Το Τραπέζιο 📐

Τι είναι το τραπέζιο

Φαντάσου δύο ίσιους δρόμους που δεν συναντιούνται ποτέ, δηλαδή είναι παράλληλοι, αλλά έχουν διαφορετικό μήκος. Αν ενώσεις τις άκρες τους με δύο ακόμα δρόμους, φτιάχνεις ένα σχήμα με τέσσερις πλευρές, όπου μόνο οι δύο από αυτές είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό το σχήμα λέγεται τραπέζιο.

Πιο αυστηρά, ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο όταν έχει ακριβώς ένα ζευγάρι πλευρών παράλληλες, ενώ το άλλο ζευγάρι πλευρών δεν είναι παράλληλο.

Πάρε ένα τετράπλευρο με κορυφές Α, Β, Γ, Δ, το οποίο γράφουμε ΑΒΓΔ ακολουθώντας τις κορυφές γύρω-γύρω. Αν η πλευρά ΑΒ είναι παράλληλη με την απέναντί της πλευρά ΓΔ, ενώ οι άλλες δύο πλευρές (ΒΓ και ΑΔ) δεν είναι παράλληλες μεταξύ τους, τότε το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με:

Οι δύο παράλληλες πλευρές, δηλαδή η ΑΒ και η ΓΔ, ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου. Συνήθως τη μεγαλύτερη από τις δύο τη λέμε μεγάλη βάση και τη μικρότερη μικρή βάση. Οι άλλες δύο πλευρές, η ΒΓ και η ΑΔ, δεν έχουν κάποιο ειδικό όνομα ως σύνολο — απλώς λέμε ότι είναι οι μη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου.

Ανάμεσα στις δύο βάσεις υπάρχει μια απόσταση, αφού η μία είναι πιο «ψηλά» και η άλλη πιο «χαμηλά» (ή η μία πιο αριστερά και η άλλη πιο δεξιά, ανάλογα πώς είναι στραμμένο το σχήμα). Αυτή η απόσταση ονομάζεται ύψος του τραπεζίου, και είναι πάντα η κάθετη απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες βάσεις — όχι η απόσταση μετρημένη πλάγια. Σκέψου το ύψος ενός κτιρίου: δεν είναι η διαγώνια απόσταση από τη μια γωνία της στέγης μέχρι το έδαφος, αλλά η κατακόρυφη απόσταση από τη βάση μέχρι την κορυφή.

Το ορθογώνιο τραπέζιο

Μερικές φορές μία από τις μη παράλληλες πλευρές τυχαίνει να είναι κάθετη στις βάσεις. Σε αυτή την περίπτωση, αυτή η πλευρά σχηματίζει ορθή γωνία (δηλαδή $90°$) με καθεμιά από τις δύο βάσεις ταυτόχρονα, αφού οι βάσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Ένα τραπέζιο που έχει μία ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιο τραπέζιο. Αν σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ παράλληλη στη ΓΔ η γωνία στην κορυφή Α είναι ορθή, τότε αυτόματα και η γωνία στην κορυφή Δ είναι ορθή, γιατί οι δύο αυτές γωνίες βρίσκονται και οι δύο πάνω στην πλευρά ΑΔ, ανάμεσα στις δύο παράλληλες βάσεις — άρα το άθροισμά τους είναι $180°$, και αφού η μία είναι $90°$, η άλλη είναι κι αυτή $90°$.

Αυτό σημαίνει κάτι πολύ χρήσιμο στην πράξη: σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο, η κάθετη πλευρά είναι το ύψος του τραπεζίου. Δεν χρειάζεται να φανταστείς ένα ξεχωριστό κάθετο τμήμα — το ύψος «ταυτίζεται» με μία από τις πλευρές του σχήματος, κάτι που κάνει τους υπολογισμούς πιο απλούς.

Το ισοσκελές τραπέζιο

Μια άλλη ειδική περίπτωση τραπεζίου προκύπτει όταν οι δύο μη παράλληλες πλευρές έχουν το ίδιο ακριβώς μήκος. Ένα τέτοιο τραπέζιο ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο — ακριβώς όπως ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, έτσι και το ισοσκελές τραπέζιο έχει τις δύο «πλάγιες» πλευρές του ίσες.

Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ παράλληλη στη ΓΔ και τις μη παράλληλες πλευρές ΒΓ και ΑΔ ίσες, ισχύει:

Αυτή η συμμετρία στο μήκος των πλευρών φέρνει μαζί της και άλλες δύο σημαντικές ιδιότητες, που δεν ισχύουν σε ένα τυχαίο τραπέζιο.

Οι γωνίες της ίδιας βάσης είναι ίσες

Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, οι δύο γωνίες που «κάθονται» πάνω στην ίδια βάση είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Δηλαδή, οι δύο γωνίες της μεγάλης βάσης είναι ίσες η μία με την άλλη, και το ίδιο συμβαίνει και με τις δύο γωνίες της μικρής βάσης.

Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ που περιγράψαμε πιο πάνω, οι γωνίες στην κορυφή Α και στην κορυφή Β βρίσκονται και οι δύο πάνω στη βάση ΑΒ, άρα:

Το ίδιο ισχύει και για τις γωνίες της άλλης βάσης:

Επιπλέον, όπως σε κάθε τραπέζιο, οι γωνίες που βρίσκονται πάνω στην ίδια μη παράλληλη πλευρά είναι παραπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους είναι $180°$, αφού οι βάσεις είναι παράλληλες και η πλάγια πλευρά λειτουργεί σαν τέμνουσα. Έτσι, αν γνωρίζεις μία μόνο γωνία ενός ισοσκελούς τραπεζίου, μπορείς να υπολογίσεις και τις άλλες τρεις: τη «δίπλα» της (στην ίδια βάση) γιατί είναι ίση, και τις άλλες δύο γιατί είναι παραπληρωματικές με τις δύο πρώτες.

Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Κάθε τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους — τα τμήματα που ενώνουν τις δύο απέναντι κορυφές. Στο ΑΒΓΔ, η μία διαγώνιος είναι η ΑΓ (ενώνει το Α με το Γ) και η άλλη είναι η ΒΔ (ενώνει το Β με το Δ).

Σε ένα τυχαίο τραπέζιο οι δύο διαγώνιοι μπορεί να έχουν διαφορετικό μήκος. Όμως σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, οι δύο διαγώνιοι έχουν πάντα το ίδιο μήκος:

Η διάμεσος του τραπεζίου

Υπάρχει ένα ακόμα ευθύγραμμο τμήμα μέσα σε κάθε τραπέζιο που αξίζει να γνωρίζεις, ακόμα κι αν δεν φαίνεται με την πρώτη ματιά: η διάμεσος του τραπεζίου.

Πάρε τα μέσα των δύο μη παράλληλων πλευρών ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ — δηλαδή το σημείο που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της πλευράς ΑΔ, ας το πούμε Μ, και το σημείο που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της πλευράς ΒΓ, ας το πούμε Ν. Το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ που ενώνει αυτά τα δύο μέσα ονομάζεται διάμεσος του τραπεζίου.

Η διάμεσος έχει δύο ιδιότητες που τη συνδέουν άμεσα με τις βάσεις:

• Είναι παράλληλη και στις δύο βάσεις: $ΜΝ \parallel ΑΒ \parallel ΓΔ$.
• Το μήκος της είναι το ημιάθροισμα των δύο βάσεων, δηλαδή το μισό του αθροίσματός τους:

Σκέψου γιατί βγαίνει λογικό αυτό το αποτέλεσμα: καθώς προχωράς από τη μικρή βάση προς τη μεγάλη βάση μέσα στο τραπέζιο, το πλάτος του σχήματος αυξάνεται σταδιακά και ομοιόμορφα. Στο ακριβώς μισό της απόστασης —εκεί που βρίσκεται η διάμεσος— το πλάτος είναι κι αυτό «στη μέση» ανάμεσα στο πλάτος της μικρής και στο πλάτος της μεγάλης βάσης, δηλαδή ο μέσος όρος τους.

