Πολλαπλασιασμός – Διαίρεση Ρητών Αλγεβρικών Παραστάσεων ✖️

Μια ρητή αλγεβρική παράσταση είναι ένα κλάσμα όπου αριθμητής και παρονομαστής μπορεί να περιέχουν μεταβλητές, π.χ. $\frac{x+1}{x-2}$ . Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση τέτοιων παραστάσεων γίνονται ακριβώς όπως στα κλάσματα που ήδη ξέρεις, με ένα επιπλέον βήμα: πριν κάνεις οποιαδήποτε πράξη, παραγοντοποιείς και απλοποιείς. Αυτό το βήμα κάνει τους υπολογισμούς πολύ πιο εύκολους.

Πολλαπλασιασμός ρητών παραστάσεων

Ο κανόνας είναι ο ίδιος με τον πολλαπλασιασμό αριθμητικών κλασμάτων: πολλαπλασιάζεις αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.

Αν $A, B, \Gamma, \Delta$ είναι αλγεβρικές παραστάσεις (με $B \neq 0$ και $\Delta \neq 0$ ), τότε:

\frac{A}{B} \cdot \frac{\Gamma}{\Delta} = \frac{A \cdot \Gamma}{B \cdot \Delta}

Το πρόβλημα είναι ότι, αν πολλαπλασιάσεις πρώτα και μετά προσπαθήσεις να απλοποιήσεις, τα πολυώνυμα που προκύπτουν γίνονται μεγάλα και δύσκολα στην παραγοντοποίηση. Γι' αυτό ακολουθείς πάντα αυτή τη σειρά βημάτων:

Παραγοντοποιείς κάθε αριθμητή και κάθε παρονομαστή ξεχωριστά (κοινός παράγοντας, ταυτότητες, ομαδοποίηση — ό,τι ταιριάζει).
Απλοποιείς κοινούς παράγοντες ανάμεσα σε οποιονδήποτε αριθμητή και οποιονδήποτε παρονομαστή (όχι μόνο "σταυρωτά" στο ίδιο κλάσμα).
Πολλαπλασιάζεις ό,τι απόμεινε.

Απλοποιείς παράγοντες, όχι όρους!

Απλοποίηση επιτρέπεται μόνο σε κοινό παράγοντα ολόκληρου αριθμητή και παρονομαστή, ποτέ σε μεμονωμένο όρο μέσα σε άθροισμα. Στο $\dfrac{3x}{x^2-3x+2}$ ΔΕΝ μπορείς να "σβήσεις" το $3x$ με το $-3x$ του παρονομαστή — το $x^2-3x+2$ είναι ένα άθροισμα, όχι γινόμενο, μέχρι να το παραγοντοποιήσεις σε $(x-2)(x-1)$ .

Παράδειγμα 1

Να υπολογίσεις: $\dfrac{x^2-9}{x-3}\cdot\dfrac{2x}{6+2x}$

Βήμα 1 — Παραγοντοποίηση.

x^2-9=(x-3)(x+3), \qquad 6+2x=2(x+3)

Άρα η παράσταση γίνεται:

\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\cdot\frac{2x}{2(x+3)}

Βήμα 2 — Απλοποίηση κοινών παραγόντων.
Απλοποιείς το $(x-3)$ με το $(x-3)$ , και το $2$ με το $2$ , και το $(x+3)$ με το $(x+3)$ :

\frac{\cancel{(x-3)}\,\cancel{(x+3)}}{\cancel{x-3}}\cdot\frac{2x}{\cancel{2}\,\cancel{(x+3)}} = x

Βήμα 3 — Περιορισμοί.
Ο παρονομαστής της αρχικής παράστασης μηδενίζεται όταν $x=3$ ή $x=-3$ . Άρα το αποτέλεσμα ισχύει για $x\neq \pm3$ .

Αποτέλεσμα: $x$ , με $x\neq \pm 3$ .

