Πολυώνυμα και Πράξεις με Πολυώνυμα ➕➖

Φαντάσου ότι έχεις σε ένα χαρτί την παράσταση $2x^2 + 2x - 5$ . Αυτή η παράσταση αποτελείται από τρία κομμάτια που ενώνονται με πρόσθεση και αφαίρεση: το $2x^2$ , το $2x$ και το $-5$ . Αυτό ακριβώς είναι ένα πολυώνυμο — μια «αλυσίδα» από μονώνυμα ενωμένα με $+$ ή $-$ . Κάθε κρίκος αυτής της αλυσίδας λέγεται όρος του πολυωνύμου.

Στο παράδειγμα $2x^2 + 2x - 5$ , οι όροι είναι τρεις: το $2x^2$ , το $2x$ και το $-5$ . Το $-5$ λέγεται και σταθερός όρος, γιατί δεν έχει μεταβλητή — η τιμή του δεν αλλάζει ποτέ.

Γιατί γράφουμε τους όρους με συγκεκριμένη σειρά;

Ένα πολυώνυμο σαν το $2x^2 - 5 + 2x$ γράφεται συνήθως $2x^2 + 2x - 5$ , δηλαδή ξεκινώντας από τον όρο με τη μεγαλύτερη δύναμη του $x$ και καταλήγοντας στον μικρότερο. Αυτό λέγεται διάταξη κατά φθίνουσες δυνάμεις και δεν είναι απλώς συνήθεια: όταν όλοι γράφουμε τα πολυώνυμα με τον ίδιο τρόπο, είναι πολύ πιο εύκολο να τα συγκρίνουμε, να τα προσθέσουμε ή να βρούμε αμέσως ποιος είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης τους.

Ειδικές περιπτώσεις πολυωνύμων

Δεν χρειάζεται ένα πολυώνυμο να έχει πολλούς όρους. Ανάλογα με το πόσους όρους έχει, παίρνει και διαφορετικό όνομα:

Όνομα	Πόσους όρους έχει	Παράδειγμα
Μονώνυμο	Έναν μόνο όρο	$5x^3$
Διώνυμο	Δύο μη όμοιους όρους	$-x^2 + 2$
Τριώνυμο	Τρεις μη όμοιους όρους	$3x^2 - 2x + 3$

Δηλαδή, ακόμα και ένα απλό μονώνυμο όπως το $-7y$ θεωρείται πολυώνυμο — απλώς με έναν μόνο όρο.

Πρόσεξε τη λέξη «μη όμοιοι»

Για να μετρήσουμε πόσους όρους έχει ένα πολυώνυμο, οι όροι πρέπει να είναι μη όμοιοι μεταξύ τους. Η παράσταση $2x + 3x$ δεν είναι διώνυμο, παρόλο που φαίνεται να έχει δύο όρους. Αφού $2x + 3x = 5x$ , στην πραγματικότητα είναι ένα μονώνυμο. Πριν μετρήσεις τους όρους ενός πολυωνύμου, βεβαιώσου πρώτα ότι δεν υπάρχουν όροι που μπορούν να ενωθούν.

Αναγωγή ομοίων όρων

Στο προηγούμενο παράδειγμα είδαμε ότι το $2x + 3x$ γίνεται $5x$ . Αυτό δουλεύει επειδή το $2x$ και το $3x$ είναι όμοιοι όροι — έχουν την ίδια μεταβλητή ( $x$ ) υψωμένη στην ίδια δύναμη (εδώ, δύναμη 1). Όταν δύο όροι είναι όμοιοι, μπορούμε να τους ενώσουμε σε έναν προσθέτοντας ή αφαιρώντας μόνο τους συντελεστές τους, χωρίς να αγγίξουμε τη μεταβλητή. Αυτή η διαδικασία λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.

Δες ένα ακόμα παράδειγμα: στην παράσταση $4x^2 - 5x + 3x^2 + 2x$ , οι όροι $4x^2$ και $3x^2$ είναι όμοιοι μεταξύ τους (και οι δύο έχουν $x^2$ ), όπως και οι όροι $-5x$ και $2x$ (και οι δύο έχουν $x$ ). Δεν είναι όμως όμοιοι μεταξύ τους οι όροι με $x^2$ και οι όροι με $x$ — είναι διαφορετικές δυνάμεις. Ενώνοντας κάθε ομάδα χωριστά:

4x^2 - 5x + 3x^2 + 2x = (4x^2 + 3x^2) + (-5x + 2x) = 7x^2 - 3x

Πρόσεξε: δεν αθροίζουμε ό,τι να 'ναι

Μόνο όροι με ακριβώς την ίδια μεταβλητή στην ίδια δύναμη μπορούν να ενωθούν. Το $x^2$ και το $x$ δεν είναι το ίδιο πράγμα — δεν μπορείς να γράψεις $4x^2 + 2x = 6x^3$ ή κάτι παρόμοιο. Κάθε δύναμη μένει ξεχωριστή, σαν να ήταν διαφορετικό «είδος» αριθμού.

