Το Παραλληλόγραμμο 📐
Τι είναι το παραλληλόγραμμο
Φαντάσου ένα ορθογώνιο που το "τραβάμε" λίγο πλάγια, σαν να το σπρώχνουμε από το πάνω μέρος προς το πλάι. Το σχήμα που προκύπτει έχει ακόμα τέσσερις ίσιες πλευρές, αλλά οι γωνίες του δεν είναι πια ορθές. Αυτό το σχήμα λέγεται παραλληλόγραμμο.
Πιο συγκεκριμένα, ένα τετράπλευρο ονομάζεται παραλληλόγραμμο όταν οι απέναντι πλευρές του είναι, ανά δύο, παράλληλες μεταξύ τους.
Πάρε ένα τετράπλευρο με κορυφές Α, Β, Γ, Δ, το οποίο γράφουμε ΑΒΓΔ ακολουθώντας τη σειρά των κορυφών γύρω-γύρω. Οι πλευρές του είναι οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ. Σε αυτό το τετράπλευρο, η πλευρά ΑΒ είναι απέναντι από την πλευρά ΓΔ, και η πλευρά ΒΓ είναι απέναντι από την πλευρά ΑΔ. Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο ακριβώς όταν:
Δηλαδή, αν προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ προς τις δύο κατευθύνσεις, αυτές δεν συναντιούνται ποτέ — είναι σαν δύο ράγες τρένου. Το ίδιο συμβαίνει και με τις ΒΓ και ΑΔ.
Γιατί μας ενδιαφέρει αυτό; Επειδή το να ξέρουμε ότι δύο ζευγάρια πλευρών είναι παράλληλα μας «κλειδώνει» αυτόματα πολλές άλλες πληροφορίες για το σχήμα — μήκη, γωνίες, ακόμα και το πώς τέμνονται οι διαγώνιές του. Αυτές τις συνέπειες τις λέμε ιδιότητες του παραλληλογράμμου, και θα τις δούμε αμέσως παρακάτω.
Κάθε τετράγωνο και κάθε ορθογώνιο έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, άρα είναι κι αυτά παραλληλόγραμμα — απλώς πιο «ειδικές» περιπτώσεις, με όλες τις γωνίες ορθές. Το παραλληλόγραμμο είναι η γενική οικογένεια στην οποία ανήκουν.
Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες
Η πρώτη ιδιότητα αφορά τα μήκη των πλευρών: σε κάθε παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές δεν είναι απλώς παράλληλες — έχουν και το ίδιο ακριβώς μήκος.
Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ αυτό γράφεται:
Σκέψου το έτσι: αν οι δύο πλευρές ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες αλλά είχαν διαφορετικό μήκος, το σχήμα θα «άνοιγε» σαν χωνί και οι άλλες δύο πλευρές δεν θα μπορούσαν να είναι κι αυτές παράλληλες ταυτόχρονα. Η ισότητα των απέναντι πλευρών είναι αυτό που κρατά το σχήμα «κλειστό» και συνεπές με τον ορισμό.
Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη στην πράξη: αν ξέρουμε το μήκος μιας πλευράς, γνωρίζουμε αυτόματα και το μήκος της απέναντί της, χωρίς να χρειάζεται να το μετρήσουμε ξανά.
Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες
Η δεύτερη ιδιότητα αφορά τις γωνίες του παραλληλογράμμου. Κάθε τετράπλευρο έχει τέσσερις γωνίες, μία σε κάθε κορυφή. Στο ΑΒΓΔ, η γωνία της κορυφής Α είναι απέναντι από τη γωνία της κορυφής Γ, και η γωνία της κορυφής Β είναι απέναντι από τη γωνία της κορυφής Δ.
