στο Θ, η γωνία στο Δ με τη γωνία στο Η, η γωνία στο Ε με τη γωνία στο Κ.
• Πλευρές ίσες ανά ζεύγη: η πλευρά ΑΒ με την πλευρά ΖΜ, η πλευρά ΒΓ με την πλευρά ΜΘ, η πλευρά ΓΔ με την πλευρά ΘΗ, η πλευρά ΔΕ με την πλευρά ΗΚ, η πλευρά ΕΑ με την πλευρά ΚΖ.

Πρόσεξε πώς κάθε πλευρά "διαβάζεται" από τις δύο διαδοχικές κορυφές που ενώνει, και το αντίστοιχο ζευγάρι πλευρών προκύπτει αυτόματα από την αντιστοιχία των κορυφών.

Ισότητα τριγώνων 🔺

Το τρίγωνο είναι ένα ειδικό είδος σχήματος (πολύγωνο με τρεις πλευρές και τρεις γωνίες), οπότε ό,τι ισχύει για τα ίσα σχήματα ισχύει φυσικά και για τα τρίγωνα.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν, με κατάλληλη μετατόπιση (μετακίνηση, στροφή ή και "γύρισμα"), το ένα μπορεί να ταυτιστεί απόλυτα με το άλλο.

Όταν δύο τρίγωνα είναι ίσα, ισχύουν πάντα και τα δύο παρακάτω:

1. Οι πλευρές τους είναι ίσες, η καθεμία με την αντίστοιχή της.
2. Οι γωνίες τους είναι ίσες, η καθεμία με την αντίστοιχή της.

Ο συμβολισμός της αντιστοιχίας κορυφών ✍️

Όταν γράφουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, π.χ. τρίγωνο ΑΒΓ ίσο με τρίγωνο ΔΕΖ, η σειρά με την οποία γράφουμε τα γράμματα δεν είναι τυχαία. Δηλώνει ακριβώς ποια κορυφή αντιστοιχεί σε ποια:

• η Α αντιστοιχεί στη Δ (γράφονται πρώτες και στα δύο ονόματα),
• η Β αντιστοιχεί στην Ε (γράφονται δεύτερες),
• η Γ αντιστοιχεί στη Ζ (γράφονται τρίτες).

Από την αντιστοιχία των κορυφών προκύπτει αυτόματα ποιες πλευρές και ποιες γωνίες είναι ίσες. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ, με την αντιστοιχία Α↔Δ, Β↔Ε, Γ↔Ζ, τότε:

Λυμένα παραδείγματα 📝

Παράδειγμα 1. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα και ισχύει: η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΚΛ, η πλευρά ΒΓ είναι ίση με την πλευρά ΜΛ, και η πλευρά ΓΑ είναι ίση με την πλευρά ΚΜ. Ζητείται να βρεθούν οι αντίστοιχες ίσες γωνίες.

Βήμα 1 — Βρίσκουμε την αντιστοιχία κορυφών από τις πλευρές.
Η πλευρά ΑΒ (ανάμεσα σε Α και Β) αντιστοιχεί στην ΚΛ (ανάμεσα σε Κ και Λ). Η πλευρά ΓΑ (ανάμεσα σε Γ και Α) αντιστοιχεί στην ΚΜ (ανάμεσα σε Κ και Μ). Το γράμμα Α εμφανίζεται και στις δύο πλευρές ΑΒ και ΓΑ, ενώ το Κ εμφανίζεται και στις δύο ΚΛ και ΚΜ. Άρα το Α αντιστοιχεί στο Κ.
Αφού Α↔Κ, και ΑΒ↔ΚΛ, συμπεραίνουμε Β↔Λ. Και αφού ΒΓ↔ΜΛ με Β↔Λ ήδη γνωστό, το Γ αντιστοιχεί στο Μ.
Τελική αντιστοιχία: Α↔Κ, Β↔Λ, Γ↔Μ.

Βήμα 2 — Γράφουμε τις αντίστοιχες γωνίες.
Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα με αυτή την αντιστοιχία κορυφών, οι γωνίες είναι ίσες ανά ζεύγη σύμφωνα με την αντιστοιχία:

• η γωνία στο Α είναι ίση με τη γωνία στο Κ,
• η γωνία στο Β είναι ίση με τη γωνία στο Λ,
• η γωνία στο Γ είναι ίση με τη γωνία στο Μ.

Παράδειγμα 2. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα και δίνεται ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΜΚ, και η γωνία στο Α είναι ίση με τη γωνία στο Μ. Ζητούνται όλα τα αντίστοιχα ίσα στοιχεία.

Βήμα 1 — Ξεκινάμε από όσα δίνονται.
Η γωνία στο Α αντιστοιχεί στη γωνία στο Μ, άρα Α↔Μ.
Η πλευρά ΑΒ αντιστοιχεί στην ΜΚ. Αφού ήδη ξέρουμε Α↔Μ, το άλλο άκρο της ΑΒ (δηλαδή το Β) πρέπει να αντιστοιχεί στο άλλο άκρο της ΜΚ (δηλαδή στο Κ). Άρα Β↔Κ.
Το τρίτο γράμμα προκύπτει αυτόματα: Γ↔Λ.

Βήμα 2 — Καταγράφουμε όλα τα αντίστοιχα ίσα στοιχεία.
Πλευρές: ΑΒ = ΜΚ (δοσμένο), ΒΓ = ΚΛ, ΑΓ = ΜΛ.
Γωνίες: γωνία Α = γωνία Μ (δοσμένο), γωνία Β = γωνία Κ, γωνία Γ = γωνία Λ.

Πώς ελέγχουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα στην πράξη 🔍

Στην πράξη δεν μετακινούμε πραγματικά τα τρίγωνα κάθε φορά. Χρησιμοποιούμε ένα διαφανές χαρτί (ή τη φαντασία μας): αντιγράφουμε το ένα τρίγωνο πάνω σε διαφανές χαρτί, το τοποθετούμε πάνω στο άλλο, και ελέγχουμε αν —με μετακίνηση, στροφή ή γύρισμα— οι κορυφές, οι πλευρές και οι γωνίες συμπίπτουν ακριβώς. Αν ναι, τα τρίγωνα είναι ίσα.

Αυτή η ιδιότητα ισχύει και για πολύγωνα με περισσότερες πλευρές (τετράπλευρα, πεντάγωνα κ.λπ.): αν δύο πολύγωνα είναι ίσα, όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους (πλευρές και γωνίες) είναι ίσα, ανεξάρτητα από το πλήθος των πλευρών τους.