Το Τετράγωνο 🔲

Φαντάσου ένα τετράπλευρο σχήμα στο οποίο όλες οι πλευρές έχουν ακριβώς το ίδιο μήκος και όλες οι γωνίες είναι ορθές. Αυτό το σχήμα λέγεται τετράγωνο, και είναι ένα από τα πιο «τακτοποιημένα» σχήματα της γεωμετρίας. Δεν είναι τυχαίο που το συναντάμε παντού γύρω μας: σε πλακάκια, σε κουτιά, σε σκακιέρες. Ο λόγος είναι ότι το τετράγωνο δεν είναι απλώς ένα ακόμη τετράπλευρο· είναι το σχήμα που συγκεντρώνει ταυτόχρονα όλες τις «καλές» ιδιότητες που έχουμε ήδη μελετήσει σε άλλα τετράπλευρα.

Ορισμός του τετραγώνου

Ένα τετράπλευρο ονομάζεται τετράγωνο όταν ικανοποιεί ταυτόχρονα δύο προϋποθέσεις:

• Όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.
• Όλες οι γωνίες του είναι ορθές, δηλαδή 90°.

Ας πούμε ότι έχουμε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, με κορυφές Α, Β, Γ, Δ τοποθετημένες η μία μετά την άλλη. Για να είναι το ΑΒΓΔ τετράγωνο, πρέπει να ισχύει ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ (και οι τέσσερις πλευρές ίσες) και οι γωνίες Α, Β, Γ, Δ να είναι όλες 90°. Αν λείπει έστω και μία από τις δύο προϋποθέσεις, το σχήμα δεν είναι τετράγωνο — μπορεί να είναι κάτι άλλο, όπως θα δούμε παρακάτω.

Το τετράγωνο ως ειδική περίπτωση άλλων σχημάτων

Το πιο σημαντικό που πρέπει να καταλάβουμε για το τετράγωνο είναι ότι δεν είναι ένα ξεχωριστό, μεμονωμένο σχήμα — είναι ταυτόχρονα και τα τρία παρακάτω σχήματα μαζί:

• Είναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες και ίσες.
• Είναι ορθογώνιο, γιατί όλες οι γωνίες του είναι 90°.
• Είναι ρόμβος, γιατί όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

Σκέψου το έτσι: το ορθογώνιο εγγυάται μόνο ότι οι γωνίες είναι ορθές, χωρίς να λέει τίποτα για το αν οι πλευρές είναι όλες ίσες μεταξύ τους (μπορεί να έχει δύο μεγάλες και δύο μικρές πλευρές). Ο ρόμβος εγγυάται μόνο ότι οι πλευρές είναι όλες ίσες, χωρίς να λέει τίποτα για τις γωνίες (μπορεί να είναι «πλαγιασμένος»). Το τετράγωνο είναι το σχήμα στο οποίο και οι δύο αυτές συνθήκες ισχύουν μαζί. Γι' αυτό λέμε ότι το τετράγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ορθογωνίου (ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες) αλλά και μια ειδική περίπτωση ρόμβου (ένας ρόμβος με όλες τις γωνίες ορθές).

Αυτή η σχέση δεν λειτουργεί όμως αντίστροφα: κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο, αλλά όχι κάθε ορθογώνιο είναι τετράγωνο (χρειάζεται επιπλέον οι πλευρές να είναι ίσες). Ομοίως, κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος, αλλά όχι κάθε ρόμβος είναι τετράγωνο (χρειάζεται επιπλέον οι γωνίες να είναι ορθές). Και φυσικά, κάθε τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο, αλλά όχι κάθε παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο.

Ιδιότητες του τετραγώνου

Επειδή το τετράγωνο είναι ταυτόχρονα παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο και ρόμβος, «κληρονομεί» αυτόματα όλες τις ιδιότητες και των τριών αυτών σχημάτων. Ας τις δούμε αναλυτικά, σκεπτόμενοι ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με τις διαγώνιες του ΑΓ και ΒΔ να τέμνονται σε ένα σημείο Ο.

Πλευρές:

• Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες (ιδιότητα του παραλληλογράμμου).
• Όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους: ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ (ιδιότητα του ρόμβου, αλλά και μέρος του ορισμού του τετραγώνου).