Σε κάθε παραλληλόγραμμο, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες:
Υπάρχει όμως και κάτι ακόμα, εξίσου χρήσιμο: δύο γωνίες που βρίσκονται στην ίδια πλευρά — δηλαδή μοιράζονται μια κοινή πλευρά του σχήματος, όπως η γωνία Α και η γωνία Β που «κάθονται» και οι δύο πάνω στην πλευρά ΑΒ — λέγονται διαδοχικές γωνίες, και αυτές είναι πάντα παραπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους κάνει πάντα 180°:
Αυτό συμβαίνει επειδή οι πλευρές ΑΔ και ΒΓ είναι παράλληλες, και η πλευρά ΑΒ τις τέμνει και τις δύο σαν να είναι μια «τέμνουσα» — κάτι που ήδη ξέρεις από τις παράλληλες ευθείες: όταν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες, οι εντός γωνίες που βρίσκονται στην ίδια πλευρά της τέμνουσας έχουν άθροισμα 180°.
Αυτό σημαίνει πρακτικά κάτι πολύ βολικό: αν ξέρεις μία μόνο γωνία ενός παραλληλογράμμου, μπορείς να υπολογίσεις και τις άλλες τρεις — τη μία γιατί είναι απέναντι (άρα ίση), και τις άλλες δύο γιατί είναι διαδοχικές (άρα παραπληρωματικές) με τις δύο πρώτες.
Οι διαγώνιοι διχοτομούνται
Κάθε τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους — τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τις δύο απέναντι κορυφές. Στο ΑΒΓΔ, η μία διαγώνιος είναι η ΑΓ (ενώνει το Α με το Γ) και η άλλη είναι η ΒΔ (ενώνει το Β με το Δ).
Αν φέρουμε τις δύο διαγωνίους σε ένα παραλληλόγραμμο, αυτές τέμνονται σε ένα σημείο. Ας ονομάσουμε αυτό το σημείο Ο. Το Ο λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου, και έχει μια πολύ συγκεκριμένη ιδιότητα: είναι το μέσο κάθε διαγωνίου.
Με άλλα λόγια, οι διαγώνιοι διχοτομούνται — δηλαδή διχοτομούνται, χωρίζονται η καθεμιά στα δύο, σε δύο ίσα κομμάτια, ακριβώς στο σημείο Ο:
Αυτό σημαίνει ότι, αν γνωρίζεις το μήκος ολόκληρης μιας διαγωνίου, το μισό της είναι η απόσταση από μια κορυφή μέχρι το κέντρο Ο. Αντίστροφα, αν ξέρεις το ένα μισό μιας διαγωνίου, ξέρεις αμέσως και το άλλο μισό, αφού είναι ίσα.
Το σημείο Ο φαίνεται σαν ένα απλό σημείο τομής, αλλά στην πραγματικότητα «κρατά» ολόκληρο το σχήμα ισορροπημένο: είναι το κοινό μέσο και των δύο διαγωνίων ταυτόχρονα. Αν στρέψεις νοερά το παραλληλόγραμμο κατά 180° γύρω από το Ο, το σχήμα πέφτει ακριβώς πάνω στον εαυτό του — γι' αυτό λέμε ότι το παραλληλόγραμμο έχει κεντρική συμμετρία ως προς το Ο.
Πρόσεξε αυτό το σημείο, γιατί είναι το πιο συνηθισμένο λάθος: το ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται (η καθεμιά χωρίζεται στη μέση) δεν σημαίνει ότι οι δύο διαγώνιοι έχουν ίσο μήκος μεταξύ τους. Σε ένα «πλαγιασμένο» παραλληλόγραμμο η μία διαγώνιος μπορεί να είναι πολύ πιο μακριά από την άλλη. Οι διαγώνιοι είναι ίσες μεταξύ τους μόνο σε ένα ειδικό παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο — όχι σε κάθε παραλληλόγραμμο.
Πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο
Μέχρι εδώ ξεκινήσαμε από «το τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες» και βγάλαμε συμπεράσματα για τις πλευρές, τις γωνίες και τις διαγωνίους. Μπορούμε όμως να κάνουμε και τον αντίστροφο δρόμο: να ελέγξουμε κάτι πιο εύκολο να μετρηθεί (π.χ. μήκη πλευρών) και από αυτό να συμπεράνουμε ότι το σχήμα είναι σίγουρα παραλληλόγραμμο, χωρίς να χρειάζεται να αποδείξουμε απευθείας τον παραλληλισμό των πλευρών.
Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει έστω ένα από τα εξής:
| Κριτήριο | Τι ελέγχουμε |
|---|---|
| Παράλληλες απέναντι πλευρές | Και τα δύο ζευγάρια απέναντι πλευρών είναι παράλληλα (ο ίδιος ο ορισμός) |
| Ίσες απέναντι πλευρές | Και τα δύο ζευγάρια απέναντι πλευρών έχουν ίσο μήκος |
| Ίσες απέναντι γωνίες | Και τα δύο ζευγάρια απέναντι γωνιών είναι ίσα |
| Διαγώνιοι που διχοτομούνται | Το σημείο τομής των διαγωνίων είναι μέσο και των δύο |
| Ένα ζευγάρι απέναντι πλευρών παράλληλο και ίσο | Δύο απέναντι πλευρές είναι ταυτόχρονα παράλληλες ΚΑΙ ίσες |
Αυτά τα κριτήρια είναι χρήσιμα όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένα σχήμα είναι παραλληλόγραμμο, αλλά δεν έχουμε άμεσο τρόπο να δούμε τον παραλληλισμό των πλευρών — π.χ. όταν δουλεύουμε με μήκη και συντεταγμένες. Για παράδειγμα, αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ διαπιστώσουμε ότι το μέσο της διαγωνίου ΑΓ συμπίπτει με το μέσο της διαγωνίου ΒΔ, αυτό αρκεί από μόνο του για να συμπεράνουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο — δεν χρειάζεται να ελέγξουμε τίποτα άλλο.
Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου
Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας μια πλευρά του, τη βάση, με το αντίστοιχο ύψος:
Το πιο σημαντικό σημείο εδώ, αυτό που μπερδεύει συχνά, είναι τι ακριβώς εννοούμε με «ύψος». Το ύψος δεν είναι η πλάγια πλευρά του παραλληλογράμμου — είναι το κάθετο απόσταση από τη βάση μέχρι την απέναντι πλευρά. Δηλαδή, το ύψος σχηματίζει πάντα ορθή γωνία (90°) με τη βάση.
Φαντάσου ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ «πλαγιασμένο», με βάση την πλευρά ΑΒ. Το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή τη βάση δεν είναι η πλευρά ΑΔ (αυτή είναι πλάγια, «γερμένη»), αλλά ένα κάθετο τμήμα που ξεκινά από την απέναντι πλευρά ΓΔ (ή την προέκτασή της) και καταλήγει κάθετα πάνω στην ΑΒ (ή στην προέκτασή της).
Ένα παραλληλόγραμμο έχει δύο διαφορετικά ζευγάρια βάσης-ύψους, ανάλογα με το ποια πλευρά επιλέγουμε ως βάση:
Και οι δύο αυτοί υπολογισμοί δίνουν το ίδιο ακριβώς εμβαδόν, αφού πρόκειται για το ίδιο σχήμα. Αυτό είναι χρήσιμο: αν ξέρουμε το εμβαδόν και μια βάση, μπορούμε να βρούμε το αντίστοιχο ύψος, ακόμα κι αν δεν ξέρουμε το ύψος που αντιστοιχεί στην άλλη πλευρά.
Το πιο συνηθισμένο λάθος στον υπολογισμό του εμβαδού είναι να πολλαπλασιάσουμε τις δύο πλευρές του παραλληλογράμμου μεταξύ τους, όπως θα κάναμε σε ένα ορθογώνιο. Αυτό είναι λάθος, εκτός αν το παραλληλόγραμμο είναι ήδη ορθογώνιο (όπου η πλευρά είναι ταυτόχρονα και ύψος, αφού οι γωνίες είναι ορθές). Σε ένα «πλαγιασμένο» παραλληλόγραμμο, το ύψος είναι πάντα μικρότερο από την πλάγια πλευρά, γιατί είναι η κάθετη απόσταση και όχι η ίδια η πλευρά.
Η περίμετρος ενός παραλληλογράμμου, δηλαδή το άθροισμα όλων των πλευρών του, υπολογίζεται εύκολα αφού οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Αν οι δύο διαφορετικές πλευρές έχουν μήκη και , τότε:
αφού κάθε πλευρά «μετράει» δύο φορές — μία φορά η ίδια και μία φορά η ίση απέναντί της.