Παράδειγμα 2 (με τρία κλάσματα)

Να υπολογίσεις: $\dfrac{xy^2}{x^2+3x-18}\cdot\dfrac{4x+24}{xy}\cdot\dfrac{1}{4y}$

Παραγοντοποίηση: $x^2+3x-18=(x+6)(x-3)$ και $4x+24=4(x+6)$ .

\frac{xy^2}{(x+6)(x-3)}\cdot\frac{4(x+6)}{xy}\cdot\frac{1}{4y}

Απλοποιείς $x$ , $y$ , $4$ και $(x+6)$ όπου εμφανίζονται και στους τρεις παρονομαστές/αριθμητές:

\frac{\cancel{x}\,\cancel{y^2}\,\cancel{4}\,\cancel{(x+6)}}{(x-3)\,\cancel{x}\,\cancel{y}\,\cancel{4}\,y} = \frac{1}{x-3}

Αποτέλεσμα: $\dfrac{1}{x-3}$ (με $x\neq 0, 3, -6$ και $y\neq 0$ ).

Γιατί βοηθάει η απλοποίηση πριν;

Όσα περισσότερα κλάσματα πολλαπλασιάζεις μαζί, τόσο πιο πολύπλοκο γίνεται το γινόμενο αν το υπολογίσεις πρώτα. Απλοποιώντας νωρίς, δουλεύεις πάντα με μικρά, διαχειρίσιμα πολυώνυμα.

Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Η διαίρεση κλασμάτων μετατρέπεται πάντα σε πολλαπλασιασμό: πολλαπλασιάζεις το πρώτο κλάσμα με τον αντίστροφο του δεύτερου.

Αν $A, B, \Gamma, \Delta$ είναι αλγεβρικές παραστάσεις (με $B, \Gamma, \Delta \neq 0$ ), τότε:

\frac{A}{B} : \frac{\Gamma}{\Delta} = \frac{A}{B} \cdot \frac{\Delta}{\Gamma} = \frac{A \cdot \Delta}{B \cdot \Gamma}

Δηλαδή αντιστρέφεις μόνο το δεύτερο κλάσμα (τον διαιρέτη) και μετά συνεχίζεις όπως σε πολλαπλασιασμό: παραγοντοποίηση, απλοποίηση, πολλαπλασιασμός.

Αντιστρέφεις τον διαιρέτη, όχι το πρώτο κλάσμα!

Στη διαίρεση $\dfrac{A}{B} : \dfrac{\Gamma}{\Delta}$ , αυτό που αντιστρέφεται είναι το δεύτερο κλάσμα (ο διαιρέτης), όχι το πρώτο. Ένα πολύ συνηθισμένο λάθος είναι να γράψεις $\dfrac{B}{A}\cdot\dfrac{\Gamma}{\Delta}$ — λάθος! Το σωστό είναι πάντα $\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{\Delta}{\Gamma}$ .

Παράδειγμα 3

Να απλοποιήσεις: $\dfrac{1}{a^2-9} : \dfrac{a^2-3a+9}{a^3+27}$

Βήμα 1 — Περιορισμοί ορισμού.
$a^2-9\neq0 \Rightarrow a\neq\pm3$ , και $a^3+27\neq0 \Rightarrow a\neq-3$ . Συνολικά: $a\neq\pm3$ .

Βήμα 2 — Μετατροπή σε πολλαπλασιασμό (αντιστρέφεις τον διαιρέτη):

\frac{1}{a^2-9}\cdot \frac{a^3+27}{a^2-3a+9}

Βήμα 3 — Παραγοντοποίηση.
$a^2-9=(a-3)(a+3)$ και $a^3+27=a^3+3^3=(a+3)(a^2-3a+9)$ (άθροισμα κύβων).

