Το Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο 📐

Τι είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Φαντάσου μια πόρτα, μια οθόνη κινητού ή ένα φύλλο χαρτί Α4. Και τα τρία έχουν κάτι κοινό: είναι τετράπλευρα με τέσσερις γωνίες που «κλείνουν» ακριβώς σαν γωνία κάδρου — καμία δεν είναι πιο «ανοιχτή» ή πιο «κλειστή» από τις άλλες.

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ή απλούστερα ορθογώνιο, είναι ένα τετράπλευρο του οποίου και οι τέσσερις γωνίες είναι ορθές, δηλαδή έχουν μέτρο $90°$ η καθεμία.

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο ορθογώνιο ΑΒΓΔ, με κορυφές Α, Β, Γ, Δ τοποθετημένες η μία μετά την άλλη γύρω από το σχήμα. Αν μετρήσουμε τη γωνία στην κορυφή Α, θα βρούμε $90°$ . Το ίδιο θα συμβεί στις κορυφές Β, Γ και Δ. Το άθροισμα των τεσσάρων γωνιών ενός οποιουδήποτε τετραπλεύρου είναι πάντα $360°$ , και πράγματι $90°+90°+90°+90°=360°$ — άρα οι τιμές «κλείνουν» σωστά.

Γιατί ακριβώς 90 μοίρες;

Η ορθή γωνία δεν είναι τυχαία επιλογή. Είναι η γωνία που σχηματίζουν δύο ευθείες όταν είναι κάθετες μεταξύ τους. Σε ένα ορθογώνιο, κάθε πλευρά είναι κάθετη στις δύο διπλανές της — γι' αυτό οι γωνίες «στέκονται» τόσο σταθερά, και γι' αυτό τα ορθογώνια χρησιμοποιούνται παντού στην κατασκευή (πόρτες, παράθυρα, πλακάκια): εφαρμόζουν τέλεια το ένα δίπλα στο άλλο, χωρίς κενά.

Η σχέση με το παραλληλόγραμμο

Το ορθογώνιο δεν είναι ένα εντελώς νέο σχήμα, ξεκομμένο από όσα ξέρεις ήδη. Είναι μια ειδική περίπτωση παραλληλογράμμου.

Σκέψου το εξής: σε κάθε ορθογώνιο, οι απέναντι πλευρές είναι κάθετες στις ίδιες δύο πλευρές (π.χ. η ΑΒ και η ΓΔ είναι και οι δύο κάθετες στην ΑΔ). Δύο ευθύγραμμα τμήματα που είναι κάθετα στο ίδιο τμήμα είναι υποχρεωτικά παράλληλα μεταξύ τους. Άρα σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ ισχύει πάντα $ΑΒ \parallel ΓΔ$ και $ΑΔ \parallel ΒΓ$ — δηλαδή το ορθογώνιο έχει, εξ ορισμού σχεδόν, δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο.

Αυτή η σχέση είναι μονόδρομη: κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο, αλλά όχι κάθε παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο. Ένα παραλληλόγραμμο «πλαγιασμένο», με γωνίες $70°$ και $110°$ , παραμένει παραλληλόγραμμο αλλά δεν είναι ορθογώνιο, γιατί οι γωνίες του δεν είναι όλες ορθές.

Επειδή το ορθογώνιο ανήκει στην οικογένεια των παραλληλογράμμων, κληρονομεί αυτόματα όλες τις ιδιότητές τους:

Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες: $ΑΒ=ΓΔ$ και $ΑΔ=ΒΓ$ .
Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες (εδώ είναι κιόλας όλες ίσες μεταξύ τους, αφού είναι όλες $90°$ ).
Οι διαγώνιες διχοτομούνται, δηλαδή το σημείο τομής τους είναι το μέσο και των δύο.

Το ορθογώνιο προσθέτει από πάνω τη δική του, ξεχωριστή απαίτηση: όλες οι γωνίες ορθές. Αυτή η επιπλέον απαίτηση φέρνει μαζί της και μια επιπλέον ιδιότητα, που ΔΕΝ ισχύει σε ένα τυχαίο παραλληλόγραμμο — θα τη δούμε αμέσως παρακάτω.

Το πιο συνηθισμένο λάθος

Πολλοί μαθητές νομίζουν ότι το ορθογώνιο και το παραλληλόγραμμο είναι δύο εντελώς διαφορετικά σχήματα. Δεν είναι. Το ορθογώνιο ΕΙΝΑΙ παραλληλόγραμμο — ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες του ορθές. Γι' αυτό κληρονομεί όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου (ίσες απέναντι πλευρές, ίσες απέναντι γωνίες, διαγώνιες που διχοτομούνται) και επιπλέον αποκτά μία δική του ιδιότητα που δεν έχει κάθε παραλληλόγραμμο: ίσες διαγώνιες.

Οι διαγώνιες του ορθογωνίου

Στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ, οι διαγώνιες είναι τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ — ενώνουν κάθε κορυφή με την απέναντί της.

Επειδή το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο, ξέρουμε ήδη ότι οι διαγώνιες διχοτομούνται: το σημείο στο οποίο τέμνονται είναι το μέσο και των δύο. Αν ονομάσουμε Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, τότε το Ο χωρίζει καθεμία σε δύο ίσα κομμάτια.

Το ορθογώνιο όμως προσθέτει κάτι παραπάνω, ακριβώς επειδή έχει ορθές γωνίες: οι δύο διαγώνιες είναι και ίσες μεταξύ τους σε μήκος:

ΑΓ = ΒΔ

Συνδυάζοντας τα δύο (διχοτόμηση + ισότητα), προκύπτει ότι τα τέσσερα τμήματα στα οποία χωρίζονται οι διαγώνιες είναι όλα ίσα μεταξύ τους:

ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ

Αυτό σημαίνει κάτι πολύ χρήσιμο: το σημείο Ο απέχει την ίδια απόσταση από όλες τις κορυφές του ορθογωνίου. Αν σχεδίαζες έναν κύκλο με κέντρο το Ο και ακτίνα $ΟΑ$ , ο κύκλος αυτός θα περνούσε και από τις τέσσερις κορυφές Α, Β, Γ, Δ.

Γιατί συμβαίνει αυτό;

Η ισότητα των διαγωνίων δεν είναι σύμπτωση — προκύπτει άμεσα από τις ορθές γωνίες. Αν πάρεις το τρίγωνο ΑΒΓ μέσα στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ, βλέπεις ότι είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στο Β, με κάθετες πλευρές ΑΒ και ΒΓ και υποτείνουσα την ΑΓ. Αντίστοιχα, το τρίγωνο ΒΑΔ είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές ΒΑ και ΑΔ και υποτείνουσα τη ΒΔ. Επειδή $ΑΒ=ΑΒ$ (κοινή πλευρά) και $ΒΓ=ΑΔ$ (απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου), τα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, οπότε οι υποτείνουσές τους — δηλαδή οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ — είναι κι αυτές ίσες.

Η ιδιότητα αυτή είναι εξαιρετικά χρήσιμη στην επίλυση προβλημάτων: αν ξέρεις το μήκος της μιας διαγωνίου, ξέρεις αυτόματα και την άλλη — καμία επιπλέον μέτρηση δεν χρειάζεται. Επίσης, αν σου δίνουν τα δύο μήκη πλευρών ενός ορθογωνίου, μπορείς να υπολογίσεις τη διαγώνιο εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζει η διαγώνιος. Για παράδειγμα, σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ με $ΑΒ=4$ εκατοστά και $ΒΓ=3$ εκατοστά, η διαγώνιος ΒΔ υπολογίζεται από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ:

ΒΔ^2 = ΑΒ^2 + ΑΔ^2 = 4^2+3^2 = 16+9=25 \Rightarrow ΒΔ=\sqrt{25}=5 \text{ εκατοστά}

Και επειδή οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου είναι ίσες, αυτόματα $ΑΓ=ΒΔ=5$ εκατοστά, χωρίς να χρειαστεί δεύτερος υπολογισμός.

Πώς αναγνωρίζουμε ένα ορθογώνιο

Ο πιο άμεσος τρόπος να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο είναι να ελέγξεις τον ορισμό: να δεις ότι και οι τέσσερις γωνίες του είναι ορθές.

Υπάρχει όμως κι ένας πιο σύντομος δρόμος, χρήσιμος όταν ήδη ξέρεις ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο: αν σε ένα παραλληλόγραμμο μία μόνο γωνία είναι ορθή, τότε είναι υποχρεωμένες να είναι ορθές και οι υπόλοιπες τρεις. Αυτό συμβαίνει επειδή σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι διαδοχικές γωνίες έχουν άθροισμα $180°$ (αφού βρίσκονται πάνω σε παράλληλες πλευρές). Άρα:

Ένα παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία είναι ορθογώνιο.
Ισοδύναμα, ένα παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες είναι κι αυτό ορθογώνιο.

Προσοχή στη λογική παγίδα

Το γεγονός ότι ένα τετράπλευρο έχει δύο ορθές γωνίες ΔΕΝ σημαίνει αυτόματα ότι είναι ορθογώνιο! Αν οι δύο ορθές γωνίες είναι διαδοχικές (δίπλα-δίπλα) και υπάρχει μόνο ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών, το σχήμα μπορεί κάλλιστα να είναι ένα ορθογώνιο τραπέζιο — όχι ορθογώνιο. Χρειάζεσαι είτε τις τέσσερις γωνίες ορθές, είτε (αν ξέρεις ήδη ότι είναι παραλληλόγραμμο) μία μόνο ορθή γωνία, για να είσαι σίγουρος. «Λίγες» ορθές γωνίες, χωρίς την ιδιότητα του παραλληλογράμμου εξασφαλισμένη, δεν αρκούν.