Γωνίες:

• Όλες οι γωνίες του τετραγώνου είναι ορθές, δηλαδή ίσες με 90° (ιδιότητα του ορθογωνίου, αλλά και μέρος του ορισμού).
• Το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι πάντα 360°, και πράγματι 90° + 90° + 90° + 90° = 360°, όπως αναμένεται.

Διαγώνιες:
Οι διαγώνιες του τετραγώνου έχουν τέσσερις σημαντικές ιδιότητες, που προκύπτουν από τον συνδυασμό ορθογωνίου και ρόμβου:

• Είναι ίσες μεταξύ τους: ΑΓ = ΒΔ (αυτή είναι ιδιότητα που κληρονομεί από το ορθογώνιο· σε ένα τυχαίο ρόμβο οι διαγώνιες δεν είναι ίσες).
• Τέμνονται κάθετα: η ΑΓ είναι κάθετη στη ΒΔ (αυτή είναι ιδιότητα που κληρονομεί από τον ρόμβο· σε ένα τυχαίο ορθογώνιο οι διαγώνιες δεν είναι κάθετες).
• Διχοτομούνται, δηλαδή το σημείο τομής τους Ο είναι το μέσο και των δύο διαγωνίων: ΑΟ = ΒΟ = ΓΟ = ΔΟ. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Ο χωρίζει κάθε διαγώνιο σε δύο ίσα κομμάτια, και μάλιστα όλα αυτά τα τέσσερα κομμάτια είναι ίσα μεταξύ τους.
• Διχοτομούν τις γωνίες από τις οποίες περνούν. Επειδή κάθε γωνία του τετραγώνου είναι 90°, κάθε διαγώνιος τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες των 45°. Αν φανταστούμε τη διαγώνιο ΑΓ, αυτή χωρίζει τη γωνία Α σε δύο γωνίες των 45° η καθεμιά, και το ίδιο συμβαίνει και στη γωνία Γ. Το ίδιο ισχύει και για τη διαγώνιο ΒΔ στις γωνίες Β και Δ.

Επειδή οι δύο διαγώνιες τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται, χωρίζουν το τετράγωνο σε τέσσερα ίσα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα (για παράδειγμα, τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ είναι όλα ίσα μεταξύ τους). Αν σχεδιάσουμε μόνο τη μία διαγώνιο, π.χ. την ΑΓ, το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα, τα ΑΒΓ και ΑΔΓ, αφού κάθε τρίγωνο έχει δύο πλευρές του τετραγώνου ίσες μεταξύ τους και ορθή γωνία ανάμεσά τους.

Πώς αναγνωρίζουμε ένα τετράγωνο

Δεν χρειάζεται πάντα να ελέγξουμε και τις τέσσερις πλευρές και τις τέσσερις γωνίες για να καταλάβουμε αν ένα σχήμα είναι τετράγωνο. Υπάρχουν πιο σύντομοι δρόμοι, ανάλογα με το τι γνωρίζουμε ήδη για το σχήμα:

• Αν γνωρίζουμε ότι ένα σχήμα είναι ορθογώνιο (έχει δηλαδή ήδη όλες τις γωνίες ορθές), αρκεί να ελέγξουμε ότι έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Αν αυτό ισχύει, τότε λόγω της ιδιότητας του ορθογωνίου να έχει τις απέναντι πλευρές ίσες, θα προκύψει ότι και οι τέσσερις πλευρές είναι ίσες, άρα το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.
• Αν γνωρίζουμε ότι ένα σχήμα είναι ρόμβος (έχει δηλαδή ήδη όλες τις πλευρές ίσες), αρκεί να ελέγξουμε ότι έχει μία γωνία ορθή. Αν αυτό ισχύει, τότε λόγω της ιδιότητας του ρόμβου να έχει τις απέναντι γωνίες ίσες και τις διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές, θα προκύψει ότι και οι τέσσερις γωνίες είναι ορθές, άρα ο ρόμβος είναι τετράγωνο.
• Αν γνωρίζουμε ότι ένα σχήμα είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί να διαπιστώσουμε ότι οι διαγώνιές του είναι ταυτόχρονα ίσες και κάθετες. Οι ίσες διαγώνιες εξασφαλίζουν ότι το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο, ενώ οι κάθετες διαγώνιες εξασφαλίζουν ότι είναι ρόμβος — και ένα σχήμα που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος είναι, όπως είδαμε, τετράγωνο.

