Πράξεις Μονωνύμων 🧮

Ένα μονώνυμο μοιάζει με έναν αριθμό που φοράει «ρούχα» από γράμματα: έχει έναν συντελεστή (π.χ. το $5$ στο $5x^2$) και ένα κύριο μέρος (π.χ. το $x^2$). Όπως μάθαμε να προσθέτουμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε αριθμούς, έτσι μπορούμε να κάνουμε τις ίδιες πράξεις και με μονώνυμα — αρκεί να ξέρουμε ποιοι κανόνες ισχύουν σε κάθε πράξη. Και δεν ισχύουν όλοι οι κανόνες το ίδιο για όλες τις πράξεις, όπως θα δούμε παρακάτω.

Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια 🟰

Πριν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε μονώνυμα, πρέπει να ξέρουμε αν αυτό επιτρέπεται. Σκεφτείτε το εξής: αν έχετε $3$ μήλα και $2$ πορτοκάλια, δεν μπορείτε να τα «μαζέψετε» και να πείτε ότι έχετε $5$ κάτι — έχετε $3$ μήλα ΚΑΙ $2$ πορτοκάλια, δύο διαφορετικά πράγματα. Αν όμως έχετε $3$ μήλα και $2$ ακόμα μήλα, τότε έχετε $5$ μήλα, γιατί είναι το ίδιο είδος.

Το ίδιο συμβαίνει με τα μονώνυμα. Δύο μονώνυμα λέγονται όμοια όταν έχουν ακριβώς το ίδιο κύριο μέρος. Για παράδειγμα, τα $3y^4$ και $-4y^4$ είναι όμοια, γιατί έχουν και τα δύο το κύριο μέρος $y^4$. Αντίθετα, τα $3x^2$ και $3x^3$ ΔΕΝ είναι όμοια, παρόλο που μοιάζουν πολύ — έχουν διαφορετικό εκθέτη στο $x$, άρα είναι σαν τα μήλα και τα πορτοκάλια: διαφορετικά «είδη».

Πρόσθεση όμοιων μονωνύμων ➕

Ας δούμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα πριν από τον κανόνα. Θέλουμε να προσθέσουμε $3y^2$ και $7y^2$. Αφού είναι όμοια (έχουν το ίδιο κύριο μέρος $y^2$), μπορούμε να τα ενώσουμε:

Παρατηρήστε τι κάναμε: προσθέσαμε μόνο τους συντελεστές ($3$ και $7$) και κρατήσαμε το κύριο μέρος ($y^2$) ίδιο. Δεν το πολλαπλασιάσαμε, δεν άλλαξε ο εκθέτης — απλώς μετρήσαμε πόσα «κομμάτια» $y^2$ έχουμε συνολικά.

Γενικεύοντας: όταν προσθέτουμε όμοια μονώνυμα, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο μονώνυμο, όμοιο με τα αρχικά, του οποίου ο συντελεστής είναι το άθροισμα των συντελεστών των αρχικών μονωνύμων. Αυτή η διαδικασία λέγεται αναγωγή ομοίων όρων και είναι ο βασικός τρόπος με τον οποίο απλοποιούμε αλγεβρικές παραστάσεις.

Η ίδια λογική ισχύει και όταν έχουμε παραπάνω από δύο όρους, ή όρους με αρνητικούς συντελεστές. Για παράδειγμα, τα $3\alpha\beta^2$, $-2\alpha\beta^2$ και $-3\alpha\beta^2$ είναι όλα όμοια (κύριο μέρος $\alpha\beta^2$), οπότε:

Αφαίρεση μονωνύμων ➖

Η αφαίρεση δεν είναι μια εντελώς νέα πράξη — είναι μια ειδική μορφή πρόσθεσης. Για να αφαιρέσουμε ένα μονώνυμο, προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή, αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτερου όρου και μετά προσθέτουμε κανονικά, όπως μάθαμε παραπάνω.

Παράδειγμα:

Εδώ τα $2\alpha\beta$ και $4\omega^2$ δεν είναι καν όμοια, οπότε η παράσταση μένει ως άθροισμα δύο διαφορετικών μονωνύμων — δεν απλοποιείται άλλο. Ας δούμε τώρα μια περίπτωση με όμοια μονώνυμα:

Επειδή ο αφαιρετέος ήταν $-7xy^2$, ο αντίθετός του είναι $+7xy^2$. Αφού τα δύο μονώνυμα είναι πλέον όμοια (κύριο μέρος $xy^2$), κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων όπως πριν.

Πολλαπλασιασμός μονωνύμων ✖️

Στον πολλαπλασιασμό, τα πράγματα είναι πιο ελεύθερα: δεν χρειάζεται τα μονώνυμα να είναι όμοια — πολλαπλασιάζουμε πάντα, ό,τι κύριο μέρος κι αν έχουν. Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονωνύμων είναι πάντα ένα μονώνυμο.

