Πρόσθεση – Αφαίρεση Ρητών Αλγεβρικών Παραστάσεων ➕➖

Μια ρητή αλγεβρική παράσταση είναι ένα κλάσμα με πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Για να προσθέσεις ή να αφαιρέσεις τέτοιες παραστάσεις δουλεύεις ακριβώς όπως με τα κλάσματα αριθμών: χρειάζεσαι κοινό παρονομαστή. Η διαφορά είναι ότι τώρα ο κοινός παρονομαστής βγαίνει από παραγοντοποίηση πολυωνύμων, όχι από ανάλυση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Σε κάθε παράσταση με μεταβλητή στον παρονομαστή θυμήσου: ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν. Όποτε γράφεις μια τέτοια παράσταση, σκέψου ποιες τιμές της μεταβλητής πρέπει να αποκλείσεις.

Παραστάσεις με τον ίδιο παρονομαστή 🟰

Όταν δύο ρητές παραστάσεις έχουν ίδιο παρονομαστή, προσθέτεις ή αφαιρείς μόνο τους αριθμητές και κρατάς τον παρονομαστή όπως είναι:

\frac{Α}{Β} + \frac{Γ}{Β} = \frac{Α + Γ}{Β} \qquad \frac{Α}{Β} - \frac{Γ}{Β} = \frac{Α - Γ}{Β}

Αυτό ισχύει επειδή το $Β$ είναι ήδη κοινό — δεν χρειάζεται καμία μετατροπή, μόνο η πράξη στους αριθμητές.

Παράδειγμα: Να υπολογίσεις $\dfrac{x+3}{y+2} - \dfrac{x-2}{y+2}$ .

Ο παρονομαστής είναι ίδιος ( $y+2$ ), οπότε αφαιρείς τους αριθμητές:

\frac{x+3}{y+2} - \frac{x-2}{y+2} = \frac{(x+3) - (x-2)}{y+2} = \frac{x+3-x+2}{y+2} = \frac{5}{y+2}

Το μείον αλλάζει ΟΛΟΥΣ τους όρους ⚠️

Στην αφαίρεση, ο δεύτερος αριθμητής πρέπει να μπει σε παρένθεση: $\dfrac{Α}{Β} - \dfrac{Γ}{Β} = \dfrac{Α - (Γ)}{Β}$ . Αν ο δεύτερος αριθμητής έχει πάνω από έναν όρο, το πρόσημο «−» μπροστά από την παρένθεση αλλάζει το πρόσημο σε κάθε όρο μέσα σε αυτήν, όχι μόνο στον πρώτο. Λάθος: $x+3-x-2$ (άλλαξε μόνο το πρώτο πρόσημο). Σωστό: $x+3-x+2$ (άλλαξαν και τα δύο πρόσημα του $x-2$ ).

Εύρεση ΕΚΠ παρονομαστών 🔍

Όταν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, πρέπει πρώτα να τους κάνεις ίδιους. Ο κοινός παρονομαστής που χρησιμοποιείς είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών.

Για να βρεις το ΕΚΠ πολυωνύμων:

Παραγοντοποιείς κάθε παρονομαστή πλήρως (κοινός παράγοντας, ταυτότητες, ομαδοποίηση — ό,τι χρειάζεται).
Γράφεις όλους τους παράγοντες που εμφανίζονται, κοινούς και μη-κοινούς.
Για κάθε παράγοντα, κρατάς τον μεγαλύτερο εκθέτη με τον οποίο εμφανίζεται σε οποιονδήποτε παρονομαστή.
Το ΕΚΠ είναι το γινόμενο αυτών των παραγόντων με τους εκθέτες που διάλεξες.

Γιατί χρειάζεται παραγοντοποίηση πρώτα;

Αν δεν παραγοντοποιήσεις, δεν βλέπεις τους κοινούς παράγοντες και καταλήγεις σε πολύ μεγαλύτερο κοινό παρονομαστή απ' όσο χρειάζεται. Για παράδειγμα, οι παρονομαστές $x^2-4$ και $x^2-2x$ φαίνονται εντελώς διαφορετικοί, αλλά παραγοντοποιημένοι είναι $(x-2)(x+2)$ και $x(x-2)$ — μοιράζονται τον παράγοντα $(x-2)$ . Το ΕΚΠ είναι $x(x-2)(x+2)$ , όχι το γινόμενο $(x^2-4)\cdot(x^2-2x)$ .