Το εμβαδόν του τραπεζίου

Το εμβαδόν ενός τραπεζίου μας λέει πόσο χώρο καλύπτει το σχήμα. Ο τύπος του εμβαδού συνδέεται στενά με όσα μόλις είδαμε για τη διάμεσο, και αυτό βοηθά να τον καταλάβουμε αντί να τον αποστηθίσουμε.

Ο τύπος είναι:

όπου $Β$ είναι η μεγάλη βάση, $β$ είναι η μικρή βάση και $υ$ είναι το ύψος του τραπεζίου.

Για να καταλάβεις από πού προκύπτει αυτός ο τύπος, σκέψου το εξής: αν πάρεις δύο ίδια τραπέζια και το ένα το γυρίσεις ανάποδα, μπορείς να τα ενώσεις έτσι ώστε να σχηματίσουν μαζί ένα παραλληλόγραμμο. Αυτό το παραλληλόγραμμο έχει μία πλευρά ίση με το άθροισμα των δύο βάσεων $Β+β$ (γιατί η μικρή βάση του ενός τραπεζίου «συνεχίζεται» πάνω στη μεγάλη βάση του άλλου) και ύψος ίσο με το ύψος $υ$ του τραπεζίου. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι $(Β+β)\cdot υ$. Όμως το παραλληλόγραμμο αυτό αποτελείται ακριβώς από δύο αντίγραφα του αρχικού τραπεζίου, άρα το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι το μισό:

Μπορείς να δεις τον ίδιο τύπο και από τη σκοπιά της διαμέσου: αφού η διάμεσος έχει μήκος $\frac{Β+β}{2}$, το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με τη διάμεσο επί το ύψος:

Οι δύο εκφράσεις είναι μαθηματικά ίδιες — απλώς η δεύτερη δείχνει καθαρότερα «γιατί» λειτουργεί ο τύπος: το τραπέζιο συμπεριφέρεται σαν ένα ορθογώνιο πλάτους ίσου με τη διάμεσό του.

Όταν σε μια άσκηση δεν σου δίνεται απευθείας το ύψος, συχνά χρειάζεται να το υπολογίσεις πρώτα φέρνοντας ένα κάθετο τμήμα από μια κορυφή προς την απέναντι βάση, σχηματίζοντας έτσι ένα ορθογώνιο τρίγωνο όπου μπορείς να εφαρμόσεις το Πυθαγόρειο θεώρημα, αν γνωρίζεις το μήκος της πλάγιας πλευράς.

Η περίμετρος του τραπεζίου

Η περίμετρος ενός τραπεζίου δεν έχει κάποιον ειδικό συντομευμένο τύπο — είναι απλώς το άθροισμα και των τεσσάρων πλευρών του. Για ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ, η περίμετρος είναι:

Στην ειδική περίπτωση ενός ισοσκελούς τραπεζίου, όπου οι δύο μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους ($ΒΓ = ΑΔ$), η περίμετρος απλοποιείται λίγο, αφού αρκεί να γνωρίζεις τη μία από τις δύο ίσες πλευρές και να την υπολογίσεις δύο φορές:

Πού ανήκει το τραπέζιο ανάμεσα στα τετράπλευρα

Έχεις ήδη γνωρίσει διάφορα ειδικά τετράπλευρα: το τετράγωνο, το ορθογώνιο, τον ρόμβο και το παραλληλόγραμμο. Όλα αυτά τα σχήματα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: και τα δύο ζευγάρια απέναντι πλευρών τους είναι παράλληλα.

Το τραπέζιο είναι διαφορετικό ακριβώς σε αυτό το σημείο: έχει μόνο ένα ζευγάρι παράλληλων πλευρών, όχι δύο. Γι' αυτό το τραπέζιο δεν είναι παραλληλόγραμμο, ούτε τετράγωνο, ούτε ορθογώνιο, ούτε ρόμβος — είναι μια εντελώς ξεχωριστή κατηγορία τετραπλεύρου, με τους δικούς της κανόνες.

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τη διαφορά: