Αξιοσημείωτη Ταυτότητα (α+β)(α–β) ✖️

Ξέρεις ήδη πώς αναπτύσσεις το $(α+β)^2$ και το $(α-β)^2$ . Υπάρχει όμως κι ένας τρίτος συνδυασμός που εμφανίζεται συνέχεια στην άλγεβρα: τι γίνεται όταν πολλαπλασιάζεις το άθροισμα δύο όρων επί τη διαφορά τους; Η απάντηση είναι τόσο απλή που αξίζει να τη μάθεις απ' έξω, γιατί θα σε γλιτώνει από πολλή δουλειά.

Η ταυτότητα 📐

Όταν πολλαπλασιάζεις το άθροισμα δύο όρων επί τη διαφορά τους (με την ίδια σειρά όρων και στις δύο παρενθέσεις), το αποτέλεσμα είναι η διαφορά των τετραγώνων τους:

(α+β)(α-β) = α^2 - β^2

Εδώ τα α και β μπορούν να είναι αριθμοί, μεταβλητές ή ολόκληρες αλγεβρικές παραστάσεις. Παρατήρησε το σχήμα της ταυτότητας: στο αριστερό μέλος έχεις δύο παρενθέσεις με τους ίδιους όρους, μία με «+» και μία με «-». Στο δεξί μέλος δεν υπάρχει καθόλου μεσαίος όρος — μόνο τα δύο τετράγωνα, το ένα αφαιρεμένο από το άλλο.

Αυτός είναι ο λόγος που ονομάζεται και ταυτότητα διαφοράς τετραγώνων. Οι δύο παρενθέσεις $(α+β)$ και $(α-β)$ λέγονται και συζυγείς παραστάσεις, γιατί έχουν τους ίδιους όρους με αντίθετο πρόσημο ανάμεσά τους.

Το πιο συνηθισμένο λάθος

Το $(α+β)(α-β)$ δεν είναι το ίδιο με $(α-β)^2$ ή με $(α+β)^2$ . Το αποτέλεσμα εδώ είναι $α^2 - β^2$ — χωρίς μεσαίο όρο, με μείον ανάμεσα στα τετράγωνα. Μην το μπερδεύεις με το ανάπτυγμα του τετραγώνου, όπου έχεις $α^2 \pm 2αβ + β^2$ . Πρόσεξε επίσης τη σειρά: αν οι όροι δεν είναι ίδιοι στις δύο παρενθέσεις (π.χ. $(α+β)(β-α)$ ), η ταυτότητα ΔΕΝ εφαρμόζεται όπως είναι — χρειάζεται πρώτα αναδιάταξη.

Γιατί ισχύει; Η απόδειξη 🔍

Δεν χρειάζεται να πιστέψεις την ταυτότητα «στα τυφλά» — μπορείς να την αποδείξεις εύκολα με την επιμεριστική ιδιότητα, ακριβώς όπως αναπτύσσεις οποιοδήποτε γινόμενο δύο παρενθέσεων.

Ξεκινάς από το αριστερό μέλος:

(α+β)(α-β)

Βήμα 1. Πολλαπλασιάζεις τον πρώτο όρο της πρώτης παρένθεσης (το α) με κάθε όρο της δεύτερης παρένθεσης:

α \cdot α + α \cdot (-β) = α^2 - αβ

Βήμα 2. Πολλαπλασιάζεις τον δεύτερο όρο της πρώτης παρένθεσης (το β) με κάθε όρο της δεύτερης παρένθεσης:

β \cdot α + β \cdot (-β) = βα - β^2

Βήμα 3. Προσθέτεις τα δύο αποτελέσματα:

α^2 - αβ + βα - β^2

Βήμα 4. Παρατηρείς ότι οι όροι $-αβ$ και $+βα$ είναι αντίθετοι, αφού $αβ = βα$ (η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι αντιμεταθετική). Άρα αλληλοαναιρούνται:

α^2 - αβ + βα - β^2 = α^2 - β^2

Καταλήγεις ακριβώς στο δεξί μέλος. Η ταυτότητα αποδείχθηκε:

(α+β)(α-β) = α^2 - β^2

Γιατί «χάνεται» ο μεσαίος όρος

Στο τετράγωνο αθροίσματος οι δύο μεσαίοι όροι είναι ίδιοι ( $+αβ+αβ=2αβ$ ) και προστίθενται. Εδώ όμως οι δύο μεσαίοι όροι είναι αντίθετοι ( $-αβ$ και $+βα$ ) και αλληλοαναιρούνται. Αυτή η μικρή διαφορά στο πρόσημο είναι όλη η ουσία της ταυτότητας: γι' αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καθόλου μεσαίο όρο.