Ας δούμε πρώτα το παράδειγμα. Θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε $(-2\alpha^2)$ και $(3\alpha\beta^4)$:

Δουλέψαμε σε δύο ξεχωριστά κομμάτια:

1. Συντελεστής: πολλαπλασιάσαμε τους συντελεστές των δύο μονωνύμων: $(-2) \cdot 3 = -6$.
2. Κύριο μέρος: για κάθε μεταβλητή, ο νέος εκθέτης προκύπτει προσθέτοντας τους εκθέτες που είχε σε κάθε μονώνυμο. Το $\alpha$ είχε εκθέτη $2$ στο πρώτο και $1$ στο δεύτερο (όταν δεν φαίνεται εκθέτης, εννοείται $1$), άρα στο γινόμενο παίρνει εκθέτη $2+1=3$. Το $\beta$ υπήρχε μόνο στο δεύτερο μονώνυμο, οπότε περνάει όπως ήταν.

Γιατί δουλεύει αυτό; Επειδή ο πολλαπλασιασμός μονωνύμων στηρίζεται στην ιδιότητα των δυνάμεων $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: όταν πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, προσθέτουμε τους εκθέτες τους. Αν έχετε $2$ κουτιά με $3$ μπάλες το καθένα και μετά προσθέσετε άλλα κουτιά με μπάλες, μετράτε συνολικά πόσες φορές εμφανίζεται η ίδια βάση — αυτό ακριβώς κάνει η πρόσθεση των εκθετών.

Δύναμη μονωνύμου 🔺

Η ύψωση ενός μονωνύμου σε δύναμη είναι στην ουσία πολλαπλασιασμός του μονωνύμου με τον εαυτό του, επαναλαμβανόμενο τόσες φορές όσο δείχνει ο εκθέτης. Ας δούμε το παράδειγμα $(-3\alpha\gamma^3)^2$:

Όταν ένα μονώνυμο υψώνεται σε δύναμη, κάθε παράγοντας μέσα στην παρένθεση — και ο συντελεστής και κάθε μεταβλητή — υψώνεται χωριστά σε αυτή τη δύναμη:

• Ο συντελεστής: $(-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = +9$
• Το $\alpha$ (με εκθέτη $1$): χρησιμοποιούμε την ιδιότητα $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$, άρα $(\alpha^1)^2 = \alpha^{1\cdot2} = \alpha^2$
• Το $\gamma^3$: ομοίως, $(\gamma^3)^2 = \gamma^{3\cdot2} = \gamma^6$

Συνδυάζοντας:

Διαίρεση μονωνύμων ➗

Στη διαίρεση ακολουθούμε παρόμοια λογική με τον πολλαπλασιασμό, αλλά τώρα αφαιρούμε τους εκθέτες αντί να τους προσθέτουμε. Όπως και στον πολλαπλασιασμό, η διαίρεση γίνεται πάντα, ανεξάρτητα από το αν τα μονώνυμα είναι όμοια ή όχι.

Ας δούμε πρώτα ένα απλό παράδειγμα: διαιρούμε το $12x^2$ με το $-4x$:

Χωρίσαμε τη δουλειά σε δύο κομμάτια, όπως και πριν:

1. Συντελεστές: διαιρέσαμε τον συντελεστή του διαιρετέου με τον συντελεστή του διαιρέτη: $12 \div (-4) = -3$.
2. Κύριο μέρος: για κάθε μεταβλητή, αφαιρούμε τον εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. Εδώ $x^2 \div x^1 = x^{2-1} = x^1 = x$.

Αυτό στηρίζεται στην ιδιότητα των δυνάμεων $a^m : a^n = a^{m-n}$: όταν διαιρούμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφαιρούμε τους εκθέτες.

Ας δούμε τώρα ένα δεύτερο παράδειγμα, όπου συμβαίνει κάτι ιδιαίτερο. Διαιρούμε το $8\alpha^5\gamma$ με το $4\alpha^2\gamma^3$:

• Συντελεστές: $8 \div 4 = 2$
• Για το $\alpha$: $\alpha^{5-2} = \alpha^3$
• Για το $\gamma$: $\gamma^{1-3} = \gamma^{-2}$

Συνδυάζοντας τις πράξεις σε μία παράσταση 🔗

Πολλές φορές μια αλγεβρική παράσταση περιέχει περισσότερες από μία πράξεις μαζί — π.χ. έναν πολλαπλασιασμό ή μια διαίρεση, και μετά μια πρόσθεση. Ο κανόνας είναι ο ίδιος που ξέρουμε ήδη από τους αριθμούς: πρώτα εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις, και μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Παράδειγμα: θέλουμε να υπολογίσουμε $4x^2 + (3x)\cdot(5x)$.

Πρώτα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό:

Και μετά την πρόσθεση, αφού το αποτέλεσμα $15x^2$ είναι πλέον όμοιο με το $4x^2$:

Η σειρά έχει σημασία: αν προσθέταμε πρώτα το $4x^2$ με το $3x$ (που δεν είναι καν όμοια), θα κάναμε λάθος από την αρχή. Ελέγχουμε πάντα ποια πράξη πρέπει να γίνει πρώτη, ακριβώς όπως κάνουμε με τους αριθμούς.