Παράδειγμα: Βρες το ΕΚΠ των $2x$ και $x+1$ .

Και οι δύο παρονομαστές είναι ήδη σε απλή μορφή (δεν παραγοντοποιούνται άλλο) και δεν έχουν κοινό παράγοντα. Άρα το ΕΚΠ είναι απλώς το γινόμενό τους:

\text{ΕΚΠ}(2x,\ x+1) = 2x(x+1)

Παράδειγμα με κοινό παράγοντα: Βρες το ΕΚΠ των $x^2-1$ και $x+1$ .

Παραγοντοποιείς: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Ο παράγοντας $(x+1)$ είναι κοινός στους δύο παρονομαστές, ο $(x-1)$ εμφανίζεται μόνο στον πρώτο. Άρα:

\text{ΕΚΠ}\big((x-1)(x+1),\ x+1\big) = (x-1)(x+1)

Παραστάσεις με διαφορετικούς παρονομαστές: όλη η διαδικασία 🛠️

Όταν οι παρονομαστές διαφέρουν, ακολουθείς πάντα τα ίδια βήματα:

Βήμα	Τι κάνεις
1	Παραγοντοποιείς κάθε παρονομαστή.
2	Βρίσκεις το ΕΚΠ των παρονομαστών.
3	Μετατρέπεις κάθε κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή το ΕΚΠ (πολλαπλασιάζεις αριθμητή και παρονομαστή με ό,τι λείπει).
4	Κάνεις την πρόσθεση/αφαίρεση μόνο στους αριθμητές, κρατώντας το ΕΚΠ ως κοινό παρονομαστή.
5	Απλοποιείς το τελικό κλάσμα, αν γίνεται.

Παράδειγμα (χωρίς κοινό παράγοντα στους παρονομαστές): Υπολόγισε $\dfrac{x+1}{2x} + \dfrac{2}{x+1}$ .

Βήμα 1-2. Οι παρονομαστές $2x$ και $x+1$ δεν παραγοντοποιούνται περαιτέρω και δεν έχουν κοινό παράγοντα. ΕΚΠ $= 2x(x+1)$ .

Βήμα 3. Μετατρέπεις κάθε κλάσμα:

\frac{x+1}{2x} = \frac{(x+1)(x+1)}{2x(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{2x(x+1)} \qquad \frac{2}{x+1} = \frac{2\cdot 2x}{(x+1)\cdot 2x} = \frac{4x}{2x(x+1)}

Βήμα 4. Προσθέτεις τους αριθμητές:

\frac{(x+1)^2}{2x(x+1)} + \frac{4x}{2x(x+1)} = \frac{(x+1)^2+4x}{2x(x+1)} = \frac{x^2+2x+1+4x}{2x(x+1)} = \frac{x^2+6x+1}{2x(x+1)}

Βήμα 5. Ο αριθμητής $x^2+6x+1$ δεν παραγοντοποιείται με τους παράγοντες του παρονομαστή, άρα το κλάσμα έχει ήδη την τελική του μορφή (με $x\neq 0,\ x\neq -1$ ).

Παράδειγμα (με παραγοντοποίηση παρονομαστή και απλοποίηση στο τέλος): Υπολόγισε $\dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x+1}$ .

Βήμα 1. Παραγοντοποιείς: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Περιορισμός: $x\neq \pm1$ .

Βήμα 2. Ο παρονομαστής $x+1$ είναι ήδη μέσα στην παραγοντοποίηση του πρώτου. ΕΚΠ $=(x-1)(x+1)$ .

