Διαίρεση Πολυωνύμων ➗

Ξέρεις ήδη να διαιρείς αριθμούς, όπως $12 : 3 = 4$. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και με πολυώνυμα — παραστάσεις με γράμματα και εκθέτες. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που θα μάθουμε:

1. Διαίρεση μονωνύμου με μονώνυμο — η βάση για όλα τα υπόλοιπα.
2. Διαίρεση πολυωνύμου με μονώνυμο — διαιρούμε όρο προς όρο.
3. Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο — μια πιο σύνθετη διαδικασία, ίδια λογική με τη διαίρεση αριθμών με υπόλοιπο.

Ας τα δούμε ένα προς ένα, με παραδείγματα πρώτα και κανόνες μετά.

Διαίρεση μονωνύμου με μονώνυμο 🔢

Ξεκινάμε από το πιο απλό κομμάτι, γιατί όλα τα άλλα στηρίζονται πάνω σε αυτό.

Θέλουμε να υπολογίσουμε: $8x^5 : 2x^2$

Δουλεύουμε σε δύο ξεχωριστά κομμάτια:

• Διαιρούμε τους συντελεστές (τους αριθμούς): $8 : 2 = 4$
• Διαιρούμε τις δυνάμεις του ίδιου γράμματος: $x^5 : x^2$

Για το δεύτερο κομμάτι θυμήσου τι σημαίνει $x^5$: είναι $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$, δηλαδή πέντε φορές το $x$ πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του. Το $x^2$ είναι $x \cdot x$. Όταν διαιρούμε, "σβήνουμε" δύο $x$ από πάνω με δύο $x$ από κάτω, και μένουν τρία:

Άρα $x^5 : x^2 = x^{5-2} = x^3$. Ενώνοντας τα δύο κομμάτια:

Ο γενικός κανόνας λοιπόν είναι:

Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα:

• Διαιρούμε τους συντελεστές τους.
• Για κάθε γράμμα που εμφανίζεται και στους δύο, αφαιρούμε τους εκθέτες του (εκθέτης διαιρετέου μείον εκθέτης διαιρέτη).
• Αν ένα γράμμα εμφανίζεται μόνο στον αριθμητή, μένει όπως είναι.
• Αν ένα γράμμα εμφανίζεται μόνο στον παρονομαστή, μένει στον παρονομαστή του αποτελέσματος.

Δες ένα παράδειγμα με δύο γράμματα: $24x^4y^2 : (-6x^2y)$

Δουλεύουμε γράμμα-γράμμα:

• Συντελεστές: $24 : (-6) = -4$
• Για το $x$: $x^4 : x^2 = x^{4-2} = x^2$
• Για το $y$: $y^2 : y^1 = y^{2-1} = y^1 = y$

Άρα το αποτέλεσμα είναι $-4x^2y$.

Διαίρεση πολυωνύμου με μονώνυμο ✨

Τώρα που ξέρουμε να διαιρούμε μονώνυμα, μπορούμε να διαιρέσουμε ένα ολόκληρο πολυώνυμο με ένα μονώνυμο.

Ας δούμε το παράδειγμα: $(12x^5 - 6x^3) : (2x^3)$

Σκέψου το σαν να μοιράζεις καραμέλες 🍬 σε ομάδες: κάθε "κομμάτι" του πολυωνύμου παίρνει το δικό του μερίδιο από τη διαίρεση, ανεξάρτητα από τα άλλα. Δηλαδή, διαιρούμε κάθε όρο ξεχωριστά με το μονώνυμο:

Υπολογίζουμε κάθε κομμάτι με όσα μάθαμε παραπάνω:

Και προσθέτουμε τα δύο αποτελέσματα, κρατώντας το πρόσημο ανάμεσά τους:

Ο κανόνας γενικά είναι απλός:

Για να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο με ένα μονώνυμο, διαιρούμε κάθε όρο του πολυωνύμου ξεχωριστά με το μονώνυμο, και μετά προσθέτουμε (κρατώντας τα πρόσημα) όλα τα πηλίκα που βρήκαμε.

Η Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης 💡

Ας περάσουμε τώρα στη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα άλλο πολυώνυμο (όχι μόνο μονώνυμο). Εδώ τα πράγματα μοιάζουν πολύ με τη διαίρεση αριθμών με υπόλοιπο, την οποία ήδη ξέρεις.

Θυμήσου τη διαίρεση αριθμών: όταν διαιρούμε το 17 με το 5, δεν βγαίνει ακριβώς. Παίρνουμε πηλίκο 3 και υπόλοιπο 2, και ισχύει:

Με τα πολυώνυμα συμβαίνει ακριβώς το ίδιο. Έχουμε δύο πολυώνυμα:

• Το $Δ(x)$, τον διαιρετέο (αυτό που "χωρίζουμε").
• Το $δ(x)$, τον διαιρέτη (αυτό με το οποίο "χωρίζουμε"), όπου $δ(x) \neq 0$.