Μια γεωμετρική εικόνα 🟪

Μπορείς να «δεις» την ταυτότητα και με εμβαδά. Φαντάσου ένα τετράγωνο με πλευρά α. Το εμβαδόν του είναι $α^2$ . Αν αφαιρέσεις από μια γωνιά του ένα μικρότερο τετράγωνο με πλευρά β, το σχήμα που απομένει έχει εμβαδόν $α^2 - β^2$ . Αν κόψεις αυτό το σχήμα σε δύο κομμάτια και τα ενώσεις κατάλληλα, σχηματίζεται ένα ορθογώνιο με πλευρές $α+β$ και $α-β$ , δηλαδή με εμβαδόν $(α+β)(α-β)$ . Επειδή το εμβαδόν δεν άλλαξε, οι δύο παραστάσεις είναι ίσες:

(α+β)(α-β) = α^2 - β^2

Εφαρμογή σε αλγεβρικές παραστάσεις 🧮

Για να εφαρμόσεις την ταυτότητα, πρέπει να αναγνωρίσεις ποιος όρος παίζει τον ρόλο του α και ποιος του β.

Παράδειγμα 1. Υπολόγισε το $(x-3)(x+3)$ .

Εδώ $x$ είναι το α και $3$ είναι το β. Εφαρμόζεις απευθείας:

(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9

Παράδειγμα 2. Υπολόγισε το $(2ω+5)(5-2ω)$ .

Οι όροι δεν είναι στην ίδια σειρά και στις δύο παρενθέσεις. Χρησιμοποιείς την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης για να γράψεις $5-2ω = -2ω+5$ ... αλλά πιο εύκολα, ξαναγράφεις τη δεύτερη παρένθεση ως $(5-2ω)$ στη σειρά «α, β» με $α=5, β=2ω$ , και τη πρώτη ως $(5+2ω)$ :

(2ω+5)(5-2ω) = (5+2ω)(5-2ω) = 5^2 - (2ω)^2 = 25 - 4ω^2

Παράδειγμα 3. Υπολόγισε το $2κ^2 - (κ-1)(κ+1)$ .

Πρώτα δουλεύεις το γινόμενο των συζυγών παραστάσεων:

(κ-1)(κ+1) = κ^2 - 1

Μετά αντικαθιστάς και κάνεις τις πράξεις:

2κ^2 - (κ^2-1) = 2κ^2 - κ^2 + 1 = κ^2 + 1

Πρόσεξε την παρένθεση γύρω από το $κ^2-1$ : επειδή μπροστά της υπάρχει μείον, το πρόσημο κάθε όρου μέσα της αλλάζει όταν «ανοίγεις» την παρένθεση.

Γρήγοροι νοεροί υπολογισμοί ⚡

Η πιο εντυπωσιακή χρήση της ταυτότητας είναι στους νοερούς υπολογισμούς. Όταν θες να πολλαπλασιάσεις δύο αριθμούς που είναι και οι δύο «κοντά» σε έναν στρογγυλό αριθμό — ο ένας λίγο πιο πάνω, ο άλλος λίγο πιο κάτω — μπορείς να τους γράψεις ως $(α+β)$ και $(α-β)$ και να δουλέψεις μόνο με τετράγωνα.

Παράδειγμα. Υπολόγισε νοερά το $21 \cdot 19$ .

Παρατηρείς ότι το $21$ και το $19$ απέχουν και τα δύο $1$ μονάδα από το $20$ . Γράφεις:

21 \cdot 19 = (20+1)(20-1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399

Αντί να κάνεις πολλαπλασιασμό διψήφιων αριθμών με το χέρι, έκανες μόνο ένα τετράγωνο στρογγυλού αριθμού και μια αφαίρεση.

Ακόμη ένα παράδειγμα. Υπολόγισε το $32 \cdot 28$ .

Το $32$ και το $28$ απέχουν και τα δύο $2$ μονάδες από το $30$ :

32 \cdot 28 = (30+2)(30-2) = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896

Γινόμενο	Στρογγυλός αριθμός (α)	Απόσταση (β)	Υπολογισμός	Αποτέλεσμα
$21 \cdot 19$	20	1	$20^2-1^2$	399
$32 \cdot 28$	30	2	$30^2-2^2$	896
$101 \cdot 99$	100	1	$100^2-1^2$	9999
$198 \cdot 202$	200	2	$200^2-2^2$	39996

Το κόλπο δουλεύει μόνο όταν οι δύο αριθμοί απέχουν την ίδια απόσταση από τον στρογγυλό αριθμό στη μέση τους — ένας προς τα πάνω, ένας προς τα κάτω κατά το ίδιο ποσό.

Πότε αξίζει να ψάξεις για αυτό το κόλπο

Αν δεις δύο αριθμούς που ο ένας είναι λίγο μεγαλύτερος και ο άλλος λίγο μικρότερος από έναν κοινό «στρογγυλό» αριθμό (π.χ. δεκάδα, εκατοντάδα), σκέψου αμέσως τη διαφορά τετραγώνων. Είναι πολύ πιο γρήγορο από τον κάθετο πολλαπλασιασμό.