Βήμα 3. Το πρώτο κλάσμα έχει ήδη το ΕΚΠ ως παρονομαστή. Το δεύτερο το μετατρέπεις:

\frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}

Βήμα 4. Αφαιρείς τους αριθμητές, προσέχοντας την παρένθεση:

\frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}

Βήμα 5. Ο παράγοντας $(x+1)$ υπάρχει και στον αριθμητή και στον παρονομαστή — απλοποιείς:

\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}, \qquad x\neq \pm 1

Γιατί το τελευταίο βήμα δεν είναι προαιρετικό

Μια ρητή παράσταση θεωρείται «λυμένη» μόνο όταν είναι στην απλούστερη δυνατή μορφή. Αν ξεχάσεις να ελέγξεις για κοινό παράγοντα στο τέλος, δίνεις σωστή αλλά όχι πλήρη απάντηση — σαν να αφήνεις ένα αριθμητικό κλάσμα σαν $\frac{6}{8}$ αντί για $\frac{3}{4}$ .

Άθροισμα ή διαφορά τριών ή περισσότερων παραστάσεων ➕➖➕

Η ίδια διαδικασία επεκτείνεται σε περισσότερους από δύο όρους: παραγοντοποιείς όλους τους παρονομαστές, βρίσκεις το κοινό ΕΚΠ όλων μαζί, μετατρέπεις κάθε κλάσμα, και μετά κάνεις όλες τις προσθαφαιρέσεις στους αριθμητές με τη σειρά που εμφανίζονται.

Παράδειγμα: Υπολόγισε $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3x} - \dfrac{1}{5x}$ .

Οι παρονομαστές $x,\ 3x,\ 5x$ έχουν όλοι τον παράγοντα $x$ , και οι συντελεστές $1, 3, 5$ έχουν ΕΚΠ το $15$ . Άρα ΕΚΠ $=15x$ :

\frac{1}{x} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{5x} = \frac{15}{15x} + \frac{5}{15x} - \frac{3}{15x} = \frac{15+5-3}{15x} = \frac{17}{15x}

Πρόσεξε ότι όταν αφαιρείς έναν όρο με πρόσημο «−» μπροστά από κλάσμα με έναν μόνο όρο στον αριθμητή, αλλάζει το πρόσημο μόνο εκείνου του όρου· ο κανόνας της παρένθεσης χρειάζεται όταν ο αριθμητής που αφαιρείς έχει πάνω από έναν όρο.

Πότε το αποτέλεσμα απλοποιείται σε ακέραιο 🎯

Μερικές φορές, μετά την πρόσθεση/αφαίρεση, ο αριθμητής βγαίνει ίδιος με τον παρονομαστή (ή πολλαπλάσιό του) και το κλάσμα απλοποιείται εντελώς.

Παράδειγμα: Υπολόγισε $\dfrac{3x}{x+2} + \dfrac{6}{x+2}$ .

Ίδιος παρονομαστής, άρα προσθέτεις τους αριθμητές:

\frac{3x}{x+2} + \frac{6}{x+2} = \frac{3x+6}{x+2} = \frac{3(x+2)}{x+2} = 3, \qquad x\neq -2

Ο αριθμητής παραγοντοποιήθηκε και ο παράγοντας $(x+2)$ απλοποιήθηκε πλήρως με τον παρονομαστή, αφήνοντας μόνο τον αριθμό $3$ .

Ρητές παραστάσεις σε πρόβλημα 📐

Οι ρητές παραστάσεις εμφανίζονται και σε προβλήματα, όχι μόνο σε γυμνές ασκήσεις. Η λογική είναι ίδια: γράφεις κάθε ποσότητα ως κλάσμα, βρίσκεις κοινό παρονομαστή, προσθέτεις.

Παράδειγμα: Κάποιος πληκτρολογεί $ν$ λέξεις το λεπτό. Ο χρόνος για $300$ , $100$ και $900$ λέξεις είναι αντίστοιχα $\dfrac{300}{ν}$ , $\dfrac{100}{ν}$ , $\dfrac{900}{ν}$ λεπτά. Το συνολικό άθροισμα:

\frac{300}{ν}+\frac{100}{ν}+\frac{900}{ν}=\frac{300+100+900}{ν}=\frac{1300}{ν}

Το αποτέλεσμα $\dfrac{1300}{ν}$ εκφράζει τον συνολικό χρόνο (σε λεπτά) για να πληκτρολογηθούν συνολικά $1300$ λέξεις με ρυθμό $ν$ λέξεων το λεπτό.