Περίμετρος του ορθογωνίου

Η περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του. Σε ένα ορθογώνιο, οι πλευρές έχουν συγκεκριμένα ονόματα: η μεγαλύτερη πλευρά λέγεται μήκος (συμβολίζεται συνήθως $μ$ ) και η μικρότερη λέγεται πλάτος (συμβολίζεται $π$ ).

Επειδή σε κάθε ορθογώνιο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, το σχήμα έχει μόνο δύο διαφορετικά μήκη πλευρών, το καθένα εμφανιζόμενο δύο φορές. Άρα η περίμετρος $Π$ δίνεται από τον τύπο:

Π = 2 \cdot (μ + π)

Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο με μήκος $μ=6$ εκατοστά και πλάτος $π=4$ εκατοστά έχει περίμετρο:

Π = 2\cdot(6+4)=2\cdot 10 = 20 \text{ εκατοστά}

Εμβαδόν του ορθογωνίου

Το εμβαδόν μας λέει πόσο χώρο «γεμίζει» το σχήμα. Για το ορθογώνιο, ο τύπος είναι ιδιαίτερα απλός, ακριβώς επειδή οι γωνίες του είναι ορθές: αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις δύο διαστάσεις του.

Ε = μ \cdot π

όπου $μ$ το μήκος και $π$ το πλάτος. Το αποτέλεσμα εκφράζεται πάντα σε τετραγωνικές μονάδες (π.χ. $εκ^2$ , $m^2$ ).

Ας δούμε ένα παράδειγμα: ένα ορθογώνιο οικόπεδο με μήκος $12$ μέτρα και πλάτος $6$ μέτρα έχει εμβαδόν:

Ε = 12 \cdot 6 = 72 \text{ } m^2

Ο τύπος λειτουργεί και αντίστροφα: αν ξέρεις το εμβαδόν και μία σχέση ανάμεσα στις διαστάσεις, μπορείς να βρεις τις διαστάσεις. Για παράδειγμα, αν ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν $72$ $m^2$ και το μήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του, θέτουμε πλάτος $=π$ και μήκος $=2π$ :

72 = (2π)\cdot π = 2π^2 \Rightarrow π^2 = 36 \Rightarrow π = 6 \text{ m}

οπότε το μήκος είναι $μ=2\cdot 6=12$ μέτρα — ακριβώς το παράδειγμα που είδαμε παραπάνω, μόνο που τώρα το «ανακαλύψαμε» ξεκινώντας από το εμβαδόν.

Το ίδιο εμβαδόν, διαφορετικό σχήμα

Δύο σχήματα μπορεί να έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν και την ίδια περίμετρο, χωρίς να είναι ίδια! Ένα ορθογώνιο με πλευρές $6$ και $4$ έχει εμβαδόν $24$ και περίμετρο $20$ . Ένας ρόμβος με πλευρά $5$ μπορεί να έχει την ίδια περίμετρο $20$ και, με το κατάλληλο ύψος $4{,}8$ , το ίδιο εμβαδόν $24$ — παρόλο που το σχήμα του είναι εντελώς διαφορετικό, με «πλαγιασμένες» πλευρές αντί για ορθές γωνίες. Το εμβαδόν και η περίμετρος περιγράφουν το «πόσο», όχι το «πώς» ενός σχήματος.

Το ορθογώνιο σε σύστημα συντεταγμένων

Οι ιδιότητες του ορθογωνίου γίνονται ιδιαίτερα εύκολο να τις δεις όταν το τοποθετήσουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

Αν οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι παράλληλες στους άξονες, ο εντοπισμός των διαστάσεών του γίνεται με απλή αφαίρεση συντεταγμένων. Για παράδειγμα, με κορυφές Α(1,1), Β(5,1), Γ(5,3), Δ(1,3): η πλευρά ΑΒ είναι οριζόντια, με μήκος $5-1=4$ μονάδες, ενώ η πλευρά ΑΔ είναι κατακόρυφη, με μήκος $3-1=2$ μονάδες. Το εμβαδόν προκύπτει αμέσως: $Ε=4\cdot2=8$ τετραγωνικές μονάδες.

Το σημείο τομής των διαγωνίων —που είδαμε ότι είναι εξίσου απομακρυσμένο από όλες τις κορυφές— λειτουργεί επίσης ως κέντρο συμμετρίας του ορθογωνίου: αν «γυρίσεις» το σχήμα κατά $180°$ γύρω από αυτό το σημείο, το ορθογώνιο επιστρέφει ακριβώς στη θέση του. Το σημείο αυτό βρίσκεται εύκολα υπολογίζοντας το μέσο οποιασδήποτε διαγωνίου: για τη διαγώνιο ΑΓ με Α(1,1) και Γ(5,3), το μέσο έχει συντεταγμένες

x_Μ=\frac{1+5}{2}=3, \quad y_Μ=\frac{1+3}{2}=2

δηλαδή Μ(3,2) — και το ίδιο ακριβώς σημείο θα προέκυπτε αν υπολογίζαμε το μέσο της άλλης διαγωνίου, ΒΔ, ακριβώς επειδή οι διαγώνιες διχοτομούνται στο ίδιο σημείο.