\frac{1}{(a-3)(a+3)}\cdot \frac{(a+3)(a^2-3a+9)}{a^2-3a+9}

Βήμα 4 — Απλοποίηση.
Απλοποιείς $(a^2-3a+9)$ και $(a+3)$ :

\frac{1}{(a-3)(a+3)}\cdot (a+3)=\frac{1}{a-3}

Αποτέλεσμα: $\dfrac{1}{a-3}$ , με $a\neq\pm3$ .

Παράδειγμα 4 (σύνθετο κλάσμα)

Ένα κλάσμα μέσα σε κλάσμα, όπως $\dfrac{\;\frac{x(x+1)}{x^2-1}\;}{2x}$ , είναι απλώς μια διαίρεση: ο αριθμητής της "μεγάλης γραμμής" διαιρείται με τον παρονομαστή της.

\frac{\frac{x(x+1)}{x^2-1}}{2x} = \frac{x(x+1)}{x^2-1}\cdot\frac{1}{2x} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{1}{2x} = \frac{1}{2(x-1)}

Το $2x$ γράφεται ως $\dfrac{2x}{1}$ , οπότε ο αντίστροφός του είναι $\dfrac{1}{2x}$ .

Επιτρεπτές τιμές της μεταβλητής

Σε κάθε ρητή παράσταση, οι τιμές που μηδενίζουν κάποιον παρονομαστή (είτε στην αρχική παράσταση είτε σε ενδιάμεσο βήμα, π.χ. στον διαιρέτη πριν αντιστραφεί) αποκλείονται. Πρέπει να τις εντοπίζεις πριν απλοποιήσεις, γιατί μετά την απλοποίηση ο περιορισμός μπορεί να "χαθεί" από την τελική μορφή, αλλά εξακολουθεί να ισχύει.

Στη διαίρεση $\dfrac{A}{B} : \dfrac{\Gamma}{\Delta}$ πρέπει $B\neq0$ , $\Gamma\neq0$ (γιατί το $\Gamma$ γίνεται παρονομαστής στον αντίστροφο) και $\Delta\neq0$ .

Σύγκριση πολλαπλασιασμού και διαίρεσης

Βήμα	Πολλαπλασιασμός $\frac{A}{B}\cdot\frac{\Gamma}{\Delta}$	Διαίρεση $\frac{A}{B}:\frac{\Gamma}{\Delta}$
1. Μετατροπή	— (μένει πολλαπλασιασμός)	Αντιστρέφεις τον διαιρέτη: γίνεται $\frac{A}{B}\cdot\frac{\Delta}{\Gamma}$
2. Παραγοντοποίηση	Κάθε αριθμητή/παρονομαστή	Κάθε αριθμητή/παρονομαστή
3. Απλοποίηση	Κοινοί παράγοντες αριθμητών-παρονομαστών	Κοινοί παράγοντες αριθμητών-παρονομαστών
4. Πράξη	Αριθμητής · αριθμητής, παρονομαστής · παρονομαστής	Ίδιο, μετά τη μετατροπή
Περιορισμοί	$B\neq0,\ \Delta\neq0$	$B\neq0,\ \Gamma\neq0,\ \Delta\neq0$

Παράδειγμα 5 — εφαρμογή με μονάδες

Οι ίδιοι κανόνες χρησιμοποιούνται και σε πρακτικά προβλήματα, π.χ. μετατροπές μονάδων, όπου οι "μονάδες" απλοποιούνται σαν να ήταν μεταβλητές:

20\,\text{λεπτά}\cdot \frac{75\,\text{χιλιόμετρα}}{1\,\text{ώρα}}\cdot \frac{1\,\text{ώρα}}{60\,\text{λεπτά}} = 20\cdot 75\cdot \frac{1}{60}\,\text{χιλιόμετρα} = 25\ \text{χιλιόμετρα}

Τα "λεπτά" απλοποιούνται με τα "λεπτά" και οι "ώρες" με τις "ώρες" — ακριβώς όπως απλοποιείς κοινούς παράγοντες σε ρητές παραστάσεις.