Όταν κάνουμε τη διαίρεση $Δ(x) : δ(x)$, βρίσκουμε ένα μοναδικό ζευγάρι πολυωνύμων: το πηλίκο $π(x)$ και το υπόλοιπο $υ(x)$. Αυτά συνδέονται πάντα με τη σχέση:

Αυτή η σχέση λέγεται Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης, ακριβώς όπως το $17 = 5 \cdot 3 + 2$ στους αριθμούς.

Το υπόλοιπο $υ(x)$ δεν μπορεί να είναι οτιδήποτε: είτε είναι μηδέν (δεν περισσεύει τίποτα), είτε ο βαθμός του είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη $δ(x)$. Αυτό έχει νόημα: αν το υπόλοιπο ήταν "μεγάλο" όσο ή περισσότερο από τον διαιρέτη, θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε τη διαίρεση κι άλλο.

Πώς κάνουμε τη διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο βήμα προς βήμα 🧮

Ας δούμε πώς εφαρμόζεται στην πράξη, με τη διαίρεση: $(6x^2 + 5x + 3) : (2x + 1)$

Πριν ξεκινήσουμε, φροντίζουμε και τα δύο πολυώνυμα να είναι γραμμένα με τις δυνάμεις σε φθίνουσα σειρά (από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο εκθέτη) — αν δεν είναι, τα αναδιατάσσουμε πρώτα.

Βήμα 1 — Διαιρούμε τους πρώτους όρους. Παίρνουμε τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθέτη του διαιρετέου ($6x^2$) και τον διαιρούμε με τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθέτη του διαιρέτη ($2x$):

Αυτό το $3x$ είναι ο πρώτος όρος του πηλίκου.

Βήμα 2 — Πολλαπλασιάζουμε και αφαιρούμε. Πολλαπλασιάζουμε το $3x$ με ολόκληρο τον διαιρέτη:

και αφαιρούμε αυτό το αποτέλεσμα από τον διαιρετέο:

Βήμα 3 — Επαναλαμβάνουμε με το νέο υπόλοιπο. Τώρα έχουμε $2x + 3$. Διαιρούμε πάλι τον πρώτο όρο του με τον πρώτο όρο του διαιρέτη:

Αυτό το $1$ είναι ο επόμενος όρος του πηλίκου. Πολλαπλασιάζουμε:

και αφαιρούμε:

Βήμα 4 — Ελέγχουμε αν σταματάμε. Το νέο υπόλοιπο είναι $2$, δηλαδή έχει βαθμό 0 (είναι σταθερός αριθμός). Ο διαιρέτης $2x + 1$ έχει βαθμό 1. Αφού $0 < 1$, το υπόλοιπο είναι πλέον "πιο μικρό" από τον διαιρέτη και η διαδικασία σταματά εδώ.

Άρα:

• Πηλίκο: $π(x) = 3x + 1$
• Υπόλοιπο: $υ(x) = 2$

Μπορούμε να το επαληθεύσουμε με την Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης:

Ταιριάζει με τον αρχικό διαιρετέο, άρα η διαίρεση είναι σωστή!

Πότε η διαίρεση είναι τέλεια 🎉

Όταν το υπόλοιπο $υ(x)$ βγαίνει μηδέν, η διαίρεση $Δ(x) : δ(x)$ λέγεται τέλεια διαίρεση. Σε αυτή την περίπτωση, το πολυώνυμο $δ(x)$ λέγεται παράγοντας του πολυωνύμου $Δ(x)$.

Δες ένα παράδειγμα: αν διαιρέσουμε το $Δ(x) = x^2 + 3x - 4$ με το $δ(x) = x - 1$, ακολουθώντας τα ίδια βήματα παίρνουμε πηλίκο $π(x) = x + 4$ και υπόλοιπο $υ(x) = 0$. Αφού το υπόλοιπο είναι μηδέν, η διαίρεση είναι τέλεια, και το $(x - 1)$ είναι παράγοντας του $(x^2 + 3x - 4)$.

Αυτή η ιδέα είναι πολύ χρήσιμη: για να ελέγξεις αν ένα πολυώνυμο είναι παράγοντας ενός άλλου, αρκεί να κάνεις τη διαίρεση και να δεις αν το υπόλοιπο μηδενίζεται. Αντίστροφα, αν ξέρεις τον διαιρέτη, το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας διαίρεσης, μπορείς να ανακατασκευάσεις τον διαιρετέο χρησιμοποιώντας απευθείας την Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης: πολλαπλασιάζεις διαιρέτη επί πηλίκο, και προσθέτεις το υπόλοιπο.