Ο βαθμός ενός πολυωνύμου

Ο βαθμός ενός πολυωνύμου δείχνει ποια είναι η πιο «ισχυρή» δύναμη που εμφανίζεται μέσα του.

Όταν έχουμε μία μόνο μεταβλητή, ο βαθμός είναι απλώς ο μεγαλύτερος εκθέτης αυτής της μεταβλητής. Για παράδειγμα, στο πολυώνυμο $-3x^2 + 2x$ ο εκθέτης του πρώτου όρου είναι 2 και του δεύτερου είναι 1 (αφού $2x = 2x^1$ ). Ο μεγαλύτερος από τους δύο είναι το 2, άρα το πολυώνυμο έχει βαθμό 2. Ένας σταθερός όρος, όπως το $+5$ , έχει πάντα βαθμό 0.

Όταν ένας όρος έχει πολλές μεταβλητές μαζί, ο βαθμός εκείνου του όρου είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών του. Για παράδειγμα, ο όρος $2x^3y^2w$ έχει βαθμό $3 + 2 + 1 = 6$ , γιατί το $x$ έχει εκθέτη 3, το $y$ εκθέτη 2 και το $w$ εκθέτη 1 (όταν δεν γράφεται εκθέτης, εννοείται το 1). Ο συνολικός βαθμός ενός πολυωνύμου με πολλές μεταβλητές είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς όλων των όρων του.

Πάρε το πολυώνυμο $3xy - 2x^3y^2w + 7x^2w^2 + 3$ . Υπολογίζουμε τον βαθμό κάθε όρου χωριστά:

Όρος	Άθροισμα εκθετών	Βαθμός του όρου
$3xy$	$1+1$	2
$-2x^3y^2w$	$3+2+1$	6
$7x^2w^2$	$2+2$	4
$3$	—	0

Ο μεγαλύτερος βαθμός ανάμεσα σε όλους τους όρους είναι το 6, άρα ο βαθμός ολόκληρου του πολυωνύμου είναι 6.

Ο βαθμός αλλάζει ανάλογα με ποιες μεταβλητές κοιτάμε

Μπορούμε να ρωτήσουμε και για τον βαθμό «ως προς» συγκεκριμένες μεταβλητές μόνο. Στο ίδιο πολυώνυμο $3xy - 2x^3y^2w + 7x^2w^2 + 3$ , αν κοιτάξουμε μόνο τους εκθέτες του $x$ και του $y$ σε κάθε όρο, ο όρος $-2x^3y^2w$ δίνει $3+2=5$ , που είναι ο μεγαλύτερος. Άρα ο βαθμός του πολυωνύμου ως προς $x$ και $y$ είναι 5 — διαφορετικός από τον συνολικό βαθμό 6! Ο βαθμός λοιπόν δεν είναι πάντα ένας μοναδικός αριθμός: εξαρτάται ως προς ποιες μεταβλητές τον υπολογίζουμε.

Πρόσθεση πολυωνύμων

Ας δούμε πώς προσθέτουμε δύο πολυώνυμα, με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα πρώτα. Θέλουμε να προσθέσουμε τα $(2x^2 - 5x + 2)$ και $(x^2 - 4x + 1)$ :

(2x^2 - 5x + 2) + (x^2 - 4x + 1)

Βήμα 1 — Ανοίγουμε τις παρενθέσεις. Επειδή μπροστά από τη δεύτερη παρένθεση υπάρχει πρόσθεση ( $+$ ), τα πρόσημα των όρων μέσα σε αυτήν δεν αλλάζουν καθόλου. Απλώς αφαιρούμε τις παρενθέσεις:

2x^2 - 5x + 2 + x^2 - 4x + 1

Βήμα 2 — Ομαδοποιούμε τους όμοιους όρους (αυτούς με το ίδιο «είδος» μεταβλητής και δύναμη):

(2x^2 + x^2) + (-5x - 4x) + (2 + 1)

Βήμα 3 — Κάνουμε την αναγωγή, δηλαδή προσθέτουμε τους συντελεστές κάθε ομάδας:

3x^2 - 9x + 3

Αυτό είναι όλο! Για να προσθέσουμε πολυώνυμα, γράφουμε όλους τους όρους μαζί, χωρίς να αλλάξουμε κανένα πρόσημο, και μετά κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Αφαίρεση πολυωνύμων