Αυτά τα κριτήρια είναι πολύ χρήσιμα, γιατί μας γλιτώνουν από το να μετράμε τα πάντα: αρκεί να ξέρουμε τι είδους σχήμα έχουμε ήδη και να ελέγξουμε μόνο μία επιπλέον ιδιότητα.

Σύγκριση παραλληλογράμμου, ορθογωνίου, ρόμβου και τετραγώνου

Ο παρακάτω πίνακας συγκεντρώνει τις ιδιότητες των τεσσάρων αυτών σχημάτων, ώστε να φαίνεται καθαρά πού μοιάζουν και πού διαφέρουν.

Παρατηρώντας τον πίνακα, βλέπουμε καθαρά ότι η στήλη του τετραγώνου έχει «Ναι» παντού — γιατί συγκεντρώνει όλες τις ιδιότητες των υπόλοιπων τριών σχημάτων.

Περίμετρος του τετραγώνου

Η περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του. Επειδή στο τετράγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες, αν συμβολίσουμε με $α$ το μήκος μιας πλευράς, η περίμετρος $Π$ δίνεται από τον τύπο:

Για παράδειγμα, αν ένα τετράγωνο έχει πλευρά 6 cm, η περίμετρός του είναι $Π = 4 \times 6 = 24$ cm. Αντίστροφα, αν μας δίνεται η περίμετρος, μπορούμε να βρούμε την πλευρά διαιρώντας με το 4: αν η περίμετρος είναι 24 cm, τότε η πλευρά είναι $α = 24 : 4 = 6$ cm.

Εμβαδόν του τετραγώνου

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά $α$ υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την πλευρά επί τον εαυτό της, δηλαδή υψώνοντάς την στο τετράγωνο:

Αυτό έχει νόημα αν σκεφτούμε το τετράγωνο σαν ένα ορθογώνιο με μήκος και πλάτος ίσα: το εμβαδόν ορθογωνίου είναι μήκος επί πλάτος, και εδώ και τα δύο είναι $α$, άρα $Ε = α \times α = α^2$. Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο με πλευρά 6 cm έχει εμβαδόν $Ε = 6^2 = 36$ cm².

Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος να υπολογίσουμε το εμβαδόν, αν γνωρίζουμε το μήκος της διαγωνίου $δ$ αντί για την πλευρά. Επειδή οι δύο διαγώνιες του τετραγώνου είναι κάθετες και ίσες μεταξύ τους, το τετράγωνο μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας ρόμβος με ίσες διαγώνιες, και το εμβαδόν ενός τέτοιου σχήματος υπολογίζεται ως το γινόμενο των διαγωνίων διά δύο:

Τι συμβαίνει στην περίμετρο και στο εμβαδόν όταν αλλάζει η πλευρά

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε πώς αλλάζουν η περίμετρος και το εμβαδόν ενός τετραγώνου όταν πολλαπλασιάζουμε την πλευρά του επί έναν αριθμό $κ$.

• Επειδή η περίμετρος είναι $Π = 4α$, δηλαδή ανάλογη της πλευράς, αν η πλευρά πολλαπλασιαστεί επί $κ$, τότε και η περίμετρος πολλαπλασιάζεται επί $κ$.
• Επειδή το εμβαδόν είναι $Ε = α^2$, αν η πλευρά πολλαπλασιαστεί επί $κ$, το νέο εμβαδόν γίνεται $(κα)^2 = κ^2α^2$, δηλαδή το εμβαδόν πολλαπλασιάζεται επί $κ^2$, όχι επί $κ$.

Για παράδειγμα, αν διπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, η περίμετρος διπλασιάζεται, αλλά το εμβαδόν τετραπλασιάζεται (γιατί $2^2 = 4$). Αν δεκαπλασιάσουμε την πλευρά, η περίμετρος δεκαπλασιάζεται, αλλά το εμβαδόν γίνεται εκατό φορές μεγαλύτερο (γιατί $10^2 = 100$).