Η αφαίρεση μοιάζει πολύ με την πρόσθεση, με μία σημαντική διαφορά στο πρώτο βήμα. Ας αφαιρέσουμε το $(x^2 - 4x + 1)$ από το $(2x^2 - 5x + 2)$ :

(2x^2 - 5x + 2) - (x^2 - 4x + 1)

Βήμα 1 — Ανοίγουμε τις παρενθέσεις. Η πρώτη παρένθεση ανοίγει κανονικά, αφού μπροστά της δεν υπάρχει πρόσημο αφαίρεσης. Όμως, μπροστά από τη δεύτερη παρένθεση υπάρχει το $-$ . Αυτό σημαίνει ότι αλλάζουμε το πρόσημο σε κάθε όρο που βρίσκεται μέσα σε εκείνη την παρένθεση:

Το $x^2$ γίνεται $-x^2$
Το $-4x$ γίνεται $+4x$
Το $+1$ γίνεται $-1$

Έτσι παίρνουμε:

2x^2 - 5x + 2 - x^2 + 4x - 1

Βήμα 2 — Ομαδοποιούμε τους όμοιους όρους:

(2x^2 - x^2) + (-5x + 4x) + (2 - 1)

Βήμα 3 — Κάνουμε την αναγωγή:

x^2 - x + 1

Το πιο συνηθισμένο λάθος στην αφαίρεση πολυωνύμων

Όταν αφαιρούμε ένα πολυώνυμο, το πρόσημο μπροστά στην παρένθεση αλλάζει σε όλους τους όρους μέσα σε αυτήν — όχι μόνο στον πρώτο! Πολλοί μαθητές γράφουν $(2x^2 - 5x + 2) - (x^2 - 4x + 1) = 2x^2 - 5x + 2 - x^2 - 4x + 1$ , αλλάζοντας πρόσημο μόνο στο $x^2$ και ξεχνώντας το $-4x$ και το $+1$ . Το σωστό είναι να αλλάξεις το πρόσημο σε κάθε όρο της δεύτερης παρένθεσης: το $-4x$ γίνεται $+4x$ και το $+1$ γίνεται $-1$ . Ένας καλός τρόπος να το θυμάσαι: η αφαίρεση ενός πολυωνύμου ισοδυναμεί με πρόσθεση του αντίθετού του, δηλαδή του πολυωνύμου με όλα τα πρόσημα αλλαγμένα.

Το αντίθετο ενός πολυωνύμου

Το αντίθετο ενός πολυωνύμου προκύπτει αν αλλάξουμε το πρόσημο σε κάθε όρο του — ακριβώς όπως κάναμε στη δεύτερη παρένθεση της αφαίρεσης. Για παράδειγμα, το αντίθετο του $A = 5x^3 - 2x + 7$ είναι:

-A = -5x^3 + 2x - 7

Κάθε όρος άλλαξε πρόσημο: το $5x^3$ έγινε $-5x^3$ , το $-2x$ έγινε $+2x$ και το $+7$ έγινε $-7$ . Αυτή η ιδέα είναι χρήσιμη γιατί δείχνει ότι η αφαίρεση δύο πολυωνύμων $A - B$ είναι στην πραγματικότητα η πρόσθεση $A + (-B)$ : προσθέτουμε το πρώτο πολυώνυμο με το αντίθετο του δεύτερου.

Πράξεις με πολυώνυμα δύο ή περισσότερων μεταβλητών

Η ίδια διαδικασία πρόσθεσης και αφαίρεσης ισχύει και όταν τα πολυώνυμα έχουν πάνω από μία μεταβλητή. Ο κανόνας δεν αλλάζει: ανοίγουμε τις παρενθέσεις προσέχοντας τα πρόσημα, και μετά ενώνουμε μόνο όρους που είναι πραγματικά όμοιοι — δηλαδή έχουν ακριβώς τις ίδιες μεταβλητές στις ίδιες δυνάμεις.

Για παράδειγμα, στην πρόσθεση $(x^2 - 4xy + 3) + (x^2 + 3xy)$ :

x^2 - 4xy + 3 + x^2 + 3xy = (x^2 + x^2) + (-4xy + 3xy) + 3 = 2x^2 - xy + 3

Εδώ ο όρος $x^2$ και ο όρος $xy$ δεν είναι όμοιοι μεταξύ τους, γιατί ο ένας έχει μόνο $x$ και ο άλλος έχει και $x$ και $y$ μαζί. Γι' αυτό παραμένουν χωριστοί όροι στο τελικό αποτέλεσμα, ενώ ενώνονται μόνο οι όροι που έχουν ακριβώς την ίδια «μορφή» μεταβλητών.